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授课题目 4.1 角的概念的推广 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 2 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课通过熟悉的情境，感知推广角的必要性，从运动的角度定义角，并引进正角、负角和零角，从而将角的概念推广到任意角，进而学习终边相同的角、象限角以及界限角等；在学习推广角的意义和任意角所在的象限的基础上进而识别终边相同的角，学习用集合语言表 示终边相同的角．
1．会结合熟悉的实例描述角的相关概念；能举例说明正角、负角、
零角、象限角、终边相同的角等．
2．能根据图像判断角是正角、负角还是零角，并能根据给出的角
教学 目标 的度数和角的始边确定角的终边的位置，并判断角是第几象限的角．
3．知道象限角的概念，并能用集合语言表示出来．
4．能写出与角 α 终边相同角的集合，并能找出给定范围内与已知
角终边相同的角．
教学重点 角的概念推广的必要性；终边相同的角组成的集合；角所在象限 的判断．
教学难点 终边相同的角的理解和表示；角所在象限的判断；各象限的角的 表示．
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
在义务教育阶段我们学习过，角是有公共端点的两条射线构成的图形. 角是平面内由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.如图所示，如图所示，射线的端点 O 称为角的顶点， 旋转起始位置的射线 OA 称为角的始边， 讲解 回忆 借助原有
介绍 思考 知识为新
知学习做
好铺垫
引入
提问 作答
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终止位置的射线 OB 称为角的终边． 这些角都可以用已经学习过的锐角、直角、钝角、平角 、周角等表示.
4.1.1 任意角 用学生熟
（1）公园里的摩天轮，选定一个机械臂 提问 思考 悉的情境
的起始位置作为始边，如果机械臂从这个起 引发学生
始位置旋转一周，就说它转过了 360°，那么 启发 作答 思考
当它转过一周半或者转过两周时，它转过了 激发求知
多少度呢？ 引导 交流 欲调动积
摩天轮的机械臂从起始位置，旋转了一 极性
周，则说它转过了 360°，旋转一周半，则说
它转过了 540°，旋转了两周，则说它转过了
情境导入 720°. （2）如果时钟快 2h，应该如何校准？校
准过程中分针相对起始位置转过了多少度？
如果时钟慢了 2h 呢？
如果时钟快了 2h，则需要将分针相对于
起始位置逆时针旋转720°，如果时钟慢了2h，
则需要将分针相对于起始位置顺时针旋转
720°.
由于旋转的方向不同，其效果也不同.因
此，关于角，不仅要知道旋转的度数，还要考
虑旋转的方向．
探索新知 规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角，如下图（1）所示；按顺时针方向旋转形成的角称为负角，如图 （2）所示． 如果一条射线没有做任何旋转，也认为形成了一个角，这个角称为零角. 分针按逆时针方向旋转 2 周形成的角，记作 720°，如下图（1）所示；分针按顺时针方向旋转 2 周形成的角，记作 -720°，如下图（2）所示. 显然，这两个角是不一样的. 这样，我们不仅能表示 0°~360°范围内的角，也能表示 0°~360°范围之外的角．也就是把角的概念推广到了任意角． 通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角.例如，下图中的角，可以记作“∠AOB”或“∠O”. 也经常使用小写的希腊字母 α，β， γ，… 来表示角，记作“角 α”“角 β”“角γ”……．在不引起混淆的情况下，可以简记成“α”“β” “γ”……例如，α=420°， β= 135° ． 讲解作图 说明 举例 讲解 说明 理解观察 思考 理解 观察 思考 数形结合说明问题帮助学生理解动态定义角的方式提升直观想象核心素养 加深认识通过观察
探究与发现 设角 α 与角 β 是两个任意角，如何理解角-α 、角 α + β 和角 α-β ？ 为了方便，通常在平面直角坐标系中讨论角. 将角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，此时角的终边在第几象限，就称这个角为第几象限角． 如图，α=420°，所以角 α 是第一象限角， β= 135°，所以角 β 是第三象限角． 如果角的终边在坐标轴上， 就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角．如， 0°，90°，180°，360°， 90°角都是界限角． 举例 提问引导 讲解 举例 说明 理解 思考交流 思考 观察 理解 思考参与概念形成感受知识发现的乐趣
典型例题 例 1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角. （1） 490° ；（2） 650° ． 解 将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，则 490°角是射线绕着原点逆时针旋转 490°形成的， 如图（1）所示，终边落在第二象限， 所以 490°为第二象限角； 650°角是射线绕着原点顺时针旋转 650°形成的，如图（2）所示，终边落在第一 提问 引导 讲解 强调 思考 分析 解决 交流 让学生直观感受角的动态形成过程，感悟“总有一个周角内的角与已知角终 边 相 同”
象限， 所以 650°为第一象限角. （1） （2） 例 2 求时钟从 8 点到 9 点 15 分，如图所示，分针和时针旋转所成的角分别是多少？ 解 时钟 8 点到 9 点 15 分， 分针顺时针旋转 450°(360°+45°)，因此，分针旋转形成的角为 450°；而时针顺时针旋转了 37.5°(30°+ 30 )，因此，时针旋转形成的角为 37.5°. 4 提问提示 举例 思考交流 解决问题 落实知识实际应用 角的实际应用，动态感受角的形成过程
巩固练习 练习 4.1.1 1. 判断题( 正确的打“√ ”， 错误的打 “×”)： 第四象限角一定是负角； ( ) 第二象限角一定是正角； ( ) 小于 90°的角一定是锐角； ( ) 第一象限角一定是锐角； ( ) 钝角一定是第二象限角； ( ) 第二象限角一定是钝角． ( ) 2．填空题： （1） 15°是第 象限角； （2）795°是第 象限角； （3）163°是第 象限角； 提问 巡视 思考 动手求解 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（4） 458°是第 象限角． 3．在平面直角坐标系中，分别作出下列各角，并指出它们是第几象限角： （1）460° ； （2）995°； （3） 200° ； （4） 700° ． 指导 交流
情境导入 4.1.2 终边相同的角 我们知道，在平面直角坐标系中，对于一个大小确定的角 α，其终边是确定的；反之，已知某个角的终边，这个角的大小是否也是确定的呢？观察生活中时钟的指针和摩天轮等的运行轨迹会发现，这个答案是否定的，即具有相同终边的角的大小是不确定的． 如图， 30°， 330°， 390°角之间有什么关系呢？ 提问 启发引导 思考 作答交流 引发学生主动观察思考发现规律， 激发求知欲调动学习积极性
新知探索 不难发现，在平面直角坐标系中，这三个角的终边相同， 并且都可以表示成 30°与 k个(k∈Z) 360°的和.如： 30° = 30°＋0×360°； 330° = 30°＋ ( 1)×360°； 390° = 30°＋1× 360°． 从上述角的形成过程可以看出，与 30°终边相同的角有无数多个，它们与 30°角均相差 360°的整数倍. 因此与 30°终边相同的所有角可以表示 为 β= 30°+k 360°，k∈Z． 讲解 说明 启发 理解 记忆 体会 发现规律并学习用集合语言表示
一般地，与角 α 终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β=α+ k 360°， k∈Z}， 即，所有与角 α 终边相同的角都可以表 示成角 α 与 360°的整数倍的和. 提示 描述
典型例题 例 3 写出与 950°角终边相同的所有角构成的集合，并找出 0°~360°范围内与其终边相同的角. 解 与 950°角终边相同的所有角构成的集合为 S={β|β= 950°+ k·360°，k∈Z }. 当 k=3 时， Β= 950°+3×360° = 130°， 故在 0°~360°范围内， 与 950°角终边相同的角是 130°角． 温馨提示 因为 950° 与 130° 终边相同， 集合 S={β|β ＝ 950°+k 360° ， k ∈ Z} 也可写成 S={β|β＝130°+k 360°，k Z}． 例 4 写出终边在射线 y=x(x≥0)上的角组成的集合. 解 在 0°~360°范围，终边在射线 y=x(x≥0) 上的角为 45°角， 因此终边在射线 y=x(x≥ 0)上的角组成的集合为 S={β|β=450°+k·360°， k∈Z}. 例 5 写出终边在 y 轴上的角组成的集合. 解 如图所示，在 0°~360°范围，终边在 y 轴上的角有 90°角和 270°角. 提问 引导 讲解 补充说明 提问 引导 讲解 思考 解决 交流 思考理解 思考 解决 交流 由特殊到一般分析问题并得到结论 多角度思考问题数形结合找到已知角的特性后应用知识解决问题 进一步巩固终边相同的角、界限角等概念加深深度提升数学运算核心素养适时巩固 例 5 是为了进一步
所有与 90°角终边相同的角组成的集合为 S1={β|β=90°+ k·360°， k∈Z} . 所有与 270°角终边相同的角组成的集合分别为 S2={β|β=270°+ k·360°， k∈Z}. 所以，终边在 y 轴上的角组成的集合为 S=S1∪S2 ={β|β=90°+k·360°，k∈Z}∪ {β|β=270°+ k·360°，k∈Z} ={β|β= 90°+ 2k·180°，k∈Z}∪ {β|β=90°+(2k+1) ·180°，k∈Z} = {β|β=90°+n·180°， n∈Z}． 探究与发现 若角 α 是第一象限角，试写出角 α 的集 合. 提问 引导 讲解 补充提问 思考 解决 交流 思考交流 巩固终边相 同 的角、界限角等概念而 设 置的，要求较高，为二级水平 把终边相同的角从单一角拓展到了角的集合，加深学生理解深度
巩固练习 练习 4.1.2 1.已知角 α 是第一象限角，则角 α 的终边在第 象限. 2 .与 1560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是 . 写出与下列角终边相同的所有角组成的集合，并在 0°～360°范围内找出与其终边相同的角. （1） 420°； （2） 510°； （3） 73°； （4） 855°. 写出终边在 x 轴上的角组成的集合. 提问巡视 指导 思考 动手求解 交流 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺
归纳总结 引导 提问 回忆 反思 培养学生总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸学习

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