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授课题目 4.6 正弦函数的图像和性质 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 3 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课将通过简谐振动形成的曲线，感知正弦曲线的特性，进而学习周期函数的有关知识，以及正弦函数的图像和性质；学习借助代数运算与几何直观，认识正弦函数的图像与性质，以及运用“五点法”画 出正弦函数在一个周期上的简图．
1．知道描点法画正弦函数在［0，2π］上的图像的步骤，能找出
正弦函数在［0，2π］上的图像中关键的五个点，并利用“五点法”作正
弦函数相关的函数的图像，培养数形结合的数学思想．
教学 目标 2．能通过正弦曲线分析正弦函数的性质，并利用这些性质解决正
弦函数的相关问题．
3．知道从哪些角度分析函数的性质，学会利用函数图像分析函数
性质的一般方法．
教学 重点 五点作图法作正弦函数的图像，正弦函数的性质的应用．
教学 难点 五点作图法和正弦函数的性质的理解．
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
春天万物复苏、百花盛开，年复一年，周而复始．像这样重复出现的现象称为周期现象，数学中也存在这种现象．正弦函数就是一种周期函数，是刻画“周而复始”现象的数 学模型． 描述 领会 结合生活
引入 认识数学
与生活联
系
4.6.1 正弦函数的图像
做一个沙漏单摆实验：如图所示，一个沙漏 提问 思考 用生活中
情境导入 挂在架子上，沙漏下方放一块纸板，纸板中 间画一条直线作为坐标系的横轴．把沙漏沿 启发 作答 的现象创 设情境的
垂直于该直线方向拉离平衡位置，放手使之 引发学生
摆动，同时匀速拉动纸板．这样可在纸板上 引导 交流 思考
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得到一条曲线．这是一条什么曲线呢？ 激发求知欲
这个实验得到的曲线是一条波浪起伏、 点拨 观察 从物理现
周而复始的曲线．从前面的学习我们知道， 引导 总结 象引出数
随着角的变化，三角函数值也具有这种周而 学知识
复始的变化规律．我们可以用正弦函数来刻
画这条曲线．
根据单位圆的圆周运动特点，单位圆上
任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位
置，这说明自变量每增加或者减少 2π， 正 讲解 倾听
弦函数值将重复出现．这一现象可以用公式
sin(x+2kπ) = sinx，k∈Z
来表示． 结合 观察
探索新知 一般地，对于函数 y＝f(x)，如果存在一 个非零常数 T，使得当 x 取定义域内任意一 图像 引导 图像 思考
个值时，都有
f(x+T) ＝f(x)，
则称函数 y＝f(x)为周期函数．非零常数 T 为
y＝f(x)的一个周期．
因此正弦函数 y = sinx，x∈R 是一个周 说明 理解 说明函数
期函数，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，… 的周期不
都是它的周期，即常数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是 唯一从而
它的周期．如果周期函数 y＝f(x)的所有周期 说明引入
中存在一个最小的正数 T0，那么这个最小的 讲解 理解 最小正周
正数 T0 就称为 y＝f(x)的最小正周期． 期的必要
本书中所涉及的周期，如果不特别说明， 性
都是指函数的最小正周期． 利用正弦函数的周期性质可以简化正弦函数的图像与性质的研究过程． 下面用描点法作出正弦函数 y = sinx 在 [0,2π]上的图像． （1）列表. 把区间[0,2π]分成 12 等份, 分别求出 y=sinx 在各分点及区间端点的正弦函数值. (2) 描点作图． 根据表中 x，y 的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到正弦函数 y＝sinx 在 [0,2π]上的图像. 观察函数 y＝sinx 在[0,2π]上的图像发现，在确定图像的形状时，起关键作用的点有以下五个， (0，0)， ,1 ，(π，0)， , 1 ，(2π，0)． 2 2 描出这五个点后，正弦函数的图像就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到[0,2π]上正弦函数的图像简图了，这种作图方法称为五点法． 因为正弦函数的周期是 2π，所以只要将 解释说明 指点说明 说明 指导 思考理解 计算列表 思考 操作 描点法是作函数图像的基本方法 数形结合说明问题渗透树形结合思想方法逐步提升直观想象核心素养 强调“五点法”是重要的作图方法和学生必备基本技能
函数 y＝sinx 在 [0,2π]上的图像沿 x 轴向左或向右平移 2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函数 y＝ sinx，x∈R 的图像. 正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是一条“波浪起伏”“周而复始”的连续光滑曲 线． 引导 分析
典型例题 例1 利用五点法作出函数y＝1+sinx 在 [0,2π] 上的图像． 解 （1）列表. （2）描点作图. 根据表中 x, y 的数值在平面直角坐标系中描点(x,y), 再用光滑的曲线顺次连接各点,就得到函数 y＝1+sinx 在 [0,2π]上的图像. 提问 引导 讲解 强调 思考 分析 解决 交流 借助实际例子加深对“五点法”作图的理解
巩固练习 练习 4.6.1 1．设函数 y=f (x)，x∈R 的周期为 2，且 f(1)＝1，则 f (3)= ． 2 . 利用五点法作出下列函数在[0,2π]上 提问 思考 及时掌握学生情况查漏补缺
的图像： （1） y＝sinx 1；（2） y＝ sinx． 3. 利用五点法作出正弦函数 y＝sinx 在 3 上的图像. 2 ， 2 巡视 指导 动手求解 交流
情境导入 4.6.2 正弦函数的性质 利用研究函数的经验，可否从正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等方面来研究正弦函数的性质呢？ 提问启发 观察思考 从原有知识出发，数形结合思考问题
新知探索 观察正弦曲线，得到关于正弦函数 y＝ sinx，x∈R 的结论: 定义域.正弦函数的定义域是实数集 R. 值域. 正弦曲线分布在两条直线 y=- 1 和 y=1 之间，即对任意的 x,都有| sinx |≤1成立．由此可知,正弦函数的值域是[-1, 1],并 且, 当 x 2k (k ∈ Z) 时,y 取最大值， 2 ymax=1；当 x 2k (k∈Z)时，y 取最小值， 2 ymin=-1． 周期性.正弦函数是周期为 2π 的周期函数． 奇偶性.由图像关于原点对称和诱导公式 sin( x)= sinx 可知，正弦函数是奇函数． 单调性. 由图像可知，正弦函数 y＝sinx 在区间 讲解说明 引导学生从函数性质几方面考虑问题 说明启发结合 理解 观察图像得到结论 通 过 讨论，学生由曲线形状看出函数的性质 加深对知识的理解发展直观想象和数学抽象核心素养
, 上单调递增，在区间 , 上单调 2 2 2 2 递减． 这说明，由正弦函数的周期性可知，正弦 函 数 y ＝ sinx 在 每 一 个 闭 区 间 +2k , +2k (k∈Z)上都是增函数，函 2 2 数值从-1 增大到 1 ；在每一个闭区间 +2k , +2k (k∈Z) 上都是减函数，函 2 2 数值从 1 减小到-1． 图像启发引导说明
典型例题 例 2 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量 x 的集合. y 2 sin x, x R ； 3 y=1-2sinx，x∈R． 分析 由正弦函数的性质知， 1≤sin x ≤1， 且当 +2k (k∈Z)时，sinx 取得最大值 1，此 2 时-sinx 取得最小值-1，当 x= +2kπ(k∈Z) 2 时， sinx 取得最小值-1，此时-sinx 取得最大值 1． 解 （1）因为-1≤sinx≤1，所以 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 . 3 3 3 由正弦函数的性质可得 当 x= +2k (k∈Z)时，sinx 取得最大值 2 1，函数 y 2 sin x 取得最大值 2 ； 3 3 当 x= +2k (k∈Z)时，sinx 取得最小 2 提问 引导 讲解 提问 引导 思考 解决 交流 思考 解决 数形结合解决问题结合具体问题巩固函数的性质
值-1，函数 y 2 sin x 取得最小值- 2 ； 3 3 （2）因为-1≤sinx≤1，所以 2≥-2sinx ≥-2，即-2≤-2sinx≤2.所以-1≤1-2sinx≤3.由正弦函数的性质，可得 当 x= +2k (k∈Z)时，sinx 取得最大值 2 1，函数 y=1-2sinx 取得最小值-1； 当 x= +2k (k∈Z)时，sinx 取得最小 2 值-1，函数 y=1-2sinx 取得最大值 3. 例 3 不求值，比较下列各组数值的大小： （1） sin 与sin 2 ；（2）sin 5 与sin 7 ． 7 7 8 8 解 根据正弦函数的图像和性质可知： （1）因为0 ，正弦函数 7 7 2 y=sinx 在区间 0 上是增函数，所以 ， 2 sin sin ； 7 7 （2）因为 ，正弦函数 2 8 8 y=sinx 在区间 上是减函数，所以 2 sin sin ． 8 8 例 4 求函数 y sin x 的定义域． 解 要使函数 y sin x 有意义， 必须使 sin x≥0 ． 观察由正弦函数正弦函数 y=sinx 在 [0,2π]上的图像. 发现，在[0,2π]内，符合题意的 x 满足 0 讲解 提问 引导 讲解 提问 巡视引导 讲解 提问 交流 思考 解决 交流 思考 解决问题 交流 思考 帮助学生加强对正弦函数单调性的理解 数形结合加强对正弦函数的图像和周期性的理解
≤x≤π．由函数的周期性得： 2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)， 故函数的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}． 温馨提示 对含三角函数的函数式求定义域时，除了考虑函数式有意义之外，还要注意三角函数的周期性． 探究与发现 对于函数 y=sinx (x∈R) ，有 sin + 2 6 3 =sin 成立．这是否说明 2 是函数 y=sinx (x 6 3 ∈R)的一个周期？为什么？ 引导 讲解 补充说明 解决 领会 体会领悟 强调思维的严谨性和知识的简单应用 加深对周期概念的理解
巩固练习 练习 4.6.2 下列各等式能否成立？为什么？ （1） 2sinx=3； （2） sin2 x 1 ． 4 当自变量 x 为何值时，下列各函数取得最大值和最小值？ （1） y 1 sin x ； （2） y=2sinx-1． 2 函数 y=a+2sinx 的最小值是 5，求 a 的值． 不求值，比较下列各对正弦值的大 小. （1） sin(-65°)与 sin(-70°)； 提问巡视 指导 思考 动手求解 交流 通过练习及时掌握学生情况查漏补缺
sin 与sin ； 8 7 sin 与sin ； 18 10 sin 与sin ． 4 4 5.求函数 y sin x 的定义域.
归纳总结 引导总结 反思交流 培养学生总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸学习

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