资源简介

授课题目 2.3 一元二次不等式 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 3 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课从一元二次方程和二次函数之间的关系入手，引导学生借助一元二次方程的根和二次函数的图像求解一元二次不等式.
1．知道二次函数的图像、一元二次方程的解与一元二次不等式的
解集之间的关系．
教学 2．能选择求根公式法、因式分解法或配方法等求解一元二次方程．
目标 3．能做出一元二次函数的简图．
4．能根据一元二次不等式对应的一元二次方程的解，结合其对应
的二次函数的图像，写出一元二次不等式的解集．
教学重点 运用适当的方法熟练、准确地解一元二次方程；用图像法解一元二 次不等式.
教学 难点 如何由对应一元二次方程的解写出一元二次不等式的解集.
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
我们知道，当 a＞0 时，关于一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 和二次函数 y=ax2＋bx＋c 之间有下表所示结论． 由表中函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像可以看出，图像在 x 轴上方的部分所对应的函数值 y>0，即 说明 体会 从学生已
经了解的
一元二次
回顾 方程和二
次函数之
展示 间的 关
情境导入 关系引导 系入手，利用数形
学生 结合，提
观察 观察 出新的问
分析 情境 题，引导
思考 学生主动
数形 问题 思考，培
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
ax2＋bx＋c>0， 图像在 x 轴下方的部分所对应的函数值 y<0，即 ax2＋bx＋c＜0． 像这样，含有一个未知数，并且未知数的最高次数为 2 的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为 ax2＋bx＋c>0（a≠0）． 上面不等式中的“>”也可以换成“<”、“≥”或“≤”. 如，x2-9>0，3x2-2x-1≤0， -2x2+5x+4<0 等都是一元二次不等式． 结合 养学生直
分析 观想象、
逻辑推理
等核心素
说明 分析 养
判断
举例
一元二次不等式与一元二次方程、二次函数形式上很接近，关系很密切，我们是能否借助它们之间的关系求解形如 ax2＋bx＋c<0 或 ax2＋bx＋c>0 这样的一元二次不等式呢？ 下面先来分析一元二次不等式 x2-2x-3<0 和二次函数 y=x2-2x-3、一元二次方程 x2-2x-3=0 之间的关系. 如图（1）所示，二次函数 y=x2-2x-3 的图像与 x 轴交于两点，方程 x2-2x-3=0 的解是 x1=-1，x2=3，也就是抛物线与 x 轴交点(-1，0)和(3，0)的横坐标． 可以看出，抛物线与 x 轴的两点交点将 x 提问 思考 师生通过
引导 体会 具体的实
学生 例，共同
思考 观察 总结二次
函数、一
提出 元二次方
要求 程与一元
思考 二次不等
探索 新知 数形 式三者之
结合 间 的 关
分析 系，并利
问题 用数形结
合进一步
来分析和
解决问题
归纳总结
强调 分析 出一元二
轴分成了三部分． 如图（2）所示，当-13 时，函数的图像位于 x 轴的上方，此时 y>0. 由此得到，不等式 x2-2x-3<0 的解集为 (-1，3)；不等式 x2-2x-3>0 的解集为(-∞，-1) ∪(3，+∞)． 按照上面的分析，可以得到一般的一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)和 ax2+bx+c<0(a>0)的求解方法： 先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图像与 x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集． 根据一元二次方程判别式的不同取值情况，将二次函数图像、一元二次方程的解和一元二次不等式的解集列表如下. 次不等式
的解法，
培养学生
解释 直 观 想
象、逻辑
推理和数
学抽象等
领会 核心素养
归纳 总结
总结 记忆
例 1 求下列一元二次不等式的解集： 提问 观察 通过例题
（1） x2-x-6<0 ； （2） x(x-3)≥0； 帮助学生
典型 例题 （3） 2x2-4x+3<0． 掌握一元
解 （1）因为不等式的二次项系数 1＞0，对应 二次不等
方程 x2-x-6=0 的解为 x1=-2，x2=3，对应的二 式 的 解
次函数的图像如图所示．所以不等式 x2-x-6<0 的解集为(-2，3)． 因为不等式的二次项系数为 1>0，对于方程 x(x-3)=0 的解为 x1=0，x2=3，对应的二次函数的图像如图所示.所以不等式 x(x- 3)≥0 的解集为 , 0 3, ． 因为不等式的二次项系数为 2>0，对应方程 2x2-4x+3=0 无实数根( =(-4)2- 4×2×3=-8<0)，对应二次函数图像如图所示，所以不等式 2x2-4x+3<0 的解集为 ． 例 2 若 3x2 2x 1 有意义，试求 x 的取值范围． 解 要使 3x2 2x 1 有意义，x 应该满足不等式 3x2-2x-1≥0． 因为不等式的二次项系数 3>0，对应方程 3x2-2x-1=0 的解为 x 1 ,x 1，对应的二次函 1 3 2 引导分析 数形结合得到结论 提问引导分析 数形结合得到结论 提问 引导分析 思考求解 观察思考求解 观察思考求解 思考 分析 法，培养学生的数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养 提示学生使用适当的方法求解相应方程，不拘泥一种 一元二次不等式的简单应用
数图像如图所示，所以不等式 3x2-2x-1≥0 的 解集为 x , 1 [1, ) ． 3 即当 x , 1 [1, ) 时， 3x2 2x 1 3 有意义． 探究与发现 如何求解一元二次不等式 ax2+bx+c>0 (a<0)？ 当二次项系数 a<0 时，由不等式的性质，不等式两边同乘 1，不等号方向改变，就可以将 a<0 的情形转化为 a>0 的情形，得到与原不等式同解的不等式，然后求解即可． 例 3 求一元二次不等式-x2+4x-2<0 的解集．解 因为不等式的二次项系数为-1<0，所以将不等式的两边同乘-1，不等号方向改变，得到与原不等式同解的不等式 x2-4x+2>0， 其对应方程 x2-4x+2=0 的解为 x1=2- 2 ， x2=2+ 2 ，对应的二次函数图像如图所示．所以不等式 x2-4x+2>0 的解集为 (-∞， 2- 2 )(2+ 2 ，+∞)． 即不等式-x2+4x-2<0 的解集为 (-∞， 2- 2 )U(2+ 2 ，+∞)． 数形结合得到结论 提问 引导分析点明要点 解决问题 提问 引导分析 求解 思考 分析理解 思考 思考求解 体验变式渗透转化和化归的思想
例 4 一元二次不等式 x2+4x+m≥0 对于一切实数 x 都成立，求 m 的取值范围． 解 因为不等式 x2+4x+m≥0 对于一切实数 x都成立，所以对应的二次函数 y=x2+4x+m 的图像是开口向上的抛物线，且在 x 轴上方，如图所示． 也就是说，对应方程 x2+4x+m=0 的根的判别式 42 4 1 m ≤0 . 解得 m≥4． 因此，m 的取值范围是[4，+∞)． 数形结合得到结论 分析讲解 尝试解决
巩固练习 练习 2.3 不等式(x-2)(x-3)≥0 的解集为( )． A． ，2 3， B． ，2] [3， ) C．[2, 3] D． 2，3 不等式 2x-x2>0 的解集为( )． A． ,0 2, B． 0,2 C． 0,2 D． R 不等式 x2-2x+1≤0 的解集为( )． A． 1 B． ,1 1, C．R D． 4．求下列一元二次不等式的解集： （1） 5x2-x-6>0； 提问 巡视 思考 动手求解 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（2） -x2+3x+10≥0； （3） 2x2-5x-3<0； （4） 2x-x2+3<0； （5） 5x2-2x+1>0； （6） 4x2-12x+9<0； （7） x2-3x+5>0； （8） 2x-x2-3>0． 当 x 在什么范围取值时， x2 3x 有意义？ 若一元二次方程 x2+mx+1=0 无实数解， 求 m 的取值范围． 指导 交流
归纳总结 引导总结 反思交流 培养学生总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容． 说明 记录 巩固提高查漏补缺

展开更多......

收起↑