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授课题目 4.2 弧度制 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 2 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课通过类比其他度量制，感知弧度制引入的可能性和必要性，学 习引入弧度制的意义，进行角度与弧度的换算的一般方法，学习弧度制下弧长公式和扇形面积公式的推导，并会进行有关的计算.
1．能从熟悉的角度制引申到弧度制，知道引入弧度的必要性，理
解定义 1 弧度的合理性，知道使用弧度制的优势．
2．能区分角度制与弧度制，知道角度与弧度的换算关系，能将角
教学目标 度与弧度进行互化． 3．会用函数型计算器进行给定角度与弧度的互化．
4．经历弧度制下弧长公式和扇形面积公式的推出过程，并能应用
公式求弧长和扇形的面积，培养学生思考问题的意识与解决问题的能
力．
教学 重点 角度与弧度的转化.
教学 难点 1 弧度角的定义的理解.
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
日常生活中，很多量可以用不同的单位 讲解 回忆 借助原有
引入 进行度量．如，体积有 m (立方米)、L(升)等不同的度量单位；温度有℃ (摄氏温度)、F(华 氏温度)、K(开尔文)等不同单位． 介绍提问 思考作答 知识为学习做好铺 垫
角也有不同的度量单位，除了义务教育
阶段所学的“°”之外，还有一个度量单位— —rad(弧度)．
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情境导入 把一个周角 360 等分，每 1 份圆弧所对的圆心角就是 1 度的角，记作 1°． 这种用“°”(度)作为单位来度量角的制度成为角度制． 规定 1°=60’，1’=60’’ ，这种用六十进制的方法来度量的角，在进行十进制运算时，常会带来单位换算等不必要的麻烦，能否建 立一种十进制的度量体系来度量角呢？ 提问启发 思考作答 增强感性认识同时引发学生深入思考
探索新知 在义务教育阶段我们学过，在半径为r 的圆中（如下图所示），n°的圆心角所对的弧长 为 l=nπr，可得， 180 l ·n， r 180 而 是一个定值．这说明 l 比值与半径的 180 r 长度无关，只与 n°角的大小有关． 因此，我们可以用弧长与半径的比值 l r 来表示这个圆弧所对的圆心角的大小． 规定：弧长等于半径(即 l =1)的圆弧所对 r 的圆心角称为１弧度的角，如下图所示，记作“1rad”，读作“1 弧度”．以“弧度”为单位来度量角的制度称为弧度制． 同时规定，正角的弧度数是正数，负角 的弧度数是负数，零角的弧度数是零． 点拨讲解 说明 归纳定义 讲解说明 理解领会 理解 领会思考 理解含义 强调对于任何一个圆心角α，所对弧长与半径的比值是一个仅与角 α 的大小有关的常数，因此，弧长等于半径的弧所对的圆心角的大小不随半径的变化而变化，而是一个大小确定的角，这是弧度制
半径为 r 的圆中，长度为 l 的圆弧所对的圆心角的大小为 α，如下图所示，则 |α|= l . r 其中，角 α 的正负由角 α 的终边的旋转方向决定． 因为半径为 r 的圆的周长是 2πr，如下图所示，所以周角的弧度数是 2 r =2π， r 故有 360°=2π rad. 或 180°=π rad． 由此可得弧度制与角度制的换算公式： 1°= rad≈0.017 45rad， 180 1rad= 180 ≈57.3°. 温馨提示 用弧度制表示角时， 可以省略单位 讲解分析 借助图形说明 讲解 说明 说明 理解 思考 观察图形思考 领会 理解 思考 定义的基础 学生通过观察思考参与知识形成过程感受探索和发现的乐趣提升直观想象核心素养 数形结合解决问题同时提升数学运算和直观想象核心素养
“rad”．如“2rad”可以写成“2”． 但是，在用角度制表示角时，不能省略单位“°”．
典型例题 例 1 把 100°转换为弧度. 解 100 = 100 rad= 5 rad . 180 9 例 2 把 8 化成角度． 5 解 8 8 180 288 . 5 5 例 3 扇形的圆心角为 α(0＜α＜2π) ，半径为 r，弧长为 l，扇形面积为 S，求证： （1） l=αr ; （2） S = 1 lr. 2 证明 （1）因为|α | l ，而 0＜α＜2π，所以 r α l ，即 l=αr. r （2）因为圆心角为 1rad 的扇形面积为 1 2 r2 r ，所以圆心角为的扇形面积为 2 2 r2 l r2 1 S α lr. 2 r 2 2 例 4 利用科学型计算器进行角度与弧度的转换： 把 67°30′转换为弧度(保留到小数点后第 2 位)； 把 3.14rad 转换为角度(保留到小数点后第 2 位)． 分析 利用科学型计算器进行角度 提问引导 讲解强调 提问 引导 讲解 强调展示 分析讲解 思考分析 解决交流 思考 分析 解决 交流操作 思考领会 巩固角度与弧度转换常用方法 以证明题方式给出弧度制下弧长和扇形面积公式，强调弧长公式 l ＝ |α|·r中的 α 是圆心角的弧度数 介绍借助信息技术多种计算方式提升学生运用计算工具
与弧度的转换时，应先确定角的度量单 位．设置角的度量单位为“度”或“弧度”的方法是：依次按键： (角度制 模式)或 (弧度制模式)．如图所示. 解 （1）第一步：将科学型计算器设为弧度制模式. 依次按键 ； 第二步：输入 67°30′，并把它转换为弧 度. 依次按键 结果显示“1.178097245”． 因此，67°30′≈1.18rad． （2）第一步：将科学型计算器设为角度制模式.依次按键 . 第二步：输入“3.14”rad，并把它转换为角度：依次按键 3.14， 结果显示 “179.9087477”． 因此， 3.14 rad≈179.91°． 温馨提示 科学型计算器的功能强大．不同型号的 指导 讲解 演示 讲解演示指导 介绍讲解 尝试 领会 操作 尝试领会操作 操作尝试 解决问题的能力
计算器，按键操作略有不同，本套书均以下边图所示计算器为例进行介绍． 1.计算器的按键功能 执行印在按键表面上的标记所对应的功能，直接按对应的按键； 执行印在按键左上方的标记所对应的功能，需要先按功能控制区的键，再按对应的按键． 2.计算器的应用程序 计算器中有多个应用程序，按键开机，按键显示主屏幕，使用方向键 以及翻页键可以查看所有应用程序．按方向键反色显示需要使用的应用程序图标后，按键 即可进入．本套书在没有特殊说明的情况下，都默认计算器已开机并进入了 “计算”应用程序，如图中屏幕所示． 一些特殊角的角度值和弧度值的对应 关系： 提示总结 完成表格 适时总结加深认识
巩固练习 练习 4.2 如图所示，在半径分别为 1cm、2cm、 5cm 的圆中，分别求 1°的圆心角所对的弧长与半径之比． 如图所示，求半径为 20cm，弧长为 100cm 的扇形圆心角是多少弧度． 把下列角度转换为弧度． （1）22°； （2） 210°； （3） 1200°． 把下弧度转换为角度． （1） ； （2） 4 ； （3）3． 12 3 经过4h，时钟的时针和分针各转了多少度，将其化成弧度？ 用弧度制表示终边在x轴上的角的集合． 已知一个扇形的半径为 10 cm，圆心角 为 1.2rad，求该扇形的弧长和面积． 提问 巡视 指导 思考 动手求解 交流 及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
归纳总结 引导 提问 回忆 反思 培养学生总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸学习

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