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授课题目 4.4 同角三角函数的基本关系 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 2 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课从熟悉的特殊角的三角函数值之间的关系出发，借助三角函 数的定义利用单位圆，推导同角三角函数的平方关系和商数关系，学习利用同角三角函数的基本关系进行有关的化简和计算的常见方法．
教学目标 经历利用单位圆和三角函数定义推导同角三角函数的平方关系和商数关系的过程． 熟记同角三角函数基本关系式，并会通过一个三角函数值求出另外两个三角函数值，体会“知一求二”． 能应用同角三角函数基本关系式进行简单的化简与证明，并在 此过程中可以总结出化简与证明的一般规律．
教学重点 关系式的推导过程；灵活运用同角三角函数的基本关系式解决求 值、推理等问题．
教学 难点 理解和识记两个公式；已知正切值求正弦值和余弦值．
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
引入 同角三角函数的基本关系是在任意角三角函数定义的基础上，建立起三个三角函数的联系，从而解决已知角 α 的一个三角函数值，求该角的其余三角函数值的问题．同角三角函数的基本关系式在解决三角函数的化 简、求值、证明中具有重要作用． 引导 思考 阐述学习主题
情境导入 我们知道，对于任意角 α 的正弦函数 sinα、余弦函数 cosα 和正切函数 tanα，都是角 α 的三角函数，那么这些三角函数之间存 在怎样的关系呢？ 提问启发引导 思考作答交流 引发学生思考，引出学习主 题
探索新知 一般地，设点 P (x，y)是角 α 的终边与单 位圆 O 的交点，则 阐述 讲解 理解 领会 从一般情 况入手分
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|OP|=1，x=cosα，y=sinα. 因为|OP|=r=√x +y ，所以 x +y =1， 即 sin α+ cos α =1. 显然，当 α 的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立． 而当 α≠ +kπ(k∈Z)时，有 2 tan α = y = sin α . x cosα 由此得到同角三角函数间的基本关系式： sin α+ cos α =1 sin α tan α =cosα 这说明，同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1，商等于角 α 的正切． 温馨提示 在运用统计三角函数的基本关系解决问题时，要特别注意“同角”二字，如， 如 sin 35°+ cos 35°=1，tan35°= sin 35 ； cos 35 sin β sin β+ cos β=1，tanβ= ； cos β 析，帮助
学生理解
公式适用
的普遍性
借助 数形
图像 结合
讲解 理解 数形结合
思考问题
提升直观
想象核心
素养
归纳 理解
指导 归纳
强调 领会 借助正反
例进行说
明，加深
对公式的
理解以及
sin 2α+ cos 2α=1，tan2α= sin 2α ； cos 2α 以上各式都符合同角三角函数基本关系式的形式，所以都成立． “同角”的含义
例 1 已知sin α = 4 ，且角 α 是第二象限角， 5 求 cosα 和 tanα． 解 因为 sin α+cos α=1，所以 4 2 3 |cosα|= 1－sin2α = 1 = ． 5 5 又因为 α 是第二象限角，所以 cosα＜ 0，因此 cosα= 3 ， 5 从而 sin α
tanα= = cos α 例 2 已知 tanα= 5，且 α 是第四象限角.求 sinα 和 cosα． 解 由题设及同角三角函数间的基本关系，得方程组： sin2 α cos2 α 1 (1) sin α cosα 5 (2) 由(2)式得 sinα= 5cosα，代入(1)，得 （ 5cosα）2 + cos2α =1， 1 即 6cos2α =1，所以 cos2α = 6，因此 |cosα| = 6 ． 6 提问 思考 强调综合
运用同角
三角函数
引导 分析 基本关系
与算数根
知识解决
讲解 解决 问题掌握
常用解决
问题方法
强调 交流 和思路
典型
例题 提问 思考
巩固综合
运用同角
引导 分析 三角函数
基本关系
与算数根
讲解 解决 知识解决
问题掌握
常用解决
强调 交流 问题的一
般方法和
思路
因为 α 是第四象限角，cosα＞0．所以 cosα = 6 ， 6 sinα= 5cosα= 5× 6 30 ． 6 6 例 3 化简： sinα cosα ． tanα 1 解 因为 tanα-1= sinα = sinα cosα ， cosα cosα sinα cosα sinα cosα 所以 tanα 1 = sinα cosα =cosα . cosα 例 4 求证： sinα = 1 cosα ． 1+cosα sin α 证明 因为 sinα 1- cosα sin2 α 1- cos2 α - 1 cosα sinα 1 cosα sinα sin α sin α 0 2 2 (1 cosα ) sin α 所以 sinα = 1 cosα ． 1+cosα sin α 3sin α +4 cosα 例 5 已知 tanα=2，求 2sinα cosα ． 解法一 由 tanα=2，得 sin α =2 ，即 cosα sinα=2cosα， 所以 3sin α +4 cosα = 3 2 cosα +4 cosα 2sinα cosα 2 2sinα cosα = 10 cosα 10 . 3cosα 3 解法二 3sin α +4 cosα 3sin α +4 cosα = cosα 2sinα cosα 2sinα cosα cosα 提问引导讲解强调 提问引导讲解强调 提问引导讲解强调 提出 思考分析解决交流 思考分析解决交流 思考分析解决交流 思考 例 3 利用同角三角函数进行恒等变形解决问题 例 4学习三角恒等式证明的常用方法锻炼学生灵活运用公式能力体会化归思想方法 例 5 结合 “ 齐 次式”问题，引导学生分析蕴含的“数学的 逻 辑美”并总 结此类问
= 3 tan α +4 3 2 4 10 . 2tanα 1 2 2 1 3 探究与发现 sinα+cosα 与 sinαcosα 之间有什么关系？ 问题 交流 题一般解题方法
巩固练习 练习 4.4 已知sinα 3 且 α 是第二象限角，求 2 cosα 和 tanα． 已知cosα 2 且 α 是第三象限角， 2 求 sinα 和 tanα． 已知tanα 3 且 α 是第一象限角，求 4 sinα 和 cosα． 化简： 1 cosαtanα 2 2 cos2 α 1 （ ） ； （ ） ； 1 2sin2 α （3） 1 sin2 α ，其中 α 为第二象限角． 5．已知 tanα= 4，求下列各式的值： （1） sin α cosα ；（2） 1 . sin α cosα cos2 α sin2 α 6．求证： 1+ sin α = cosα ． cosα 1 sin α 7．化简： 1 2sinα cosα ，其中 α 为第 一象限角． 提问 巡视 指导 思考 动手求解 交流 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
归纳总结 引导 提问 回忆 反思 培养学生 总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸学习

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