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授课题目 4.5 诱导公式 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 4 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课将从具有特殊位置关系的角出发，借助单位圆和三角函数的定义得到诱导公式，通过例题，学习诱导公式在三角函数求值与化简中的作用，以及用诱导公式求任意角的三角函数值，进行简单的化简 与证明的一般过程和常用方法．
教学目标 知道角 2k ＋α、 α、 ＋α、 －α 与角 α 的终边之间的关系，能利用这些角终边之间的关系推导它们的三角函数值的关系． 能利用诱导公式将任意角的三角函数化为 0～2π 进而化为锐角的三角函数求解；对某些三角函数值进行求值、化简及简单的证明，提升计算能力． 可以利用计算器求任意角三角函数值．
教学 重点 能运用诱导公式解决一些简单的求值、化简、证明等问题．
教学 难点 诱导公式的推导．
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
引入 在 4.3 节，为求得任意角的三角函数值，我们依据三角函数的定义，在角 α 的终边上取一点 P，通过点 P 的坐标求出任意角 α 的三角函数值．是否还有其他方法呢？ 我们可以通过诱导公式将任意角的三角 函数转换为锐角的三角函数求解． 提示点拨 回忆思考 从知识衔接角度引出新的学习内容
情境导入 1.角 2kπ＋α (k∈Z)与角α 的三角函数间的关系 角13 与角 的终边有什么关系？这两个 6 6 角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？ 提出问题 交流讨论 利用特殊角的终边的位置关系引出新 知
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探索新知 如左图所示，角13 与角 的终边相同， 6 6 它们的正弦、余弦、正切的值分别对应相等，即 sin 13 sin ， 6 6 cos 13 cos ， 6 6 tan 13 tan . 6 6 一般地，如右图所示，由三角函数的定义可知，终边相同的角的同名三角函数值相等．即 sin(2k ＋α) = sinα； cos(2k ＋α) = cosα； tan(2k ＋α) = tanα ． 利用公式，可以将任意角的三角函数转 化为[0，2π)内的角的三角函数． 展示图像提出问题 展示引导 归纳 观察图像思考分析 观察思考 总结 展示角的特殊位置关系帮助学生更加直观考虑问题，数形结合考虑问题， 透直观想象核心素养
典型例题 例 1 求下列各三角函数值： （1）sin780 ；（2）cos 9 ；（3）tan ． 4 6 解（1）sin780 =sin(2×360 ＋60 )=sin60 = 3 ； 2 （2） cos 9 = cos 2 + = cos = 2 ； 4 4 4 2 （3）tan = tan 2 + = tan = 3 ． 6 6 6 3 提问引导讲解 思考分析解答 解决问题巩固新知
情境导入 2.角-α与角α 的三角函数间的关系 角 与角 的终边有什么关系？这两个角 6 6 的正弦、余弦、正切之间有什么关系？ 提出问题 交流讨论 从特殊角终边关系引出新知
探索新知 如左图所示，角 与角 的终边关于 6 6 x 轴对称，由三角函数的单位圆定义可得 sin sin ， 6 6 cos cos ， 6 6 tan tan . 6 6 一般地，设角 α 与角-α 的终边与单位圆的交点分别是点 P 和 P’，如右图所示，则点 P 和 P’的坐标分别为(cosα，sinα)与(cos(-α) ， sin(-α))． 因为角 α 的终边与角-α 的终边关于 x 轴对称，所以点 P 和 P’边关于 x 轴对称，因此它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即 cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα． 又由同角三角函数基本关系式，有 tan(-α)= cos( α ) = -tanα. sin( α ) 于是，得 sin( α) = sinα； cos( α) = cosα； (4-2) 展示图像提出问题 展示引导 归纳 观察图像思考分析 观察思考 总结 展示角的特殊位置关系帮助学生更加直观考虑问题，数形结合考虑问题， 透直观想象核心素养
tan( α) = tanα ． 利用公式可以将负角的三角函数转化为正角的同名三角函数．
典型例题 例 2 求下列各三角函数值： （1）sin(-60 )；（2） cos ； 4 （3）tan(-30 )；（4） tan 11 ． 6 解（1）sin(-60 )=-sin60 = 3 ， 2 （2） cos =cos = 2 ， 4 4 2 （3）tan(-30 )=-tan30 = 3 3 （4） tan =tan 2 =tan 6 6 6 = tan = 3 . 6 3 提问引导讲解 思考分析解答 解决问题巩固新知
情境导入 3.角 π+α 与角α 的三角函数间的关系 角 7 与角 的终边有什么关系？这两 6 6 个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？ 提出问题 交流讨论 从特殊角终边关系引出新知
如左图所示，角 7 与角 的终边关于原 6 6 点中心对称，由三角函数的单位圆定义可得 sin 7 sin ， 6 6 cos 7 cos ， 6 6 tan 7 tan . 6 6 一般地，设角 α 的终边与角 π+α的终边 与单位圆的交点分别是点 P 和 P’，如右图所 展示图像提出问题 展示引导 观察图像思考分析 观察思考 展示角的特殊位置关系帮助学生更加直观考虑问题，数形结合考虑问题， 透直观想象核心素养
示，则点 P 和 P’的坐标分别为(cosα，sinα)与 (cos(π+α)，sin π+α)) ． 因为角 α 的终边与角 π＋α 的终边关于原点 O 中心对称，所以点 P 和 P 关于原点 O中心对称，因此它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，即 cos(π＋α)＝ cos α，sin(π＋α)＝ sin α．又由同角三角函数间的基本关系式，有 tan +α sin +α sin α tan α . cos +α cosα 于是，得 sin(π+α)= sinα； cos(π+α)= cosα； (4-3) tan(π+α)=tanα. 利用公式可将角 ＋α 的三角函数转化为角 α 的同名三角函数． 归纳 总结
典型例题 例 3 求下列各三角函数值： （1） sin 7 ； （2） cos(-240°)； 6 13 （3） tan210°； （4）cos 4 ． 解（1）sin 7 =sin + =-sin =- ； 6 6 6 2 （2）cos(-240°)=cos240°=cos(180°＋60°) = cos 60°=- ； 2 （4）cos 13 = 4 cos 2 5 cos 5 cos 4 4 4 cos 2 . 4 2 提问引导讲解 思考分析解答 解决问题巩固新知
情境导入 4.角 π-α 与角α 的三角函数间的关系 角 5 与角 的终边有什么关系？这两 6 6 个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？ 提出问题 交流讨论 从特殊角终边关系引出新知
探索新知 如左图所示，角 5 与角 的终边关于 y 6 6 轴对称，由三角函数的单位圆定义可得， sin 5 =sin ， 6 6 cos 5 =-cos ， 6 6 tan 5 =-tan . 6 6 一般地，设角 α 与角 π-α的终边与单位圆的交点分别是点 P 和 P’，如图所示，则点 P 和 P’ 的 坐 标 分 别 为 (cos ， sinα) 与 (cos(π-α)，sin π-α)) ． 因为角 α 的终边与角 π-α的终边关于 y轴对称，所以点 P 和 P’关于 y 轴对称，因此，它们的横坐标互为相反数相同，纵坐标相等，即 cos(π-α)=-cosα，sin(π-α)=sinα． 又由同角三角函数间的基本关系式，有 tan α sin α sin α tan α . cos α cosα 于是，得 sin( α)=sinα， cos( α)= cosα， (4-4) tan( α)= tanα. 利用公式，将角 α 的三角函数转化为 展示图像提出问题 展示引导 归纳 观察图像思考分析 观察思考 总结 展示角的特殊位置关系帮助学生更加直观考虑问题，数形结合考虑问题， 透直观想象核心素养
角 α 的三角函数．
典型例题 例 4 求下列各三角函数值. （1）cos 5 ；（2）tan495°；（3）sin 2 . 6 3 解 （1）cos 5 =cos =-cos = 3 ； 6 6 6 2 （2）tan495°= tan(360°＋135°)=tan(180°- 45°)=-tan45°=-1. （3）sin 2 =-sin 2 =-sin 3 3 3 =-sin = 3 . 3 2 sin( α ) . 例 5 化简cos( α ) tan(3 α ) sin( α ) sinα 解 cos( α ) tan(3 α ) ( cosα )( tanα ) sin α 1. cosα sin α cosα 公式(4-1)—(4-4)这些都是三角函数的诱导公式，利用这些公式可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数进行计算． 探究与发现 把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤是什么？ 尝试结合-750 、 225 、510 举例说明. 提问引导讲解 提问引导讲解 思考分析解答 思考分析解答 解决问题巩固新知 围绕公式锻炼学生灵活运用诱导公式的能力
探索新知 在实际问题中，经常利用科学型计算器求任意角的三角函数值． 用科学型计算器计算任意角的三角函数 值的主要步骤： 讲解演示 模仿学习 体现信息技术在三角函数中 的应用
设置角度单位(角度制或弧度制)→按 键( 或按键) →输入角的大小→按键显示结果．
典型例题 例 6 利用科学型计算器，求下列各三角函数值(保留到小数点后第三位). （1） sin 2 ；（2） tan47.6°． 7 解 （1）将科学型计算器设为弧度制模式：依次按键 ； 输入函数名，输入角， 依次按键 ，结 果显示“0.7818314825”. 因此， sin 2 ≈0.782． 7 （2）将科学型计算器设置为角度制模式：依次按键 ； 输入函数名，输入角： 依次按键 ， 结 果 显 示 “1.095139739”. tan47.6°≈1.095． 提问 示范说明 说明注意事项 思考 模仿操作 注意操作规范 学习一般流程体会利用科学型计算器可以方便地计算任意角的三角函数值体验信息技术应用
巩固练习 练习 4.5 利用诱导公式(4-1)，求下列各三角函数值： （1）cos 9 ； （2） tan 10 ； 4 3 （3） cos570°；（4）sin(-315°) . 利用诱导公式(4-1)、(4-2)，求下列各三角函数的值. 提问 巡视 思考 动手求解 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（1）tan(-45°)； （2）sin 25 ； 4 （3）cos(-780°) ；（4） sin(-1800°) ． 利用诱导公式(4-1)、(4-2)、(4-3)，求下列各三角函数的值. （1）cos ； （2）sin 10 ； 4 3 （3）sin(-210°) ；（4）tan ． 4 利用诱导公式求下列各三角函数的值. （1）cos 7 ； （2）tan 4 3 （3）sin840° ； （4）cos ． 6 将下列三角函数转化为 0, 内角的 2 三角函数． （1）cos(1+π)；（2）sin ；（3）tan . 7 5 化简. cos α tan 180 α （1） ； sin 180 α cos α tan α tan α （2） sin α . 利用科学型计算器，求下列各三角函 数的值（保留到小数点后第 3 位）. （1）sin25°； （2） cos 3 ； 11 （3）tan70°21′；（4） sin ． 7 指导 交流
归纳总结 引导 提问 回忆 反思 培养学生总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸学习

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