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第一章 数与式
第01讲 实数及其运算
中考考点 考查频率 新课标要求
实数的分类 ★★ 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的
数轴、相反数、绝对值、倒数 ★★★ 了解实数与数轴上的点一一对应；能用数轴上的点表示实数；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值．
科学记数法 ★★ 会用科学记数法表示数
平方根、立方根 ★★ 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；了解乘方与开方互为逆运算．
实数比较大小 ★★ 能用有理数估计一个无理数的大致范围；能比较实数的大小．
实数的相关计算 ★★★ 理解乘方的意义；掌握有理数的加减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）；理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算．
【考情分析】实数是初中数学的基础内容，也是必考内容，试题形式多样，考查较多的是实数与数轴结合、实数的混合运算及科学记数法，试题难度都不大，在实数的混合运算中，注意符号和运算顺序是解题的关键，实数的混合运算涉及的知识点较多，包含去绝对值、非零数的0次幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值等，每个知识点都要求准确掌握．
考点一 实数的分类
1． 正数与负数
正数：大于0的数叫做正数，如：0.5， ，+2等．
负数：小于0的数叫做负数．如：-0.5， ，-2，-（+1）等．
2．有理数及分类
有理数：整数和分数统称为有理数．（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0）
【补充】有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数．
例：0.53（分数形式： ），1.333333…（分数形式： ）， ，整数3（分数形式： ）等．有理数分类：
3． 无理数
无理数：无限不循环小数叫做无理数．
【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数．
常见的无理数：
1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等
2） 开方开不尽的数，如： 、等．
[易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数．
3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等．
4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）…
5）某些三角函数，如sin60°、cos20°．
【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数．
4． 实数及其分类
实数的定义：有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
（2024·山东淄博·中考真题）
1．下列运算结果是正数的是（ ）
A． B． C． D．
（2024·四川凉山·中考真题）
2．下列各数中：，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2024·山东日照·中考真题）
3．实数中无理数是（ ）
A． B．0 C． D．1.732
（2024·四川雅安·中考真题）
4．将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数
1．数轴
数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．
数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可．
【补充】
1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；
2）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是一旦选定后就不能随意改变；
3）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小．
4）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应．
2． 相反数
相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数，相反数是成队出现的．
性质：1）【热考】若a，b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则若a，b互为相反数．
2）一个有理数有且只有一个相反数；
3）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0．
几何意义：1）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等且位于原点的两侧．
2）位于原点的两侧且到原点距离相等的点，所表示的两个数互为相反数．
3．绝对值
绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即．
【易混易错】
1）若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|= -a（或|a|+a=0），则a≤0．
2）任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意实数，都有|a|≥0．
3）当绝对值符号里的数的正负不能确定时，要分类讨论，即将其分成大于0，小于0，等于0这三类讨论．
4． 倒数
倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．
【易混易错】
1）0没有倒数，倒数是本身的只有1和-1．
2）若a、b互为倒数，则ab=1．
3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）
（2024·江苏苏州·中考真题）
5．用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
（2024·黑龙江大庆·中考真题）
6．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．2024和
C．和2024 D．和
（2024·内蒙古包头·中考真题）
7．若互为倒数，且满足，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．4
（2024·西藏·中考真题）
8．若x与y互为相反数，z的倒数是，则的值为（ ）
A． B． C．9 D．1
（2024·山东德州·中考真题）
9．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023益阳市三模）
10．已知互为相反数，为倒数，且，则的值为 ．
考点三 科学记数法
1．科学记数法
定义：把一个数A表示成的形式（其中1≤|a|＜10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法．
类别 a的确定 n的确定 示例
|A|＞10 1≤|a|＜10 n为正整数，n=小数点左移的位数 a=5.5，n=6
0＜|A|＜1 n为负整数，n=小数点右移的位数 a=-5.5，n=6-
【补充】
1）用科学记数法表示数时，不改变数的符号，只是改变数的书写形式而已，可以方便地表示日常生活中遇到的一些很大或很小的数．
2）一个负数也可以用科学记数法表示．
3）科学记数法的常见类型：
① 直接将像26000000、320万这样的较大数字用科学记数法表示；
② 将450 km或 35 nm 换算单位后用科学记数法表示；
③ 根据题意，先计算，再将计算结果用科学记数法表示．
2．近似数
准确数：在日常生活或生产实际中，能准确地表示一些数的量，成为准确数．
近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个数的近似数．
精确度：近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
【补充】对于带单位的数或用科学记数法表示的近似数，a的末位数字在还原后的数中是哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
有效数字的概念：从左边第一位非0的数字到精确数位的所有的数字．例：0.012有两个个有效数字：1，2；3.6万有两个有效数字：3，6；有四个有效数字：4，3，6，0．
（2024·内蒙古·中考真题）
11．2023年呼和浩特市政府工作报告中指出，我市主要经济指标增速达到十年来最好水平．地区生产总值完成3802亿元．数据“3802亿”用科学记数法表示为 ．
（2024·上海·中考真题）
12．科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为25，则蓝光唱片的容量是普通唱片的 倍．（用科学记数法表示）
（2024·四川广元·中考真题）
13．2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
考点四 平方根、立方根
1． 算术平方根
定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．
算术平方根（a≥0）具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0；
2）算术平方根本身具有非负性，即 ≥0；
【小结】即在式子 中，a≥0且≥0．两个重要等式：
1） ，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
2），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值．
2． 平方根
定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根．正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”．
性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根．
3． 立方根
定义：如果一个数x的立方等于a，即 ，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根． 数a的立方根记作“ ”，读作“三次根号a”．
【补充】1）立方根等于本身的有0和±1．
2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数．
性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．
平方根与立方根的区别与联系
关系 名称 平方根 立方根
区别 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数
表示方法 非负数a的平方根表示为±，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写
被开方数的取值范围 在±中，a是非负数，即 在中，a是任意数
联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究，即．
4． 常见实数的平方与立方：
常见数的平方 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
112 122 132 142 152 162 172 182 192 202
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
常见数的立方 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103
1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
（2023·湖南娄底·中考真题）
14．从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
（2023·山东·中考真题）
15．面积为9的正方形，其边长等于（　　）
A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根
（2023·四川广安·中考真题）
16．的平方根是 ．
（2023·四川内江·中考真题）
17．若a、b互为相反数，c为8的立方根，则 ．
考点五 比较实数的大小
1）实数性质法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小；
2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
3）作差比较法：a，b是任意两个实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a4）作商比较法：a、b为正数，若>1，则a>b；若=1，则a=b；若<1，则a5）倒数比较法：
已知a、b为正数，①若1a>1b，则ab．已知a、b为正数，①若1a>1b，则ab．
6）平方比较法：a、b为正数，若，则a>b． a、b为负数，若，则a【补充】主要应用于二次根式的估值及比较含有根式的实数大小．
7）特殊值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小．这里需要我们记住三个常用的近似值：
（2024·山东威海·中考真题）
18．下列各数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
（2023·江苏·中考真题）
19．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）．

A． B． C． D．
（2023·江苏扬州·中考真题）
20．已知，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
（2024·安徽·中考真题）
21．我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）．
考点六 实数的运算
实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算． 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用．
1． 实数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
2． 实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．
3． 实数的乘方法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2）任何数同0相乘，都得0．
【补充】1）正数的任何次幂都是正数；2）0的任何正整数次幂都是0；3）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
4． 实数的除法法则：1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数；
2）0除以任何不为0的数，都得0．
5． 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算．
6．运算律
类别 表示
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
【易混易错】
1． 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律．
2． 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
（2024·江苏徐州·中考真题）
22．计算：
(1)；
(2)．
（2024·四川广元·中考真题）
23．计算：．
（2023·青海西宁·中考真题）
24．计算：．
（2023·辽宁沈阳·中考真题）
25．计算：．
命题点一 实数的基础
题型01 正负数的意义
（2024·海南·中考真题）
26．负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上记作，则零下应记作（ ）
A． B． C． D．
（2024·河北·中考真题）
27．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A． B． C． D．
（2024·江苏连云港·中考真题）
28．如果公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作 年．
（2023·甘肃武威·中考真题）
29．近年来，我国科技工作者践行“科技强国”使命，不断取得世界级的科技成果，如由我国研制的中国首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，填补了中国水下万米作业型无人潜水器的空白；由我国自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，创造了浮空艇原位大气科学观测海拔最高的世界记录．如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作“ 米”．
题型02 无理数的识别
常见的无理数：1）一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等． [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等． 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°． 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数．
（2022·四川巴中·中考真题）
30．下列说法正确的是（ ）
A．是无理数 B．明天巴中城区下雨是必然事件
C．正五边形的每个内角是 D．相似三角形的面积比等于相似比
（2024·甘肃临夏·中考真题）
31． 下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.13133
（2023·湖南娄底·中考真题）
32．从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
（2024·山西大同·模拟预测）
33．请写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数可以是 ．（写出一个即可）
题型03 科学记数法
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键，具体方法为：1）a是一个整数数位只有一位的数，即1≤|a|＜10； 2）确定n的两种方法： ①当原数绝对值大于10时，则n的值等于原数中整数部分的位数减1； ②当原数绝对值小于1时，n为负整数，n的值等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数的相反数（包括小数点前面的零）． 【小结】将数字用科学记数法表示时，小数点移动的位数，即为10的指数的绝对值． 3）用科学记数法表示带单位的大数的技巧：
（2024·山东日照·中考真题）
34．交通运输部2024年4月发布的全国港口货物吞吐量数据显示，日照港2024年第一季度吞吐量为15493万吨，居全国主要港口第6位．将数据154930000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
35．2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ）
A．光年 B．光年 C．光年 D．光年
（2024·山东威海·中考真题）
36．据央视网2023年10月11日消息，中国科学技术大学中国科学院量子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作，成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”，再度刷新了光量子信息的技术水平和量子计算优越性的世界纪录．“九章三号”处理高斯玻色取样的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍，在百万分之一秒时间内所处理的最高复杂度的样本，需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间．将“百万分之一”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
（2024·山东淄博·中考真题）
37．我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
题型04 无理数的估算
估算，需要找到靠近a，且比a小和比a大的两个相邻平方数．
（2024·重庆·中考真题）
38．估计的值应在（　　）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
（2024·河北·中考真题）
39．已知a，b，n均为正整数．
（1）若，则 ；
（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
（2024·广东深圳·中考真题）
40．如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 ．（写出一个答案即可）
题型05 实数的大小比较
实数比较大小的常用方法 1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较； 4）估算法：常见≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小．
（2024·四川自贡·中考真题）
41．在0，，，四个数中，最大的数是（ ）
A． B．0 C． D．
（2023·江苏扬州·中考真题）
42．已知，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
（2023·江苏盐城·中考真题）
43．课堂上，老师提出了下面的问题：
已知，，，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较与的大小．
小华：∵，
∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小：__________．（填“”“”或“”）
（2024·云南·中考真题）
44．已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记．
(1)求的值；
(2)比较与的大小．
题型06 实数与数轴
（2024·山东青岛·中考真题）
45．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
（2024·四川南充·中考真题）
46．如图，数轴上表示的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
（2024·内蒙古赤峰·中考真题）
47．如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b，那么下列运算结果一定是正数的是（ ）

A． B． C． D．
（2023·辽宁大连·中考真题）
48．如图，在数轴上，，过作直线于点，在直线上截取，且在上方．连接，以点为圆心，为半径作弧交直线于点，则点的横坐标为 ．
题型07 平方根、立方根
（2023·江苏无锡·中考真题）
49．实数9的算术平方根是（ ）
A．3 B． C． D．
（2023·云南·中考真题）
50．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽·中考真题）
51．计算： ．
（2024武威市三模）
52．一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 .
命题点二 实数的运算
题型01 非负性的应用
二次根式是初中阶段常见的三种非负数之一，这三种非负数分别是：1）一个实数的绝对值，即|a|； 2）一个实数的偶次方（主要是二次方），即等； 3）一个实数的算术平方根（即二次根式），即．
（2023·山东·中考真题）
53．的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
（2024·四川成都·中考真题）
54．若，为实数，且，则的值为 ．
（2024·四川资阳·中考真题）
55．若，则 ．
（2023·广东深圳·二模）
56．若与互为相反数，则的值是 .
题型02 实数的简单运算
（2024·吉林长春·中考真题）
57．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　）
A． B． C． D．
（2024·河南·中考真题）
58．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2024·吉林·中考真题）
59．若的运算结果为正数，则内的数字可以为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
（2023·辽宁营口·中考真题）
60．有下列四个算式①；②；③；④．其中，正确的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
（2023·山东滨州·中考真题）
61．计算的结果为 ．
（2023·广西·中考真题）
62．计算：．
题型03 实数的混合运算
运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算． 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 实数计算的易错点： 1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； 2）一个非负数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 3）（a≠0，n为正整数），（a≠0，n为正整数） 在计算中常用的锐角三角函数值： 三角函数30°45°60°sin αcos αtan α1
（2024·山东日照·中考真题）
63．计算：
（2024·北京·中考真题）
64．计算：
（2024·四川遂宁·中考真题）
65．计算：．
（2023·四川德阳·中考真题）
66．计算：
（2023 灞桥区一模）
67．计算：
(1)
(2)
题型04 与实数有关的新定义问题
（2023·内蒙古·中考真题）
68．定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ）
A． B． C．5 D．3
（2023·四川内江·中考真题）
69．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
（2024·山东威海·中考真题）
70．定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2024·甘肃·中考真题）
71．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ．
（2023·四川广安·中考真题）
72．定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是 ．
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参考答案：
1．A
【分析】题考查了正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据正数的定义，负整数指数幂的运算，绝对值的化简，乘方，算术平方根的意义计算选择即可．
【详解】解：A、是正数，符合题意；
B、是负数，不符合题意；
C、是负数，不符合题意；
D、是负数，不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解：，是正数；
，是负数；
，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
，是负数；
，是正数；
负数有，，，共3个．
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：都是有理数，是无理数．
故选：C
4．
【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解．
【详解】解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，
所以取到有理数的概率为，
故答案为：．
5．B
【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断．
【详解】解：∵，，，，，
∴与原点距离最近的是1，
故选：B．
6．A
【分析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可．
【详解】解：A、和互为相反数，故A选项符合题意；
B、2024和互为倒数，故B选项不符合题意；
C、和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；
D、和不互为相反数，故D选项不符合题意；
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值．
【详解】解：∵互为倒数，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了相反数、倒数、求代数式的值，根据相反数和倒数的定义得出，，将式子变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握相反数、倒数的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵x与y互为相反数，z的倒数是，
∴，，
∴，
故选：D．
9．D
【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可．
【详解】解：根据数轴得，
∴，
故选：D．
10．
【分析】本题考查了相反数、倒数的定义，绝对值的性质，代数式求值，利用相反数、倒数的定义和绝对值的性质可求得，，，再代入算式计算即可求解，掌握相反数、倒数的定义和绝对值的性质是解题的关键．
【详解】解：∵互为相反数，为倒数，
∴，，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：3802亿，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键．
【详解】解：蓝光唱片的容量是普通唱片的倍，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，解题的关键是熟知．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可．
【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知，
43阿秒秒，
故答案为：．
14．A
【分析】先判断出，是无理数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，3.1415926，，，，，中无理数有：，，
∴从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是；
故选A
【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
15．B
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵面积等于边长的平方，
∴面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根．
故选B．
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
16．±2
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
17．
【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．A
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解．
【详解】解：，
∵
∴最小的数是
故选：A．
19．D
【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，，
A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选D．
【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
20．C
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
21．>
【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
而，
∴，
∴；
故答案为：
22．(1)2
(2)
【分析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．
【分析】此题考查了实数的混合运算，特殊的三角函数值，零次幂及负指数幂计算，正确掌握各计算法则是解题的关键．
【详解】解：原式．
24．
【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：原式
.
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25．10
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，特殊角的三角函数值，准确计算．
26．A
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零下就用负数表示，据此可得答案．
【详解】解：若若零上记作，那么零下应记作，
故选：A．
27．A
【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．
由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
【详解】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故选：A．
28．
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，进行作答即可．
【详解】解：公元前121年记作年，那么公元后2024年应记作年；
故答案为：．
29．
【分析】根据正负数表示相反的意义解答即可．
【详解】解：把海平面以上9050米记作“米”，则海平面以下10907米记作米，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正负数的理解：在一个事件中，规定一个量为正，则表示相反意义的量为负，正确理解正负数表示一对相反的意义的量是解题的关键．
30．C
【分析】二次根式化简可得=2，下雨是可能事件，正五边形每个内角是，相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解得．
【详解】A． =2，故选项错误，不符合题意．
B． 明天巴中城区下雨是可能事件，故选项错误，不符合题意．
C． 正五边形的每个内角是，故选正确，符合题意．
D． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式、事件发生的可能性、正多边形的内角、相似三角形的面积比，解题的关键是记住相关概念．
31．A
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、0.13133是有理数，不符合题意；
故选A．
32．A
【分析】先判断出，是无理数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，3.1415926，，，，，中无理数有：，，
∴从，3.1415926，，，，，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是；
故选A
【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键．
33．（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的性质，二次根的乘法，熟练掌握二次根式的性质和乘法法则是解本题的关键．
先化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算后确定这个符合条件的无理数．
【详解】∵，，
∴这个无理数可以是，（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
34．B
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：B．
35．C
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可．关键是确定a与n的值．
【详解】解：50亿光年光年；
故选C．
36．B
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：百万分之一．
故选：B．
37．B
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
【详解】解：万，
则，
故选：B．
38．C
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．
【详解】解：∵，
而，
∴，
故答案为：C
39．
【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；
（1）由即可得到答案；
（2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，而，
∴；
故答案为：；
（2）∵a，b，n均为正整数．
∴，，为连续的三个自然数，而，
∴，，
观察，，，，，，，，，，，
而，，，，，
∴与之间的整数有个，
与之间的整数有个，
∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个），
故答案为：．
40．2（答案不唯一）
【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的估算．利用算术平方根的性质求得，，再根据无理数的估算结合，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴正方形的边长，即，
∴正方形的边长可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
41．C
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：
，
∴在0，，，四个数中，最大的数是，
故选：C．
42．C
【分析】由，，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
43．(1)
(2)
【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案；
（2）根据作差法求的值即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．
44．(1)
(2)当时，；当时， ．
【分析】（1）由对称轴为直线直接求解；
（2）当时，；当时， ．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴；
（2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴，
而
代入得：，
∴，
∴，
∵，
解得：，
当时，
∴；
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理．
45．C
【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据绝对值的几何意义可知，一个实数的绝对值表示的是这个实数在数轴上与原点的距离，故离原点越近，其绝对值越小，据此可得答案．
【详解】解：由数轴上点的位置可知，，
∴这四个实数中绝对值最小的是，
故选：C．
46．C
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．先估算出的范围，再找出符合条件的数轴上的点即可．
【详解】解：∵，
∴数轴上表示的点是点C，
故选：C．
47．A
【分析】本题考查了实数与数轴，整式的运算等，由数轴是上A、M、B的位置可得出，，，，再根据整式的运算法则求解即可．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，
∴原点在A、M之间，，
∴，，，
∴运算结果一定是正数的是，
故选：A．
48．##
【分析】根据勾股定理求得，根据题意可得，进而即可求解．
【详解】解：∵，，，
在中，，
∴，
∴，
为原点，为正方向，则点的横坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
49．A
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
50．C
【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解．
【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．
51．
【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
52．3
【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系，列出方程求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解．
【详解】解：，
解得，
∴，
∴，
即的立方根为3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平方根的应用、立方根，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．
53．D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．
【详解】解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
54．1
【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：1．
55．2
【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．根据绝对值和平方的非负性，得出，求出a和b的值，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：2．
56．##
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出等式，再利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
57．D
【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握“将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同”成为解题的关键．
根据将两个数的绝对值相减,结果的符号与绝对值较大的数的符号相同即可解答．
【详解】解：．
故选D．
58．D
【分析】本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．
【详解】解：，
故选D
59．D
【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案．
【详解】解：，，，，
四个算式的运算结果中，只有3是正数，
故选：D．
60．C
【分析】由有理数的加减运算法则、乘方的运算法则、除法运算法则，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：①；故①错误；
②；故②错误；
③；故③正确；
④；故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除、乘方的运算法则，解题的关键是正确掌握运算法则进行判断．
61．
【分析】化简绝对值，根据有理数的运算法则进行计算即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的加减法则，熟练掌握有理数的加减法则是解题的关键．
62．6
【分析】根据有理数的混合运算法则求解即可．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
63．1
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．分别化简绝对值，零指数幂，再进行加减计算．
【详解】解：原式，
．
故答案为：1
64．
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握知识点是解题的关键．
依次根据零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解：原式
．
65．
【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．
【详解】解：
．
66．4
【分析】先计算锐角的余弦，负整数指数幂，化简绝对值，零次幂，算术平方根，再合并即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，负整数指数幂的含义，零次幂的含义，求解算术平方根，特殊角的三角函数值，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键．
67．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；
（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．
【详解】（1）解：
，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．
68．D
【分析】根据新定义的运算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键．
69．C
【分析】通过计算，可以推出结果．
【详解】解：
…
，，，
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
70．B
【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
解得：，
故选：B．
71．8
【分析】根据定义，得，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得，
故答案为：8．
72．
【分析】先根据可得一个关于的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得．
【详解】解：，
，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值，理解新运算的定义是解题关键．

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