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授课题目 4.3 任意角的三角函数 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 3 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课借助直角三角形中定义的锐角三角函数，在角的概念推广的基础上进行推广，在平面直角坐标系中定义三角函数，并借助单位圆加深对任意角三角函数的定义的理解，学习根据任意角三角函数的定 义判断角的三角函数值的符号．
教学目标 在锐角三角函数定义的基础上理解任意角三角函数的定义，知道角 α 的三角函数值与在角 α 终边上点的选取无关；能根据角的终边上除原点外的任意一点的坐标求出这个角的正弦值、余弦值和正切值． 学会利用任意角三角函数的定义推断三角函数值在各象限的符号，能通过角为第几象限角，判断给定角的正弦值、余弦值和正切值的符号，也可以由三角函数的符号判断角的终边所在的位置． 能熟记 0 到 π 之间的特殊角的正弦值、余弦值和正切值． 能根据任意角的三角函数的定义推导出角的终边与单位圆的交 点坐标，反之，由角的终边与单位圆的交点坐标，也能得到角的正弦值与余弦值．
教学 重点 任意角三角函数的定义及应用．
教学难点 任意角三角函数的定义的理解；角 α 的三角函数值与在角 α 终边 上点的选取无关；各象限的角的三角函数值的符号的推断．
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
引入 三角函数是基本初等函数之一，在研究三角形、圆和其他多边形等几何图形的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的数学工具，在导航、工程学以及物理学等方面都 有广泛的应用. 讲解介绍 倾听思考 介绍知识背景
情境导入 4.3.1 任意角的三角函数定义 在义务教育阶段，我们学习了锐角三角 引导 回忆 借助原有
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
函数. sin A 角A的对边 BC 斜边 AB cos A 角A的邻边 AC 斜边 AB tan A 角A的对边 BC . 角A的邻边 AC 角的概念推广之后， 任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数如何定义呢？ 为新知学
习知识做
提问 思考 好铺垫，
体会从特
殊到一般
启发 作答 的思想方
法
指导 交流
设角 α 为平面直 角坐标系 Oxy 中的任意一个角， 在其终边上任取与原点 O 不重合的一点 P(x，y) ， 则 |OM|=|x|， |MP|=|y|．点 P 到原点 O 的距离 |OP|=r= x2 y2 r＞0 . 由相似三角形的性质可知：比值 y x y 、、 r r x (x≠0)，只依赖于角 α 的大小， 与点 P 在角 α终边上的位置无关.因此，对任意角 α，有如下定义： y 称为角 α 的正弦，记作 sinα，即 sinα= y ， r r 讲解 观察 将锐角三
角形中的
三条边与
点的坐标
对 应 起
来，帮助
学生更加
探索 新知 说明 思考 直观认识
问题
感受发现
的乐趣
介绍 理解
x 称为角 α 的余弦，记作 cosα，即 cosα= x ， r r y 称为角 α 的正切，记作 tanα，即 tanα= y ， x x (x≠0)． 可以看出，对于每一个确定的角 α，都有唯一确定的正弦值、余弦值与之对应，即： sinα 与 cosα 是以角 α 为自变量的函数，分别称为正弦函数与余弦函数，它们的定义域都是 R． 当α +k k Z 时，点 P 的横坐标 2 x=0，这时 tanα 没有意义．除此之外，对于每一个确定的 α，都有唯一确定的正切值与之对应，因此 tanα 也是以角 α 为自变量的函数，称为正切函数，其定义域为 α α +k k Z ． 2 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数． 引导 思考 x 比值 r ， y ， y r x 与角 α 终边 上 点 P(x，y)的位 置 无关，而这三个比值的大小随着角 α 的大小变化而变化，因此它们是角 α 的函数，体现函数思想
归纳 领会
定义 理解
例 1 已知角 α 的终边经过点 P( 4， 3)，求角 α 的正弦、余弦和正切． 解 因为 x= 4 ， y=3，所以 r= ( 4)2+32 ＝5． 由三角函数的定义，得 sin α = y = 3 ， r 5 提问 思考 直接利用
定义求三
引导 分析 角函数值
加强对定
讲解 解决 义的理解
典型 例题 直接利用
强调 交流 三角函数
的定义求
值，加强
对定义的
理解，提
cosα = x = 4 ， r 5 tan α = y = 3 ． x 4 例 2 求终边在射线 y=2x(x≥0)上的角的正弦、余弦和正切. 解 在射线 y=2x(x≥0)上取点 P(1，2)，则 x=1，y=2，r = 12 22 5 ．所以 sin α = y = 2 = 2 5 ， r 5 5 cosα = x = 1 = 5 ， r 5 5 tan α = y = 2 =2 . x 1 温馨提示 由三角函数的定义可知， 角 α 的三角函数值只与这个角有关，与点 P 在角α 终边上的位置无关． 因此，点 P 的坐标的选取应尽量使计算简便． 探究与发现 设角 α 为第四象限角，其终边上的一个 点是 P x, 5 ，且cosα = 2 x ，试求 sinα 和 4 tanα 的值． 提问 思考 升直观想
象核心素
引导 分析 养
讲解 解决 例 2 是求
特殊角的
强调 交流 三角函数
值的示例
明确了比
说明 理解 值与角 α
终边上点
强调 体会 P 的位置
无关以及
选点的技
引发 讨论 巧，渗透
思考 交流 了不断优
化的思想
和勇于探
索的精神
含参数的
数学问题
是对任意
角的三角
函数公式
的逆应用
巩固练习 练习 4.3.1 1.已知角 α 终边上的点 P 的坐标如下，分别求出角 α 的正弦、余弦和正切. 提问 思考 通过练习及时掌握
（1） (4，3)； （2）(2，0) ；（3）(0，1) ； （4）(-12，5) ；（5）(1， 2). 已知角 α 的终边经过点(a， 1)，且 tan α = 1 ，求 a 的值． 2 已知角 α 为第二象限角， 其终边上一点 P 的横坐标为 8，|OP|=10. 求角 α 的正弦、余弦和正切值． 已知角 α 的终边在射线 y= 3x(x≥0) 上，求角的正弦、余弦和正切. 学生的知
巡视 动手 识掌握情
求解 况，查漏
补缺
指导 交流
引入 4.3.2 单位圆与三角函数 半径为 1 的圆称为单位圆．在平面直角坐标系中，以原点 O 为圆心，1 为半径的圆就是单位圆．单位圆广泛应用于三角函数，对正弦函数、余弦函数、正切函数的定义以及三角函数图像的绘制都有极为重要的作 用． 讲解 倾听 为新知学习做铺垫
在单位圆上，角α的终边与单位圆的交点 P 的坐标可以用角α的三角函数表示吗？ 提问 思考 结合单位
圆与三角
情境 导入 启发 作答 函数引发
学生思考
引导 交流
角α的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，则 r=|OP|=1， 由正弦函数和余弦函数的定义， 得 sinα = y y y ，cosα= x x x ． r 1 r 1 由此可知，角α的终边与单位圆的交点 讲解 理解 发现规律
体会数形
新知 结合思想
探索 说明 记忆 方法
P 的坐标可以表示为(sinα，cosα). 例如，30°角的终边与单位圆的交点坐标 3 1 可以表示为(cos30°，sin30°)，即 2 , 2 ； 60°角的终边与单位圆的交点的坐标可以表 1 3 示为(cos60°，sin60°)，即 2 , 2 ；130°角 的终边与单位圆的交点坐标可以表示为 (cos130°，sin130°) ． 一般地，角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x，y)， 那么 cosα=x，sinα=y， tanα= y x 0 . x 根据点 P 的横坐标 x 和纵坐标 y 的符号，我们可以确定当角 α 的终边在不同的象限时，sinα，cosα 与 tanα 的符号． 启发 体会
举例 领会 举例说明
帮助学生
理解单位
提示 思考 圆与三角
函数的关
系
总结
规律
归纳 思考 结合坐标
引发 交流 轴记忆和
思考 讨论 总结更加
生动提升
直观想象
核心素养
例 3 求 90°角的正弦、余弦和正切. 提问 思考 数形结合
典型例题 解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标 为(0，1) ， 加深体会 利用单位
所以 sin90°=1，cos90°=0，tan90°不存在. 引导 解决 圆求界限
温馨提示 0°角、180°角、270°角和 360°角的正弦、余弦和正切值. 例 4 求 2 rad 角的正弦、余弦和正切. 3 解 在平面直角坐标系中，做∠AOP= 2 和 3 单位圆 O，如图所示，设点 P(x，y)是角 2 3 的终边与单位圆的交点，其坐标可表示为 cos 2 ,sin 2 ． 3 3 在 Rt△POM 中，因为∠POM= ， 3 ∠OPM= ，|OP|=1 ． 6 所以|OM|= ，|MP|= 3 . 2 2 即 x=- ，y= 3 .所以 2 2 角的三角
函数
讲解 交流
提示 填写 适时总结
总结 表格 加深认识
提问 思考 即时应用
解决问题
引导 分析
讲解 解决
强调 交流
指导 计算
cos 2 =x=- ， 3 2 sin 2 =y= 3 ， 3 2 3 tan 2 = y = 2 = 3 . 3 x 1 2 例 5 判断下列各三角函数值的符号. （1）sin(-325°)； （2）cos 3 ； 5 （3）tan4252°； （4）sin 19 ． 6 解 （1）因为-325°=35°-360°，所以－325°角是第一象限角，故 sin(-325°)＞0； 因为 3 弧度的角是第二象限角，所 5 以 cos 3 ＜0； 5 因为 4252°=292°＋11×360°，所以 4252°角是第四象限角，因此 tan4252°＜0； （4）因为 = ＋2π，所以 弧度的角 6 6 6 是第三象限角，故 sin ＜0． 6 例 6 已知 cosθ＞0，且 tanθ＜0，试确定角θ 是第几象限角． 解 因为 cosθ＞0，所以角θ可能是第一或第四象限角，也可能终边在 x 轴的正半轴上. 又因为 tanθ＜0，所以角θ可能是第二或第四象限角． 故满足 cosθ＞0 且 tanθ＜0 的角θ是第四 象限角． 提问 思考 典型示例
引导 分析 如何确定
已知角的
讲解 解决 三角函数
强调 交流 值的符号
的一般过
程，强化
理解
巡视 尝试
指导 解决
分析 求解 逆向思维
问题培养
学生逻辑
推理能力
巩固练习 练习 4.3.2 1．判断下列三角函数值的符号： （1） sin156°； （2）cos ； 5 提问 思考 通过练习及时掌握
（3）cos( 440°)；（4） tan ； 8 （5）sin2； （6）tan556°． 2.计算： （1）7cos270°+12sin0°+2tan0° 8cos180°； （2）5cos180° 3sin90°+2tan0° 6sin270°； （3）cos tan0+ tan π sin +cosπ． 2 3 2 3.求下列各角的正弦、余弦和正切值． (1) ； (2) ． 6 4 4.已知 sinθ＜0 且 tanθ＜0，试确定角 θ 是第几象限角． 学生情况
查漏补缺
巡视 动手
求解
指导 交流
归纳总结 引导 提问 回忆 反思 培养学生总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾; 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸学习

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