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授课题目 3.1 函数的概念 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 2 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课将在初中所学函数知识的基础上，由熟悉的情景引入，借助 集合对应关系进一步学习函数的一般概念，并能够利用集合语言和对应关系描述函数的概念，认识函数的定义域和对应法则两个要素．
1．在初中所学函数概念的基础上，通过数集之间的对应关系进一
步认识函数的概念及其要素，能辨别一个对应关系是不是函数，初步
认识符号 y=f (x)的含义；能辨别两个函数是不是同一个函数．
教学 目标 2．学会判断两个函数是否同一函数的一般方法．
3．能求出给定函数在某一点处的函数值；能求出一个简单函数的
定义域、值域；学会求解定义域的一般步骤和书写规范；树立尊重依
据、遵从规则的意识．
教学 重点 用集合和对应的观点理解函数的定义；求定义域．
教学 难点 函数符号 y=f (x)的理解．
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
情境与问题（1） 展示 观察 从三个实
小王同学响应国家关于“大众创业，万 情境 情境 际的情境
众创新 ”的号召，从中等职业学校毕业后选 提出 思考 引导学生
择了自主创业，在某电商平台注册了自己的 问题 问题 利用对应
网店．有一次，他批发了 100 套文具准备在 关系描述
情境导入 自己的网店上销售，售价为 30 元/套．如果销 售该文具 x 个，销售额为 y 元，那么销售额 引导 解决 函 数 关 系，让学
y 与销售量 x 之间有什么关系呢？ 学生 问题 生体会函
解决：销售量 与销售额 之间的关系可以表 观察 数概念的
示为 = 30 ．销售量 的变化范围是数集 分析 抽 象 过
D={x∈N|x≤100}．对于数集 中的每一个 ， 程，培养
按照 = 30 ，销售额 都有唯一确定的值和 学生数学
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它对应． 情境与问题（2） 国际上常用恩格尔系数 r 反映一个国家平均家庭生活质量的情况．恩格尔通过研究得出规律：一个家庭收入越少，恩格尔系数就越大，反之家庭收入越多，恩格尔系数就会越小．表中列出近年来我国居民恩格尔系数情况，请问恩格尔系数 r 与年份 x 之间有什么关系？ 解决：由表可知，恩格尔系数 r 是年份 x 的函数．对于数集 D={2012，2013，2014，2015， 2016， 2017，2018，2019，2020，2021，2022} 中的每一个年份 x，恩格尔系数 r 都有唯一确定的值和它对应．例如，当 x=2017 时，有 r=29.3%与它对应，即 2017 年我国居民恩格尔系数为 29.3%． 情境与问题（3） 下图为某地某天的气温变化图．请观察气温 T 与时间 t 之间有什么关系？ 解决：由图可知，气温T是时间t的函数．对于数集 D={t|0≤t≤24} 中的每一个时刻 t，气 提问 分析 提问 引导分析 思考 解决问题 思考 解决问题 抽象的核心素养 情境与问题（1）渗透了创业教育，帮助学生树立劳动意识；情境与 问 题 以我国居民恩格尔系数为背景，帮助学生体会我国人民逐渐富裕的幸福感；情境与问题 借助气 温 变化，图形简单，易于理解，容易感悟到数据的变化和变量之间的
温T都有唯一确定的值和它对应．例如，当 t=14 时，有T=32℃和它对应，即 14 时的气温为32℃． 对应关系
探索新知 义务教育阶段，已经学习过函数的概念，知道可以用函数来描述两个变量x 和 y 之间的依赖关系．在一个变化的过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，那么我们就称 y 为 x 的函数，其中 x 称为自变量，y 称为因变量． 一般地，设D是非空数集，对于D中的每一个x，按照某个确定的对应法则D，都有唯一确定的值x和它对应，那么就称D为x的函数，记作 D = f(x)，x ∈ D． 其中，x称为自变量，D的取值范围称为函数的定义域． 当 x0∈D 时，与x0相对应的值f0称为函数在点f0处的函数值，记作f0 = f(x0)．函数值的集合{y|y=f(x)，x∈D}称为函数的值域． 初中时学习过的一次函数 y=2x+1，该函数的定义域是 R，值域也是 R ．也就是，对于定义域 R 中的每一个数 x，按照对应法则 “x→2x+1”，都有唯一确定的值 y = 2x+1 与它对应．这个函数也可记为 f(x) = 2x+1． 定义域与对应法则是函数的两个要素．函数的值域由定义域与对应法则这两个要素位移确定． “ 情 境 与 问 题 （ 1 ） ” 中 的 函 数 y=f(x)=30x(x∈N，x≤100)，对于定义域{x∈ 引导回忆原有知识 精炼语言讲解关键词语 举例说明 强调要点 举例说明 类比分析完成函数概念抽象过程思考 理解记忆 领会学习 理解 思考领会 对比初中学习的概念知识，降 低 起点，结合情境与问题中的例子，师生共同总结函 数 概念，并进一步深化 借助具体例子帮助学生进一步理解函数的概念 前后呼应加深认识
N | x≤100} ={0，1，2，3，…，100 }中的每一个值，按照对应法则“30x”，y 都有唯一确定的值与它对应．如，在定义域中取 x0=3，则 对 应 唯 一 确 定 的 函 数 值 为 y0=f(3)=30×3=90(元)，……这些函数值组成的集合就是该函数的值域{y| y=30x，x∈N，x≤ 100} ={0，30，60，90，…，3000} ． 温馨提示 在实际问题中，函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如“情境与问题 （1）”中的函数 y=30x，其中的自变量 x 就由{x∈N|x≤100}确定．如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使这个代数式有意义的自变量的取值集 合． 探究与发现 表达式 y2 4x 中， y 是 x 的函数吗？请根据函数的定义说明． 强调 提示和强调 思考 引导学生辨识给定对应关系是不是函数关系，帮助学生巩固对函数概念的 理解
典型例题 例 1 （1）在“情境与问题（2）”中，当 x=2015 时，求 r 的值； （2）设函数f(x)=2x -5，求 f(0)，f(a)， f(-x)． 解 （1）由“情境与问题(2)”中的表可知，当 x=2015 时，r=30.6%； （2）将f(x)=2x -5中的数 x 分别用 0，a， -x 代入，得 f(0)=2×0 -5=-5， f(a)=2×a -5=2a -5， 提问 及时归纳定义域的求法 观察 思考 求解 例 1 是利用函数的解析式求函数值的问题，旨在加深对符号和函数对应法则的理解
f(-x)=2×(-x) -5=2x -5. 例 2 求下列函数的定义域，并在数轴上表示出来. （1） f x = 1 ； x+2 （2） f x = x 3 ； （3） f x = 2x 1 1 . 1 x 解（1）要使函数 f x = 1 有意义，必须 x+2 x+2≠0，即 x≠-2，所以定义域为(-∞，-2) ∪(-2，+∞)，数轴表示如图所示． 要使函数 f x = x 3 有意义，必 须使 x-3≥0，即 x≥3．所以函数的定义域为[3，+∞)，数轴表示如图所示． 要使函数 f x = 2x 1 1 有 1 x 2x 1≥0, 1 意义，必须使 1 x 0. 解得 2 ≤x 1 ，所 以函数的定义域为 1 ,1 ，数轴表示如图 2 所示. 例 3 判断下列函数是否为同一个函数，并说明理由． （1）f(x)=x+1 与 g(t)=t+1； （2）f(x)=x 与 g x = x2 ． x 引导提问 强调同一函数的要求 提问 分析 指导分析 解决问题 观察思考判断 观察思考理解 解决问题 例 2 帮助学生掌握定义域的基本求法 例 3 表明定义域、对应法则是函数的
解（1）虽然函数 f(x)=x+1 与函数g(x) = x + 1中表示自变量的字母不同，但它们的定义域和对应法则都是相同的，所以它们表示的是同一个函数； （2）因为函数 f(x)=x 的定义域为R，函 数 g x = x2 的定义域为{x|x≠0}，它们的定义 x 域不同，因此它们表示的不是同一个函数． 两 个 要素，定义域不同或对应法则不一致的函数是不同的函数
巩固练习 练习 3.1 设函数 f x =1 x ，求 f 1 . 1 x 3 设函数求 f(x)=x +2x，x∈R，求 f(2)，f(-2)，f(a)，f(-a)． 求下列函数的定义域，并在数轴上表示出来. （1）f(x)=x -2x-1；（2） f x = 1 ； x2 4 （3） f x = 1 x ；（4） f x = x 3 ． 圆的面积 与直径 之间的关系是 S= d 2 .试求函数 的定义域. 当直径d =2 5 4 m 时，求圆的面积 S（π 取 3.14）． 5．判断下列各组函数是否为同一个函 数，并说明理由． （1）y=x +5x 与 s=t(t+5)； （2）f(x)=x-1 与 g(x)= （x x-1） ； x （3）f(x)= x2 -4 与 g(x)=x-2. x 2 提问 巡视 指导 思考 动手求解 交流 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
归纳总结 引导总结 反思交流 培养学生总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容． 说明 记录 巩固提高查漏补缺

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