资源简介

授课
题目
授课
时长
高等教育出版社《数学》
2021十四五（基础模块下册）
6.5直线与圆的位置关系
2课时
选用教材
授课类型
新授课
本课通过实例介绍直线与圆的位置关系，采用数形结合的方式，利用比较半
径与圆心到直线的距离大小来判定直线与圆的位置关系，通过例题学习求圆的
切线方程以及直线与圆相交所得的弦长.
教学
提示
能识别直线与圆的位置关系，会通过比较半径与圆心到直线的距离大小的
方式来判定直线与圆的位置关系，会求直线与圆相交时的弦长，会求圆的切线方
程，逐步提升直观想象、数学抽象等核心素养.
教学
目标
教学
重点
教学
难点
教学
环节
根据给定直线和圆的方程，判别直线与圆的位置关系.
直线与圆位置关系的判定.
教师 学生 设计
教学内容
活动 活动 意图
在日落过程中,太阳和海平面有三种位置关系.如果把 提出 思考 结合
太阳看作一个圆,海平面看做一条直线,这三种位置关系是
问题
生活
分析 常识
思
否可以通过直线和圆的方程表示？
引发
思考 回答 考，
情境
导入
增加
问题
的直
观性
在平面几何中,我们已经知道直线与圆的三种位置关 讲解 理解 对比
系,如图所示.
一般
曲线
与方
程的
关
说明 思考
探索
新知
系，
数形
结合
方式
更加
当直线与圆没有公共点时,直线与圆相离;
当直线与圆有唯一公共点时,直线与圆相切；
当直线与圆有两个公共点时,直线与圆相交.
观察上图可知,直线与圆的位置关系可以由圆心到直
线的距离 d与半径 r的大小关系来判断.
展示 领会 针对
(1) 直线 l 与圆 C相离 d> r；
(2) 直线 l 与圆 C相切 d= r；
性和
简洁
(3) 直线 l 与圆 C相交 d r.
<
1
例 1判断直线 l:2x+y+5=0与圆 C:x
2+y2 10x=0
-
的位置关系. 提问 思考 利用
解法一 将圆的方程 x2+y2 10x=0
-
化为圆的标准方程
引导 分析 两种
方法
(x-5)2+y2=25,
则圆心坐标为(5,0)，圆的半径为 r=5.
因为圆心 C(5,0)到直线 l:2x+y+5=0的距离
2×5+1×0+5 15
讲解 解决 给出
强调 交流
解
答，
复习
初中
的知
识，
也是
对新
学习
知识
的巩
固和
加深
d =
=
= 3 5> 5，
2
2
+1
即 d>r,所以直线与圆相离.
解法二 将直线 l 与圆 C的方程联立,得方程组
2
5
2x+ y+5= 0,
①
②

x2 + y2 10x= 0.

由①得
y=-2x-5，
代入②有
化简得
x2+(-2x-5)2-10x=0,
x2+2x+5=0 .
因为 Δ=22-4×1×5= 16<0,
-
所以方程组没有实数解,即
直线 l 与圆 C没有交点,直线与圆相离.
直线与圆相切，称直线为圆的切线.
探究与发现
提出 思考
问题 讨论
在平面直角坐标系中,如果过点 P能作出圆的切线,那
么,如何求这条切线的方程呢
例题
辨析
提示 交流 提升
引领 结果 认识
引出
可以看出:
新知
(1)点 P 在圆 C 上,过点 P 只能作一条直线与圆 C 相
切；
(2)点 P在圆 C外,过点 P可以作两条直线与圆 C相切；
(3)点 P在圆 C内,过点 P不存在与圆 C相切的直线.
例 2 经过下列各点与圆 C:(x+1)2+(y 1)2=4
-
有几条切线？
(1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2).
解 由圆的方程(x+1)
半径 r=2.
2+(y 1)2=4,
-
得圆心坐标为 C(-1,1),圆的
(1)点 P(0,-2)到圆心 C的距离为
CP = [0 ( 1)] + ( 2 1) = 10> 2,
2
2
即|CP|>r,所以点 P在圆外,过点 P有两条直线与圆 C相切.
(2)点 Q(1,1)到圆心 C的距离为
提问 思考 与练
引导 分析 习 2
讲练
CQ= [1 ( 1)]
2
+ (1 1) = 2,
2
即|CQ|=r,所以点 Q 在圆上,过点 Q 有且只有一条直线与圆
讲解 解决
结
2
C相切.
(3)点 R(0,2)到圆心 C的距离为
CR= [0 ( 1)] + (2 1) = 2< 2,
强调 交流 合，
加深
对问
题的
认识
2
2
即|CR|线.
例 3已知圆 O:x2+y2=1,判断过点Q(0, 2)与圆 O有几条切
线,并求切线方程.
提问 思考 蕴含
着待
定系
数法
引导 分析 和解
分析 求切线方程的关键是求出切线的斜率 k,可以利用圆
心到切线的距离等于圆的半径来确定 k.
解 由圆 O:x2+y2=1,得圆心坐标为 O(0,0),半径 r=1.因为
析法
等数
学方
CQ= (0 0)
2
+( 2 0) = 2，
2
讲解 解决
强调 交流
法
即|OQ|>r,所以点 Q在圆外,过点 Q与圆 O有两条切线.
设所求切线 l 的斜率为 k,切线过点Q(0, 2) ,则切线 l
的方程为
y 2= kx,
kx y+ 2 = 0.
即
圆心 O到切线 l 的距离为
k 0 0+ 2
d =
2
=
.
2
2 +
k 1
2 +
k 1
因为圆心到切线的距离等于圆的半径,所以
2
,
=1
k2 +1
k=1,k= 1,
化简得 k2+1=2,解得
- 所以切线的方程为
1
2
y 2=x和 y 2= x,
即
x y+ 2 = 0和 x+ y 2 = 0.
探究与发现
在平面直角坐标系中,如果直线 l 与圆 C 相交,那么,如
何求两个交点之间的距离呢？
当直线 l:Ax+By+C=0与圆 C:(x-a)2+(y b)2=r2 P
相交于
-
和 Q 两点时,线段 PQ 为圆的一条弦.我们要求的是这条弦
的长度.
3
因为圆心 C 与弦 PQ 的中点 R 的连线垂直且平分弦
PQ,故|PQ|=2 PR = 2 r
2
d2
.
提出 思考 用问
问题 交流 题引
出新
知
(1)
(2)
展示 分析 数形
例 4已知直线 x+y=2与圆(x-1)2+(y+2)2=9相交于 和 两
P
Q
图形 特征
结
点,求弦 PQ的长度.
合，
提升
解法一 由圆的方程(x-1)2+(y+2)2=9可知圆心坐标为
C(1,-2),圆的半径为 r=3.因为圆心到直线 x+y-2=0 的距离
为
引领 思考 直观
想象
核心
素养
1×1+1×( 2) 2
3
3 2
2
d =
=
=
.
12 +1
2
2
故弦 PQ的长度为
|PQ|=2 r
9
2
d2
= 2 9 = 3 2.
提问 思考 是已
2
有知
x+ y= 2,
解法二 解方程组
(x 1)
得直线与圆的交
引领 分析 识的
2
+ (y+ 2)
2
= 9,
应用
点坐标为 P(4,-2)和 Q(1,1).由两点间距离公式,得
|PQ|= (1 4) +[1 ( 2)] = 3 2，
与延
2
2
讲解 解决 伸，
故弦 PQ的长度为3 2 .
与练
习题
强调 交流 的 5
题讲
练结
合
提问 思考 及时
掌握
练习 6.5
1.填空：
(1)直线 l与圆 C相交,则直线 l和圆 C有___个公共点;
(2)直线 l 与圆 C相切,则直线 l 和圆 C有___个公共点.
2.已知圆 C:x2+y2=1,
学生
掌握
巡视 动手 情况
求解 查漏
补缺
点 A(1,0)、B(1,1)、C(0,1).
(1)过点 A(1,0)且与圆
巩固
练习
C:x2+y2=1 相切的直线有
___条,切线斜率为____;
(2)过 点 B(1,1)与 圆
指导 交流
C:x2+y2=1 相切的直线有
___条,切线斜率为_____；
(3)过点 C(0,1)与圆 C:x2+y2=1 相切的直线有___条,切
4
线斜率为_____.
3.判断下列直线与圆的位置关系：
(1)直线 x+y=2，圆 x2+y2=2；
(2)直线 y=3，圆(x-2)2+y2=4；
(3)直线 2x-y+3=0，圆 x2+y2-2x+6y-3=0.
4.求过点 P(3,2),且与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切的方程.
5. 已知直线 x+y+1=0与圆(x-1)2+(y+2)2=16相交 P 和
Q两点,求弦 PQ的长度.
引导 回忆 培养
学生
归纳
总结
提问 反思 总结
学习
过程
能力
说明 记录 继续
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
布置
作业
探究
延伸
学习
5

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