资源简介

·授课
题目
授课
时长
高等教育出版社《数学》
2021十四五（基础模块下册）
6.3两条直线的位置关系
5课时
选用教材
授课类型
新授课
本课首先介绍两条直线平行、重合及相交的位置关系及判定的方法，研究两
条直线相交的位置关系及两条直线垂直的条件，最后介绍点到直线的距离的计
算公式，学习利用斜率判定两条直线的位置关系以及求两条直线的交点坐标，用
待定系数法求与已知直线平行(或垂直)的直线方程，求点到直线的距离，并帮助
学生体会斜率在研究直线中的重要作用.
教学
提示
通过学习，会求两条直线交点的坐标，逐步提升直观想象和数学运算等核
心素养；通过学习两条直线平行以及垂直的条件和判定方法，能根据条件判定两
条直线的位置关系，逐步提升直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养；学习
点到直线的距离公式，能求点到直线的距离，逐步提升运算过程等核心素养.
教学
目标
教学
重点
教学
难点
教学
环节
两条直线的位置关系，两条直线交点坐标，点到直线的距离.
两条直线位置关系的判断与应用，点到直线距离的计算.
教师 学生 设计
教学内容
活动 活动 意图
提出 思考 结合
6.3.1. 两条直线平行
(1)2020年 11月 24日,我国在文昌航天发射基地，用 问题
长征 5 号遥五运载火箭成功发射了探月工程嫦娥五号探
测器.大型运载火箭发射航天器离不开助推器的推送,我 引发
生活
分析 常识
思
国长征 5号火箭,外围有四个火箭助推器.如果把长征 5号 思考 回答 考，
火箭的四个助推器看作直线,它们的位置关系如何呢？
通过观察可以看出,四个助推器是相互平行的.
(2)现实生活中有许多物体具有平行的位置关系.观察
图示的图形,哪些物体是平行的 怎样用数学语言表述平行
的位置关系呢？
展示
数学
美，
同时
树立
爱国
主义
情怀
情境
导入
1
若直线 l 与直线 l 平行且都平行于 x 轴,则直线 l 与 讲解 理解 分不
1
2
1
直线 l2的倾斜角都为 0,此时斜率为 0.
反之,若直线 l 与直线 l 的斜率都为 0,则倾斜角也都
同情
况进
1
2
为 0, 直线 l 与直线 l 平行且都平行于 x轴.
行说
1
2
若直线 l 与直线 l 平行且都垂直于 x 轴,则直线 l 与
明，
1
2
1
直线 l2的斜率都不存在.
反之,若直线 l 与直线 l 的斜率都不存在,则直线 l 与
说明 思考 归纳
概念
1
2
1
直线 l2都垂直于 x轴且平行.
突出
强调
规范
展示 领会 表述
和注
意事
项
探索
新知
若直线 l :y=kx+b 与直线 l :y=kx+b 平行,则直线 l 与 引领 分析
1
1
1
2
2
2
1
直线 l 的倾斜角相等,即 α =α ,此时直线 l 与直线 l 的斜率
2
1
2
1
2
相等即,k=k.
1
2
反之，若直线 l :y=kx+b 与直线 l :y=kx+b 的斜率相
1
1
1
2
2
2
等,即 k=k,则直线 l 与直线 l 的倾斜角相等,此时直线 l 与
1
2
1
2
1
直线 l2平行.
若直线 l :y=kx+b 与直线 l :y=kx+b 的斜率相等,即
1
1
1
2
2
2
k=k,且 b =b ,则这两条直线重合.
1
2
1
2
综上可知,利用直线的斜率可以判断两条直线是否平行.
温馨提示
在平面直角坐标系中,当两条直线的斜率 k 与 k 都存 强调 领会 适时
1
2
在,并有 k=k 且 b ≠b 时,两条直线平行;当两条直线的斜率
总结
1
2
1
2
都不存在时,两条直线也平行.
例 1 判断下列各组直线是否平行或重合.
(1)l : y= x,l :x y+ 2= 0;
提问 思考 两条
直线
1
2
1
2
1
2
平行
(2)l :x+ 2y+1= 0,l : y= x ;
1
2
知识
(3)l :x= 2,l :x= 5.
1
2
引导 分析 的直
解 (1)由 y=x,得直线的斜率 k=1,在 y轴上截距 b =0;由
1
1
接应
用
x-y+2=0,即y=x+2,得直线的斜率k=1,在y轴上的截距b =2.
2
2
因为 k=k 且 b ≠b ,所以两条直线平行.
例题
辨析
1
2
1
2
1
2
1
2
(2)由 x+ 2y+1= 0 ,即 y= x ,得直线的斜率 讲解 解决
1
2
1
2
k = ,在 y轴上截距b = .
1
2
因为 k=k 且 b =b ,所以两条直线重合.
1
2
1
2
(3)因为直线 x=2 与直线 x=5 都垂直于 x 轴,两条直线 强调 交流
的斜率都不存在,所以两直线平行.
例 2 求经过点 A(1,1)且与直线 y=2x-3平行的直线方程.
解 因为直线 y=2x-3的斜率为 2,所以所求直线的斜率 k=2.
2
设所求直线方程为
提问 思考
引导 分析 强调
斜率
y=2x+b,
因为直线过点 A(1,1),所以有 1 =2+b,解得 b=-1,故所求直线
方程为 y=2x-1,即
2x-y-1=0.
讲解 解决 是解
决问
强调 交流 题的
关键
练习 6.3.1
提问 思考 及时
掌握
1.判断下列各组直线是否平行或重合：
(1) l :y=-2x+3,l :4x+2y+5=0；
1
2
学生
(2) l : y=3x+1,l :3x-y+1=0 ;
1
2
掌握
3
4
(3) l : y=3x-4y+4,l : y= x+1；
巡视 动手 情况
求解 查漏
补缺
1
2
(4)l :x=3, l :x=7.
巩固
练习
1
2
2.填空题：
(1)若直线 l 与直线 x+2y+1=0平行,则直线 l 的斜率为
___________;
(2)已知直线 l在 y轴上的截距为 2,且与直线 y=x平行,
则直线 l 的方程为_____________.
(3)若直线 l 经过点(2,0)且与直线 y=3x+2 平行,则直线
l 的方程为___________.
指导 交流
3.求过点(1,2)且平行于直线 x=-5的直线方程.
6.3.2. 两条直线相交
(1)交通标志是用文字或符号传递引导、限制、警告或 提出 思考 联系
指示信息的道路设施.一般以安全、醒目、清晰、明亮的交 问题 讨论 实际
通标志实施交通管理,保证道路交通安全、顺畅.如图的交
通标志表示禁止车辆临时或长时停放,图中的两条线段有
什么位置关系？
创设
情
境，
借助
常用
标志
物引
发学
生关
注社
会生
活的
意识
(2) 中国红十字会成立于 1904 年,会标如图所示,图中
的红十字是否可以看成是两条垂直的线段？
情境
导入
同一平面内,两条直线既不平行,也不重合,这两条直线 讲解 理解 通过
就是相交的.若两直线相交,且斜率都存在,它们的斜率有什
么关系？
与原
说明 思考 有知
识对
探索
新知
在同一平面内,若两条直线 l 和 l 相交,且斜率 k 与 k
2
1
2
1
都存在,则 k≠k;反之,若两条直线 l 和 l 的斜率 k 与 k 都 展示 领会 比引
1
2
1
2
1
2
且 k≠k,则这两条直线 l 与直线 l 相交.
发学
若直线 l 的斜率不存在,而直线 l 的斜率存在,则直线 讲解 理解 生思
1
2
1
2
1
2
3
l 与直线 l 相交.
考
提问 思考 通过
引导 分析 求两
条直
1
2
例 3 判断下列各组直线是否相交.
(1) l :2x+y-1=0,l :2x-y=0
1
2
(2) l : x=2,l :y=x+2
1
2
解 (1)由 2x+y-1=0,有 y=-2x+1,得直线 l 的斜率 k=-2;由
2x-y=0,即 y=2x,得直线 l 的斜率 k=2.
1
1
讲解 解决 线的
强调 交流 斜率
判断
2
2
因为 k≠k,所以两条直线相交.
1
2
(2)由 x=2 知直线 l1 的斜率不存在;由 y=x+2,得直线 l2
的斜率为 k2=1.
所以两条直线相交.
两条
直线
是否
相交
温馨提示
直线 l 与直线 l 相交,如
1
2
图所示,交点 P 的坐标(x ,y )
展示 观察 拓展
图像 思考 学习
0
0 0
同时满足两条直线的方程.因
此,两条直线的交点的坐标就
是两条直线的方程组成的方
程组的解.
例题
辨析
提问 分析
引导 交流
例 4 判断直线 l :x+3y-6=0与直线 l :y=x-2是否相交.若相
1
2
交,求出交点 P0的坐标.
提问 思考 两条
x
3
1
3
解 由 x+3y-6=0,有 y= + 2,得直线 l 的斜率k = ;由
引导 分析 直线
1
1
交点
y=x-2得直线 l 的斜率 k=1.
2
2
讲解 解决 位置
因为 k≠k,所以两条直线相交.
1
2
强调 交流 的确
由两条直线的方程组成的方程组为
x+3y 6= 0,
定体
现坐
标法
的思
想

y= x 2.

x= 3，
得 所以两条直线的交点为 P0的坐标为(3,1).
y=1，
在同一平面内,两条直线垂直是两条直线相交的特殊 引领 领会 数形
情况.
结
合，
展示 观察 逐步
提升
直观
想象
核心
素养
探索
新知
(1)
(2)
直线 l 与直线 l 垂直,如图(1)所示.因为直线 l 平行于 分析 思考 分析
1
2
1
x轴,所以直线 l 的斜率为 0；因为直线 l 垂直于 x轴,所以
特殊
情
1
2
直线 l2的斜率不存在.
直线 l 与直线 l 垂直且斜率 k,k 都存在,如图(2)所示.
况，
1
2
1
2
4
设直线 l 与 l 的倾斜角分别为 α 和 α .记 α 的补角
强调
1
2
1
2
2
∠OCA为 α3.
因为 l ⊥l ,所以△ABC为直角三角形,且
指导 演算 思维
1
2
的完
AC
AB
备
k=tanα =
,
1
1
性；
AB
AC
推导
k =tanα =tan(π α )= tanα =
,
2
3
2
2
过程
故
提升
|AC| |AB|
|AB| |AC|
数学
运算
k k =

= 1.
1
2
即,若两条直线 l 与 l 垂直且斜率 k 与 k 都存在,则
1
2
1
2
分析 交流 核心
素养
kk -1.
1 2=
反之若两条直线 l 与 l 的斜率 k 与 k 都存在且 kk -
1
2
1
2
1 2=
1,则直线 l 与 l 垂直.
1
2
引领 领会
例 5判断直线 l :2x+y-1=0与直线 l :x-2y=0是否垂直
1
2
提问 思考 加深
引导 分析 和巩
固基
解 由 2x+y-1=0,得直线 l 的斜率k = 2；
1
1
1
2
由 x-2y=0,得直线 l 的斜率k = .
2
2
讲解 解决 础知
因为 kk=-1,所以直线 l :2x+y-1=0与直线 l :x-2y=0垂
1 2
1
2
强调 交流
识
直.
例 6已知直线 l 经过点 M(1,-2)且与直线 l :y=2x-1垂直，
求直线 l1的方程.
例题
辨析
1
2
提问 思考
解 由 l :y=2x-1,得直线 l 的斜率 k=2;设直线 l 的斜率为 引导 分析
2
2
2
1
1
2
k,因为 l ⊥ l ,所以 kk=-1,故有k = .
1
1
2
1 2
1
讲解 解决
强调 交流
又因为直线 l1经过点 M(1,-2),所以由点斜式方程,得
1
y+ 2= (x 1)，
2
即直线 l1的方程为 x+2y+3 =0.
练习 6.3.2
提问 思考 及时
掌握
1.判断下列各组直线是否相交.若相交,则求出交点坐
标.
学生
(1) l1:x+4=0,
l2:2x+3y-11=0；
巡视 动手 掌握
求解 情况
查漏
(2) l : 2x+3y+7=0,l :2x+y-3=0;
1
2
(3) l1: x+y-3=0, l2: 3x+3y+5=0 .
2.判断下列各组直线是否垂直
(1) l :x+2y-1=0, l :x-2y+1=0；
巩固
练习
指导 交流 补缺
1
2
(2) l :4x+3y-2=0, l :3x-4y+5=0；
1
2
1
2
(3) l : y= x 9, l : y=2x+1;
1
2
(4) l1:2x+3=0 ,
l2:5x-1=0.
3. 求经过点(0,2),且与直线 y=x+2垂直的直线的方程.
4.设△ABC的三个顶点分别为 A(4,0)、B(6,7)、C(0,3),
求△ABC中 BC边上的高所在的直线的方程.
6.3.3 点到直线的距离
情境
导入
高速铁路简称高铁,是指基础设施设计速度标准高、可 展示 思考 创设
5
供火车在轨道上安全高速行驶的铁路,列车运营速度在 问题 问题 情境
250km/h 以上.高铁的某一段铁轨可以看作是两条相互平
同时
行的直线,铁轨间的距离是高速列车的设计时的重要参数. 引领 分析 激发
而铁轨间的距离实际上就是两条平行线之间的距离,如何 思考 交流 爱国
计算这个重要的参数呢？
情怀
我们知道,在平面直角坐标系中,点与直线有两种位 引领 思考 采用
置关系：
解决
具体
的问
(1)点在直线上,点的坐标满足直线方程；
(2)点在直线外,点的坐标不满足直线方程.
当点 M在直线 l 外时,如图所示,称点 M到直线 l 的垂 展示 观察 题后
线段 MN的长度为点 M到直线 l 的距离.
直接
给出
公
式，
突出
公式
的应
用
如果点在直线上,则点到直线的距离为 0;如果点在直
提问 思考
线外,如何求直线 l:Ax+By+C=0外一点 M(x ,y )到直线 l 的
0
0
距离呢
若点 M的坐标为(3,-2),直线 l 的方程为 x-2y+3=0,如
图所示,我们来求点 M到直线 l:x-2y+3=0的距离.
探索
新知
展示 分析
过程 交流
(1)过点 M作直线 l 的垂线,求垂线方程.
1
由直线 l 的方程 x-2y+3=0得直线的斜率 k= .若垂线
1 2
的斜率为 k,则有 kk -1,所以 k -2.由直线的点斜式方程
2
1 2=
2=
得垂线方程 y+ 2= 2(x 3) ,即2x+ y 4= 0.
(1)求两条直线的交点 N的坐标.
两条直线的方程组成的方程组为
x 2y+3= 0,

2x+ y 4= 0.

x=1，
解得
所以两条直线的交点 N的坐标为(1,2).
y= 2，
(3)求点到直线l的距离.
由两点间距离公式得
MN = (1 3)
2
+ (2+ 2) = 2 5,
2
即点 M到直线l的距离为2 5.
6
用同样的方法可以求得点 M(x ,y )到直线 Ax+By+C=0
0
0
的距离为
Ax + By + C
d =
0
0
A
2
+ B
2
公式称为点到直线的距离公式.
温馨提示
提示 注意 补充
说明
用公式求点到直线的距离时,直线的方程必须是一般
式方程.
4
提问 思考 直接
引导 分析 应用
公式
例 7求点 M(2,3)到直线 y= x 1的距离 d.
3
4
解 直线 y= x 1的一般式方程为 4x-3y-3=0,由点到直线
3
解决
的距离公式,得
讲解 解决 问题
强调 交流
4×2+( 3)×3 3
4
d =
= .
5
4
2
+( 3)
2
例 8求两条平行直线 x+y-1=0与 x+y+2=0之间的距离.
分析 先在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点,
然后利用点到直线的距离公式,求出这个点到另一条直线
的距离,即为两条平行直线间的距离.
解 在直线 x+y-1=0上取点 M(0,1). 因为点 M(0,1)到直线
x+y+2=0的距离为
例题
辨析
提问 思考 解决
引导 分析 过程
体现
化归
讲解 解决 思想
强调 交流
1×0+1×1+ 2
3
3 2
d=
=
=
,
12 +1
2
2
2
所以两条平行直线 x+y-1=0与 x+y+2=0之间的距离为
3 2
2
.
练习 6.3.3
1.求坐标原点到下列各直线的距离：
提问 思考 及时
掌握
(1) 3x-2y+1=0；
学生
1
(2) y= x;
巡视 动手 掌握
求解 情况
查漏
巩固
练习
3
(3) y-5=0.
2.若点 M(2,m)到直线 3x-4y+2=0的距离为 4,求实数 m
指导 交流 补缺
的值.
3.求两条平行直线 2x+3y-4=0与 2x+3y+18=0之间的距
离.
引导 回忆 培养
学生
提问 反思 总结
归纳
总结
学习
过程
能力
布置
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
说明 记录 继续
7
作业
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
探究
延伸
学习
8

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