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7.3 定义、命题、定理
教学目标
课题 7.3 定义、命题、定理 授课人
素养目标 1.了解定义、命题的概念及命题的构成.2.知道什么是真命题和假命题，并会判断命题的真假.3.理解什么是定理和证明，了解证明的意义.4.了解综合法证明的格式和步骤，通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力.5.通过举反例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.
教学重点 证明的步骤和格式.
教学难点 理解定义、命题，分清命题的题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 【情境导入】我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话是对事物进行描述的，如：（1）鄱阳湖是中国最大的淡水湖.（判断）（2）今天的天气很好.（描述）（3）浪费是可耻的.（判断）（4）春天到了，花儿开了.（描述）在数学学习中，同样有判断和描述这两类语言，如：（5）画线段AB=3cm.（描述）（6）两条直线相交，只有一个交点.（判断）今天我们将对这类或判断或描述的句子进行学习，感受数学中文字语言的魅力. 【教学建议】教师可引导学生分析两种句子在构成上的区别，找出能够确认句子类型的关键字.
设计意图
通过对常见句子的分类，为进入本课的学习做铺垫.
活动二：问题引入，自主探究 探究点1 定义与命题问题1 观察下列语句，回答问题.①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；②使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解；③从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离.（1）它们有什么共同点？它们都对某个数学对象进行了清晰、准确的描述. 【教学建议】学生分组讨论，总结出命题的结构.教师在教学中可对命题解释如下：①必须是一个完整的句子，而且是陈述句，疑问句和祈使句都
设计意图
通过实例让学生了解定义、命题以及命题的构成，通过
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分析语句找出命题的题设和结论，并判断命题是否正确. 概念引入：这样的描述称为数学对象的定义.一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.（2）你能根据某个数学对象的定义来作出某种判断吗？请举例说明.根据方程的解的定义，可以判断x=1.5是方程2x=3的解（答案不唯一）.问题2 观察下列可以判断正确与否的陈述语句，回答问题.①等式两边加同一个数，结果仍相等；②对顶角相等；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；⑤如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.（1）哪些判断是正确的？哪些是错的？①②③④都是正确的，⑤是错误的.概念引入：像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题.（2）比较①③④⑤，它们在结构和内容上有什么共同点？都是分为前后两个部分，前半部分是条件，后半部分是由条件得出的结论.命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.数学中的命常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.（3）请指出①②③④⑤中的题设和结论，并把其中不是“如果……那么……”形式的改写成“如果……那么……”的形式.序号题设结论改写①等式两边加同一个数结果仍相等如果等式两边加同一个数，那么结果仍相等②两个角是对顶角这两个角相等如果两个角是对顶角，那么这两个角相等③两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行④两条平行直线被第三条直线所截同旁内角互补如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补⑤一个数能被2整除这个数也能被4整除 不是命题；②必须对某一件事作出肯定或否定的判断.【教学建议】教师提醒学生：有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，改写的时候需要将其条件补充完整.【教学建议】学生独立思考完成前几问，师生共同分析完成最后一问.对于真假命题的区别，教师可结合具体实例对照说明：真命题是无一例外，都是正确的；
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（4）我们在（1）中已经知道哪些判断是正确的，哪些是错误的，你是如何判断真假的呢？按照题设条件，去观察结论是否成立，能成立则为真，否则为假. 归纳总结：由题设和结论组成的命题，如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的，即真命题；如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是错误的，即假命题.判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.【对应训练】1.教材P23练习第1，2，3题.2.教材P24练习第2题. 而假命题就不能保证总是正确的，只要举出反例就可以判断一个命题是假命题.
设计意图 探究点2 定理与证明在前面，我们学过的一些图形的性质，它们都是真命题.其中有些命题是基本事实，如“两点确定一条直线”“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”等.还有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.问题 根据定理的概念，同学们能说出我们学过的定理有哪些吗？平行线的判定定理、性质定理等.（教师可适当补充）概念引入：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.例1 我们以证明命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明.（1）这个命题是真命题还是假命题？解：真命题.（2）请将这个命题所叙述的内容用图形表示出来. 解：如图.（3）写出这个命题的题设和结论，并用几何语言表述.解：题设：在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条.结论：这条直线也垂直于两条平行线中的另一条.几何语言：如图，在同一平面内，如果a⊥b，b∥c，那么a⊥c.（4）下面已经给出了该命题的已知和求证，请利用已经学过的定义、定理、基本事实证明这个结论.已知：如图，直线a⊥b，b∥c，求证a⊥c.证明：∵a⊥b(已知)，∴∠1=90°(垂直的定义). 【教学建议】教师结合所学知识，归纳出定理的概念，学生回顾学过的定理，加深对概念的理解.定理不仅揭示了客观事物的本质属性,还可以将它作为进一步判断其他命题真假的依据.
引入定理和证明的概念，并展示如何证明一个命题为真命题.
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∵b∥c(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).∴∠2=90°(等量代换).∴a⊥c(垂直的定义).由此，我们归纳出几何证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②根据命题的题设和结论，结合图形，写出已知、求证；③通过分析，找出证明的方法，写出证明过程.注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.【对应训练】1.教材P24练习第1题.2.如图，在三角形ABC中，点D在边BC的延长线上，CE平分∠ACD，AB∥CE，求证∠A=∠B.证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠ACE=∠DCE（角平分线的定义）.∵AB∥CE（已知），∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），∠B=∠DCE（两直线平行，同位角相等）.∴∠A=∠B（等量代换）. 【教学建议】在证明几何命题时，要注意以下几点：①明确命题的题设和结论；②依据与过程要对应，不能张冠李戴；③证明过程应符合逻辑顺序，禁止用未学过的定理进行证明.
活动三：重点突破,提升探究 例2 如图，现有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B=∠D；③∠E=∠F.请以其中两个为题设，第三个为结论构造新的命题.（1）请写出所有的命题；（写成“如果……那么……”的形式）（2）请选择其中的一个真命题进行证明.解：（1）命题1：如果AB∥CD，∠B=∠D,那么∠E=∠F；命题2：如果AB∥CD,∠E=∠F，那么∠B=∠D;命题3：如果∠B=∠D，∠E=∠F,那么AB∥CD.（2）选择命题1.（答案不唯一）证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B=∠DCF（两直线平行，同位角相等）. ∵∠B=∠D（已知），∴∠D=∠DCF（等量代换）.∴DE∥BF（内错角相等，两直线平行）.∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）. 【对应训练】如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被直线MN所截.有以下三个条件：①AB∥CD；②AM∥EN；③∠BAM=∠CEN.请以其中两个作为题设，第三个作为结论，构造命题. 【教学建议】学生分组讨论完成，教师统一答案.对于此类问题，开放性比较强，所以答案一般不唯一，可用列举法穷举出所有的命题，判断这些命题的真假，选择合适的真命题并按照要求严格证明.
设计意图
探索条件开放性问题的证明.
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（1）请按照“如果……那么……”的形式，写出所有的命题；（2）在（1）所写的命题中选择一个加以证明.解：（1）命题1：如果AB∥CD，AM∥EN，那么∠BAM=∠CEN.命题2：如果AB∥CD，∠BAM=∠CEN，那么AM∥EN.命题3：如果AM∥EN，∠BAM=∠CEN，那么AB∥CD.（2）以命题1为例.（答案不唯一）证明：∵AB∥CD（已知），∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.∵AM∥EN（已知），∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）.∵∠1+∠3+∠BAM=180°,∠2+∠4+∠CEN=180°(平角的定义)，∴∠BAM=180°-∠1-∠3,∠CEN=180°-∠2-∠4（等式的性质），∴∠BAM=∠CEN.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是定义？什么是命题？请举例说明,并结合例子说明命题的构成.2.什么是真命题？什么是假命题？3.什么是定理？你学过哪些定理？谈谈你对证明的理解.【知识结构】【作业布置】1.教材P24习题7.3第1，2，3，4题.2.相应课时训练.
板书设计 7.3定义、命题、定理1.定义与命题.2.命题的构成：如果……（题设）那么……（结论）.3.真命题与假命题.4.定理与证明.
教学反思 本节课通过命题、证明的学习，让学生感受到要说明一个命题成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例.同时让学生感受到数学的严谨，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，形成初步的演绎推理能力.
解题大招 命题的相关概念的考查
1.对命题的判断：结合命题、真命题、假命题的定义判断.
例1 下列句子是命题的是（ D ）
A．画∠AOB=45° B．小于直角的角是锐角吗？
C．连接CD D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例2 下列命题中，真命题的个数是（ A ）
①相等的角是对顶角；②同位角相等；③等角的余角相等；④如果x2=y2，那么x=y.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①相等的角不一定是对顶角，假命题；②同位角不一定相等，假命题；③等角的余角相等，真命题；④如果x2=y2，那么x=±y，假命题.故选A.
2.对命题进行改写：找到命题的题设与结论，然后把命题改写成“如果……那么……”的形式.
例3 把命题“直角三角形的两个锐角互余”写成“如果……那么……”的形式为 如果两个锐角是一个直角三角形的两个内角，那么这两个角互余 .
培优点 命题与证明的开放性问题
例1 如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E.请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE=∠DEA中任选两个作为题设，余下一个作为结论，构造一个真命题，并予以证明.
题设： ①② ，结论： ③ .（均填写序号）
证明：∵DG∥AC，∴∠DEA=∠EAC.
∵AF平分∠BAC，∴∠DAE=∠EAC.∴∠DAE=∠DEA.（答案不唯一）
例2 已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内：①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b.请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，再选一个事项作为结论（写成“如果……那么……”的形式）.
（1）写出一个真命题，并证明它的正确性；
（2）写出一个假命题，并举出反例.
解：（1）如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b.
证明：如图，∵a⊥c，b⊥c，∴∠1=90°，∠2=90°.
∴∠1=∠2.∴a∥b.
（2）如果a⊥c，b⊥c，那么a⊥b.
反例：如图，a⊥c，b⊥c，但a∥b，a与b不垂直.
罗氏几何的产生
《原本》（也叫作《几何原本》）是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，成书于公元前300年左右.欧几里得在这本书中用公理法对当时的数学知识进行了系统化、理论化的总结，使得《原本》成为用公理法建立演绎的数学体系的最早典范.
《原本》共有13卷，其中：第1卷共有23个定义、5个公设、5个公理和48个命题.长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见.有些数学家还注意到23个定义中的最后一个是平行线的定义，而第五公设直到第29个命题中才用到，而且以后再也没有使用.为此，数学家们针对“平行线理论”经历了长达两千多年的讨论.
直到1826年，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在喀山大学发表了《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》，勇敢地抛弃了第五公设，提出了完全相反的公设：过一点至少可以有两条直线与已知直线平行.后来人们把这个公设叫作“罗氏公理”.由罗氏公理很容易推出以下结论：过一条直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行.由于尚未找到罗氏几何在现实世界的原型和类比物，罗巴切夫斯基的理论遭到了大部分数学家的反对.直到1868年，意大利数学家贝尔特拉米找到了一种曲面（人们称之为“伪球面”），罗巴切夫斯基的理论才开始逐渐被人们所接受.在“伪球面”上，三角形三个内角的和小于180°.

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