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授课题目 3.4 函数的应用 选用教材 高等教育出版社《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版）
授课 时长 2 课时 授课 类型 新授课
教学提示 本课将通过解决实际生活中的简单函数问题（一次函数、分段函数、二次函数），提高学生对于这三种函数的应用的意识．
教学目标 能在不同的场景下，选择合适的函数模型解决实际的问题． 2.通过数学建模的思想提高学生的思维能力，并提升学生对数学抽象的认识；培养学生对数学的热爱。
教学 重点 选择恰当的函数模型解决实际问题．
教学 难点 函数模型的建立；二次函数模型的最值问题．
教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图
情境导入 我们生活有很多关于函数模型的说法，其实在现实中大部分问题都是可以通过建立函数模型来解决，同学们可以想一想？ 提示：函数模型=函数关系？ 通过自媒体工具，学生们看向大屏幕，通过例子我们一起来看看一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型在实际生产生活 中的应用． 描述说明 思考体会 点明数学建模的意义
探索新知 1.一次函数模型 要给一个水箱匀速注水，注满为止．已知水箱的容积为 160L ，注水前水箱里有水 20L ，当注水 30min 后，水箱有 80L水，若水量y(L)是注水时间 x(min)的一次函数，试写出这个函数的解析式． 提示：想一想，是否可以利用一次函数模型和我们之前学习过的待定系数法找出y与x的函数关系？ 说明 指导 思考 讨论 在给定函数 情 况下，结合函数一般形式，分析问题中已知数据与解析式 中变量之
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解：设水量与注水时间的一次函数解析式为 y=kx+b． 当 x=0 时 y=20；x=30 时 y=80，故代入上面解析式得 { b = 20, 30k + b = 80. 解得{ k=2, 所以y=2x+20． b=20. 又因为 y ≤160 ，即 2x+20 ≤160 ，得 x≤70．所以水量 y 与进水时间 x 的函数为 y=2x+20，x ∈ [0,70]． 2.分段函数模型 如下图所示是某高速列车一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图，其中 y(km/h)是车速， x(min) 是行车时间．你能写出车速y与行车时间x的函数解析式． 分析 由上图可看出该函数关系应该是分3种情况讨论，即可想到分段函数，利用分段函数解决实际问题，根据列车行驶速度的不同，对应的时间不同进行分类讨论． 解 由题目可知行车时间x的取值范围为 0≤x≤120． 在0≤x≤5， 5＜x＜110， 110≤x≤120 三个范围有不同的行驶状态 归纳总结 展示讲解 说明 引领分析 交流 求解 体会思索 分析 解决问题 间的对应关系，建立 方 程组，求出待定系数 本问题中没有明确函数的类型，但通过图像可知，这是一个分段函数模型的应用，在各段中都是线段 （直线），可以用一次函数或常数函数表示；不同的时间段，列车 行驶的速
1、当 0≤x≤5 时，看图像可知是过原点的一条线段，则令y=kx，因点（5, 400）在线段上，所以有400=5k， 得 k=80，故y=80x． 2、当 5＜x＜110 时，看图像可知是一条平行于 x轴的线段，故y=400． 3、当 110≤x≤120 时，看图像可知是过点(110,400)和点（120,0）的一条线段，设y=ax+b， 得 400=110a+b, { 0=120a+b. 解得{ a=-40, 因此y=-40x+4800． b=4800. 故该列车车速 y 与行车时间 x 之间的函数解析式为 60x, 0≤x≤5, y = { 300, 5＜x＜110, -30x+3600, 110≤x≤120. 二次函数模型 情境与问题 1 现有 18 m长的不锈钢，要制作一个矩形窗框（如图所示）． 求窗框所围成的面积 y(m )与窗框宽 x(m)之间的函数关系式； 当窗框宽为何值时，窗框所围成的面积最大？最大值为多少？ 分析 可以利用二次函数想一想怎么去解决这个实际问题；比如利用矩形面积公式得到一个关系．通过二次函数模型是否可以解决窗框所围成的最大面积．同学们可以互相讨论想一想。 解（1）因为窗框的宽为 x(x>0)，根据题 指导 引领分析 归纳 思考 讨论交流 求解 度不同，需要根据时间进行分段讨论 本问题中没有明确函数的类型，结合问题中关键词“面积”，转化为“面积等于边长之积”，合理设出未知量，厘清各种变
目可知，钢材总长为 18m，则窗框的长为18 -x=9-2x，(0分析 我们能否再次利用二次函数来解决这个问题呢，大家可以想一想通过水果总产量=果树总数×单棵平均产量求得函数关系式，再来转化为二次函数模型，后利用二次函数模型的性质解决这个实际问题． 解 设水果总量为 y 个，当增种 x (x>0)棵果树时，单棵平均产量为(500-4x)个，且 500- 4x >0，即 x<125．根据题意得 y=(40+x)(500-4x). 整理得 y 4x2 340x 20000，0 x 125 ，且 x∈N. （1）由 b 340 42.5, 2a 2 （-4） 4ac b2 4 （-4） 20000 3402 36125, 4a 4 （-4） 可知，当 x=42.5，y 有最大值，且最大值为 27225，即果园增种 42 棵果树时，水果共产量最大，最大产量是 27225 个； （2）由使水果的总产量 y 不少于 23000个，则 -4x +340x+20000≥23000，整理得 -4x +340x-3000≥0， 即 x -85x+750≤0 ． 解不等式得 15≤x≤75． 因此要使水果总产量不少于 23000 个， 该果园内至少要增种 15 棵果树，但不能超过 75 棵． 温馨提示 已知定义在 D 上的函数 f(x)． （1）如果对任意 x∈D，都有 f(x)≤M ，且存在 x0∈D，使 f(x0)= M ，则称 M 是函数 巡视指导 巡视指导 说明 解决问题 交流讨论 领悟
f(x)的最大值； （2）如果对任意 x∈D，都有 f(x) ≥m，且存在 x0∈D，使 f(x0)=m，则称 m 是函数 f(x)的最小值． 函数的最大值或最小值统称函数的最值． 当应用函数模型求解问题时，应根据实际情况考虑函数 的定义域，特别是求函数的最大（小）值时，要考虑自变量是否有取整的需要． 提醒注意问题背景对取值的要求，以及图像对解决问题的作用
巩固练习 练习 3.4 一般地，海拔每上升 2km，气温就会下降8℃．已知某地地面气温为30℃，设高出地面 x (km)处的气温为y℃，请写出气温y与相对于地面的高度x处之间的函数关系式(假设 y与x是一次函数关系)． 某市出租车车费标准如下：5km 以内 （含 5km）收费 10 元；超过 5km 的部分每千米收费 2.6 元. 写出应收费 y（元）出租车行驶路程 x (km)之间的关系式． 小亮乘车行驶 8km，应付多少元？ 小波下车时付车费 36 元，那么小波乘出租车行驶了多远？ 提问 巡视 指导 思考 求解 交流 通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
3．某商品现在的售价为 80 元／件，每 星期可卖出 200 件．市场调查反映，该商品 的合理售价应不低于 40 元/件，不高于 90元 /件．若调整商品售价，每降价(提价)2 元/件，每星期可多(少)卖出 40 件．设商品售价降价 (提价)x(元/件)后，每星期售出商品的总销售额为 y(元)．求 y 与 x 之间的函数解析式．
归纳总结 引导总结 反思交流 培养学生总结学习过程能力
布置作业 书面作业：完成课后习题和学习与训练； 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾； 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容． 说明 记录 巩固提高查漏补缺

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