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授课题目 3.3 函数的性质 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 4 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课将通过实例和学生熟悉的函数图像，帮助学生理解函数的单调性和奇偶性，引导学生正确地使用符号语言刻画函数的单调性和奇偶性，并通过几种常见函数：一次函数、反比例函数、二次函数整体 系统地研究函数的性质．
教学目标 结合函数图像，经历函数单调性从感性到理性的认识过程，能用数学语言表达函数单调性的定义，能通过函数图像写出这个函数的单调区间；能根据函数单调性的定义，利用求差法，通过对函数解析式的分析判断这个函数的单调性；能利用函数的单调性判断同一单调区间内两个函数值的大小． 知道函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系，学会根据函数图像判断的奇偶性；能根据函数的奇偶性，结合函数的部分图像补全函数的图像；能根据函数奇偶性定义判断函数的奇偶性． 能分解、归纳出证明函数的单调性和奇偶性的方法和步骤；能从函数单调性、奇偶性等角度，重新认识一次函数、反比例函数和二 次函数，初步学会在具体函数中研究对函数的一般性质的方法．
教学重点 经历函数单调性从感性到理性的认识过程；能利用函数单调性、 奇偶性的定义判断函数单调性、奇偶性.
教学 难点 利用函数单调性定义证明函数在给定区间上的单调性．
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因此这一节我们来研究函数的性质． 3.3.1 函数的单调性 下图是某市某天气温 y(℃)与时间 x（时） 说明 观察 通过实例
创设情境
情境导入 引导学生 用数学语
言描述函
引导 数值随自
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
的函数图像，记这个函数为y = x(x0)． 观察图像，当自变量x变化时，函数y(x)怎样变化 如何用数学的语言来表示这个变化？ 学生 看图 变量的变
分析 思考 化规律，
图像 引出单调
变化 性，培养
趋势 学生直观
想象、逻
辑推理和
数学抽象
核心素养
由图可知：时间从 4 时到 14 时，曲线呈 启发 体会 师生共同
上升趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升 引导 领悟 归纳函数
高，也就是说当 x∈[4，14] 时，函数 y=f(x)的 的单调性
值随自变量 x 的增大而增大．时间从 14 时到 总结 的定义，
24 时曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增 归纳 理解 学会定性
加而逐渐降低，也就是说当 x∈[14，24]时， 描述和定
函数 y=f(x)的值随自变量 x 的增大而减小． 量刻画函
由上图可知：在给定区间[4，14]上，对 数的单调
于图像上的任意两 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，当 说明 总结 性，培养
探索新知 x1< x2 时，都有 y1< y2，即， f(x1)＜f(x2)． 讲解 关键 仔细 分析 学生数学 抽象等核
在给定区间[14，24]上，对于图像上的任意两 词语 心素养
点 P3(x3，y3)和 P4(x4，y4)，当 x3< x4 时，都有
y3> y4，即
f(x3)＞f(x4)．
从上述例子可抽象出如下定义： 引导 尝试
设函数 y=f(x)的定义域为 D，区间D R． 学生 抽象
（1）如果对于区间D上的任意两点 x1 和 x2，当 x1< x2 时，都有 进行 概念
f(x1)那么称函数 y=f(x)在区间I上是增函数，区间 I 称为函数 y=f(x)的增区间，如图所示．
说明讲解 领会要点
（2）如果对于区间I上的任意两点 x1 和 x2，当 x1< x2 时，都有 f(x1)>f(x2)， 那么称函数 y=f(x)在区间 上是减函数，区间 称为函数 y=f(x)的减区间，如图所示．
如果函数 y=f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数 y=f(x)区间I上具有单调性，区间I称为单调区间．增区间也称为单调增区 间，减区间也称为单调减区间．
例 1 根据函数在 R 上的图像，写出其单调 观察 例 1 旨在
区． 提问 进一步培
典型 例题 解（1）由图函数图像可知，函数 y=f(x)的定 养学生的
义域为 R，增区间为(-∞，0]，减区间为[0， “看图说
+∞) ． 思考 话”能力
（2）由函数图像可知，函数 y=g(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，增区间为(-∞，0)和 (0，+∞)． 探究与发现 函数 f x 1 的减区间能写成(-∞，0)∪ x (0，+∞)吗？ 根据函数的解析式，利用作差比较法也可判断或证明函数的单调性，这是研究函数性质的一种常用方法. 例 2 讨论函数f(x)=2x+1在(-∞，+∞)上的单调性． 解 任取 x1，x2∈(-∞，+∞)且 x1求解
分析
提问 观察 例 2、3 是
质疑 思考 通过“ 作
引导 差 比 较
分析 法”，利用
函数单调
提问 观察 性的定义
判断函数
的 单 调
性，让学
分析 思考 生 在 判
断、证明
的过程中
加深理解
单调性、
= 1 1 x1 x2 = x2 x1 ， x1 x2 因为 x2-x1>0，x1x2>0，所以 f(x1)- f(x2)>0，即 f(x1)> f(x2) ． 所以函数 f(x)= 1 1在区间(-∞，0)上是减函 x 数． 讲解 求解 单调区间的意义
练习 3.3.1 填空题（填“增”或“减”）： （1）函数 f(x)=x+1 在(-∞，+∞)上是 函数； （2）函数 f(x)=-2x 在(-∞，+∞)上是 函数； （3）函数 f(x)= 2 在(-∞，0)上是 x 函数； （ 4 ）函数 f(x)= 5 在(0 ， +∞) 上是 x 函数； 已知函数 y=f (x)，x∈[-2,4]，如图所示，试写出函数的单调区间，并说明在每一单调区间上函数的单调性． 证明： （1）函数f (x)=-x -2在(-∞，+∞)上是减函数． 提问 思考 通过练习
及时掌握
学生的知
识掌握情
况，查漏
补缺
巡视 动手
求解
巩固
练习
指导 交流
（2）函数f (x)=2x2 + 1在(-∞，0)上是减 函数．
3.3.2 函数的奇偶性 大千世界，美无处不在．如图展示了生活中的对称之美． 数学中也存在着对称美，函数图像的对称就是其中一种．义务教育阶段，我们已经知 道函数f (x)=x2的图像和 f(x)= 1 的图像. x 显然，函数f (x)=x2的图像是关于 轴对称的轴对称图形，函数 f(x)= 1 的图像是关于原 x 点对称的中心对称图形． 观察这两种对称的函数图像，自变量互为相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 通过实例
让学生观
说明 观察 察函数图
像的对称
情况，在
教师的引
导下学会
用数学语
言描述函
情境 引导 数值的特
导入 学生 征规律，
观察 引出奇偶
分析 性么，培
养学生逻
辑推理和
数学抽象
等核心素
养
从函数值的角度看，对于函数f (x)=x2， 从数值特
有： 归纳 思考 点引导学
f(-1)= 1= f(1)， 总结 生发现函
探索新知 f(-2)=4= f(2)， f(-3)=9= f(3) 数奇偶性 的特征
……
事实上，对于函数f (x)=x2，自变量互为相 启发 观察 师生共同
反数时，对应的函数值相等．即对于定义域 学生 归纳 归纳函数
R 上的任意一个x，都有 f( x) = x2 = f(x)． 定义 设函数y = f(x)的定义域为数集R，若对于任意的x ∈ R，都有 x ∈ R，且 f( x) = f(x)， 则称y = f(x)是偶函数．偶函数的图像关于y轴对称． 对于函数 f(x)= 1 有： x f(-1)=-1=- f(1)， f(-2)=- 1 =- f(2)， 2 f(-3)=- 1 =- f(3) 3 …… 事实上，对于函数 f(x)= 1 ，自变量互为 x 相反数时，对应的函数值也互为相反数．即对于定义域( ∞，0) ∪ (0， + ∞)上的任意一个x，都有 f(-x)=- 1 =- f(x)． x 定义 设函数y = f(x)的定义域为数集R，若对于任意的x ∈ R，都有 x ∈ R，且 f( x) = f(x)， 则称y = f(x)是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称． 如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域一定关于原点中心对称． 探究与发现 有没有某个函数，它既是奇函数又是偶 观察 总结 的奇偶性
的定义，
讲述 领会 学会定性
描述和定
量刻画函
数的奇偶
性，培养
引导 思考 学生数学
学生 分析 抽象和逻
观察 归纳 辑推理等
核心素养
描述 体会
引导 领悟
讲述 领会
定义 思考
分析 理解
启发 思考 加深对概
函数？如果有，请举例说明． 交流 念的理解
例 4 讨论下列函数的奇偶性： （1）f(x)=x ； （2）f(x)=x +x4； （3）f(x)=x+1； （4）f(x)= x ． 解（1）f(x)=x 的定义域为 R，对于任意的 x ∈R，都有-x∈R，且 f(-x)=(-x) =-x =-f(x)， 所以 f(x)=x 是奇函数． （2）f(x)=x +x4 的定义域为 R，对于任意的 x∈R，都有-x∈R，且 f(-x)= (-x) + (-x) 4= x +x4=f(x)，所以 f(x)=x +x4 是偶函数． （3）f(x)=x+1 的定义域为 R，对于任意的 x∈R，都有-x∈R，且 f(-x)=-x+1≠-f(x)，f(-x)=-x+1≠f(x) 所以 f(x)=x+1 既不是奇函数也不是偶函数． （4）f(x)= x 的定义域为 0，+ ，对于 1∈ 0，+ ，而-1 0，+ ，所以函数 f(x)= x 既不是奇函数也不是偶函数．例 5 (1) (2) （1）图（1）给出了偶函数 y=f(x)在 0，+ 上 例 4 是利
提问 思考 用 奇 函
数、偶函
数的定义
指导 计算 来判断函
分析 求解 数的奇偶
性，强调
强调 交流 函数的定
要点 讨论 义域是否
关于原点
对称，规
范解题步
巡视 解决 骤
典型例题 指导 问题
分析 探索 例 5 是利
引导 方案 用函数的
奇偶性补
全函数图
像 的 题
目，通过
本例进一
步提高学
生数形结
合 的 能
的函数图像，试将 y=f(x)的图像补充完整，并指出函数的单调区间． （2）图（2）给出了奇函数 y=g(x)在[0， +∞)上的函数图像，试将 y=g(x)的图像补充完整，并指出函数的单调区间． 解（1）由于函数 y=f(x)是偶函数，所以它的图像关于 轴对称，因此它的图像如图所示． 函数 y=f(x)的减区间为( ∞，0]，增区间为[0，+∞)． （2）由于函数 y=g(x)是奇函数，所以它 的图像关于原点中心对称，因此它的图像如图所示． 函数 y=g(x)的增区间为 (-∞，+∞). 力，加深
学 生 对
分析 要点 领会 问题 “ 奇函数 的图像关
于原点成
中 心 对
强调 求解 称，偶函
画图 数的图像
关于 y 轴 成 轴 对
称” 这句 话的理解
讲解 思考 和认识
练习 3.3.2 1．填空题： （1）点 P(2,3)于x轴对称的点为 ，关y轴对称的点为 ，关于坐标原点对称的点为 ； 提问 思考 通过练习
及时掌握
巩固 练习 学生的知
识掌握情
况，查漏
（2）点 Q(x,y)关于 x 轴对称的点为 ，关于y轴对称的点为 ，关于坐标原点对称的点为 ． 讨论下列函数的奇偶性： （1）f(x)=x+ 1 ； （2）f(x)=|x|； x （3）f(x)=1-2x； （4）f(x)= x +1． 已知偶函数 y=f(x)和奇函数 y=g(x)的定义域均为[-4，4]，下图为它们在[0，4]上的图像． （1）求 f(-2)与 g(-2)； （2）将函数 y=f(x)和 y=g(x)在定义域内的图像补充完整． 巡视 指导 动手求解 交流 补缺
3.3.3 几种常见的函数 回顾义务教育阶段学过的一次函数、反比例函数与二次函数，它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等各是怎样的呢？如何用数 学的语言表达？ 引导 思考 再次认识
回顾 分析 已 学 函
情境 导入 数，强化
新知，螺
旋式上升
1．一次函数 师生共同
y = x + 1(x ≠ 0)是一次函数，其图像 归纳一次
为直线，如图所示． 启发 分析 函数的性
探索 新知 由一次函数y=kx+b (k ≠ 0) 的解析式和图 思考 质，对函
像不难发现，其定义域和值域均为 R， 数性质进
并有如下性质： 行 再 认
（1）当 k>0 时，在 R 上是增函数，如图 识、再提
（1）所示；当 k<0 时，在 R 上是减函数，如图（2）所示． （2）当 b=0 时，如图（3）（4）所示． 一次函数y=kx（k≠0）是奇函数，其图像关于原点中心对称． 高，培养
学生直观
形象、逻
总结 归纳 辑推理等
核心素养
例6 已知函数y=(3m+4)x+b在R 上是减函数． 求m的取值范围； 若函数的图像过点(-1，0)，试求图像与 y 轴的交点坐标． 解 （1）由函数y=(3m+4)x+b在 R 上是减函数，可得 3m+4y<0，即m < 4 ， 3 所以m的取值范围 , 4 ； 3 （2）由于 y=(3m+4)x+m 的图像过点(-1， 0)，则有 0=(3m+4)×(-1)x+m 解得，m =-2．所以函数的解析式为 提问 观察 通过例题
帮助学生
强调 思考 理解一次
函数的性
分析 求解 质
典型
例题
y=-2x-2． 令 x=0，得 y=-2 故函数的图像与 y 轴的交点坐标为(0，-2)．
反比例函数 y= k (k≠0)是反比例函数，其图像如图 x 所示． 由反比例函数 y= k (k≠0)的解析式和图 x 像可知：其定义域和值域均为 ,0 ∪ 0, ，并有如下性质： 当 k>0 时，函数图像在第一、三象限，在 ,0 和 0, 上都是减函数； 当 k<0 时，函数图像在第二、四象限，在 ,0 和 0, 上都是增函数． 函数是奇函数，图像关于原点中心对称． 师生共同
归纳反比
启发 观察 例函数的
引导 特征 性质，对
函数性质
进行再认
识、再提
高，培养
学生直观
探索 形象、逻
新知 归纳 总结 辑推理等
核心素养
例 7 设反比例函数 y= k (k≠0)的图像经过 x 点(-3,-2)问函数图像是否一定经过点(3,2) 解 因为反比例函数 y= k (k≠0)是奇函数，它 x 的图像关于原点 O 对称．而点(-3,-2)关于原点 O 对称的点是(3，2)，所以函数图像一定 经过点(3，2)． 提问 观察 帮助学生
理解正比
强调 思考 例函数的
典型例题 分析 求解 性质
例8 一次函数 y=(2m+1)x+b 在R 上是增函 数，其图像与反比例函数 y= m2 图像交于点 x （1，4），求这个一次函数与反比例函数．解由一次函数 y=(2m+1)+b 在 R 上是增函 数，可得2m + 1 > 0，所以 m> 1 ； 2 因为两个函数的图像交于点（1，4）， 将该点坐标代入反比例函数，得 4= m2 ，所 1 以，m=±2． 由于 m> 1 ，所以 m=-2 不合题意，舍 2 去，故 m=2． 所以一次函数为 y=5x +b. 将点（1，4）代入得，4=5×1+b ，即 b=- 1．所以这个一次函数为 y=5x-1 ，反比例函 数为 y= 4 ． x 提问 观察 解决综合
问题，提
强调 思考 升对一次
函数和反
比例函数
分析 求解 的认识
讲解
3．二次函数 y=ax +bx+c(a≠0)是二次函数，其图像是 抛物线，对称轴方程为 x= b ，顶点坐标为 2a b 4ac b2 ． 2a , 4a 一般地，当a>0 时，二次函数y=ax +bx+c的图像是一条开口向上的抛物线，定义域为 R，值域为 4ac b2 , .并有如下性质： 4a （ 1 ）在 , b 上是减函数， 在 2a b 2a , 上是增函数； （2）当 b=0 时为偶函数． 当 a<0 时，二次函数y=ax +bx+c的图像 师生共同
归纳二次
启发 回忆 函数的性
质，对函
数性质进
行 再 认
探索 描述 领会 识、再提
新知 高，培养
学生直观
形象、逻
提示 归纳 辑推理等
核心素养
是一条开口向下的抛物线，定义域为 R，值 域为 , 4ac b2 ．并有如下性质： 4a （ 1 ）在 , b 上是增函数， 在 2a b 2a , 上是减函数； 当 b=0 时为偶函数． 温馨提示 对二次函数进行总结，见表： 组织 交流
回答 讨论
说明 领悟 培养分析
函数的能
归纳 记忆 力
总结 要点
例 9 作出二次函数y=x -2x-3的图像，并讨论其单调性． 解 由y=x -2x-3知：a=1，b=-2，c=-3，所以 b 2 2a＝ 2×1＝1， 4ac b2 4 1 ( 3) ( 2)2 4a = 4 1 =-4， 则对称轴方程为 x=1，顶点坐标为(1，-4) ． 列表 描点连线 提问 观察 培养学生
分析函数
性质的能
力，强调
思考 利用函数
典型 例题 的图像来
研究二次
求解 函数的性
质，以及
利用二次
函数图像
图像过点(-1，0)， (0，-3)，(1，-4)， (2，-3)，(3，0)，用光滑曲线依次连接以上各点，画出函数y=x -2x-3的图像，如图所示． 由图知，二次函数y=x -2x-3的图像是开口向上的抛物线，定义域为 R，值域为[ 4， ＋ ）．函数在（ ，1]上是减函数，在[1， ＋ ）上是增函数． 探究与发现 已知函数 f x x2 ax 1在 , 2 上是减函数，在 2，+ 上是增函数，请求出a 的值． 来研究二
次函数、
一元二次
方程及一
指导 利用 元二次不
描点 等式三者
法作 之间的关
图 系
强调 观察
分析 思考
点拨 讨论 结合函数
提示 交流 图像解决
问题
练习 3.3.3 若函数 f(x)=(2a-1)x(a 为实数)在 R 上是增函数，则（ ）． A. a≥ 1 B. a≤ 1 C. a> 1 D. a< 1 2 2 2 2 填空题： 一次函数 y=-3x+5 的定义域是 ，值域是 ，该函数在 上是 函数(减或增)，它的图像与坐标轴的交点坐标为 ； 当 时，一次函数 f(x)=kx+b 是奇函数； 练习及时
掌握学生
的知识掌
握情况，
查漏补缺
巩固
练习 动手
巡视 求解
若反比例函数 y= k 在（- ，0）上 x 是增函数，则 的取值范围是 ； 二次函数 f(x)= 2x -5 的定义域是 ，值域是 ，该函数在 上是增函数，在 上是减函数；它是 函数（奇或偶），它的图像与 x 轴的交点的坐标是 ，与 y 轴的交点的坐标是 ； 二次函数 f(x)=-x -x+2 的定义域是 ，值域是 ；该函数在 上是增函数，在 上是减函数，它的图像与 x 轴的交点坐标是 ，与 y轴的交点坐标是 ． 3．已知函数f(x)=m +2x-5 在 R 上是减函数，求m的取值范围． 设反比例函数 y= k (k≠0).函数 g(x) x 是偶函数，且 f(2)=g(2)=2.比较 f(-2)与 g(-2) 的大小． 已知点 A(1，m)在函数 y = 2x 的图像上，求点A关于y轴对称点的坐标． 已知函数 f(x)=x +bx-2 是 R 上的偶函 数，求实数b． 已知函数 f(x)=-x+k-2 是 R 上的奇函 数，求实数k． 指导 交流
归纳总结 引导总结 反思交流 培养学生总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容． 说明 记录 巩固提高查漏补缺

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