资源简介

7.2.3 平行线的性质
第1课时 平行线的性质
教学目标
课题 第1课时 平行线的性质 授课人
素养目标 1.理解平行线的性质.2.能运用平行线的性质进行推理.
教学重点 理解平行线的性质.
教学难点 体会平行线的性质2和性质3推理过程的逻辑表述，能运用平行线的性质进行推理.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，新课导入 【回顾导入】前面的课时，我们学习了利用角的数量关系判定两条直线平行的方法，分别是什么？（1）∵∠1=∠ 3 （已知），∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.（2）∵∠2=∠ 4 （已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）. （3）∵∠2+∠ 3 =180°（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.在上面的三种判定方法中，由同位角、内错角、同旁内角的关系可以得到两条直线平行的结论；反过来，在两条直线平行的条件下，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？这就是本节课要学习的内容. 【教学建议】教师引导学生回顾对平行线判定方法的探究过程，为类比平行线性质的探究做好铺垫.
设计意图
由平行线的判定导入，复习旧知，为本节课扫清知识障碍.
活动二：问题引入，自主探究 探究点1 两直线平行，同位角相等（教材P16探究）如图，画两条平行线a∥b，然后任意画一条截线c与这两条平行线相交.问题1 度量所形成的八个角的度数，把结果填入下表：角∠1∠2∠3∠4度数100°80°100°80°角∠5∠6∠7∠8度数100°80°100°80° 【教学建议】教师带领学生共同探究，通过改变截线的位置多次测量，总结出共性结论,并逆向探究，确认结论的唯一性，得出平行线中同位角的度数的数量关系.教学中可让学生归
设计意图
通过实际测量确认平行线中同位角的数量关系.
教学步骤 师生活动
问题2 在∠1,∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系.∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角.每一对同位角的度数相等.猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角相等.问题3 利用信息技术工具改变截线c的位置，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗？经过测量比较得出，猜想仍然成立.问题4 当两条直线不平行时，同位角是否相等呢？请以直线c，d被直线a所截为例，比较各对同位角的度数.两条直线不平行时，同位角不相等.结合上述探究过程，我们可以得到平行线的性质：性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等.符号语言：如图，如果a∥b，那么∠1=∠5（或∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8）.【对应训练】1.如图，直线a∥b，直线c与a,b相交.若∠1=60°，则∠2的度数为 120°. 2.教材P17练习第2题. 纳性质1并用符号语言表述，锻炼学生将图形语言转化为文字语言和符号语言的能力.
设计意图 探究点2 两直线平行，内错角相等在前面探究点1的图中，内错角∠3和∠5，∠4和∠6的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的内错角的关系.这两对内错角的度数相等.猜想：两条平行线被第三条直线截得的内错角相等.（教材P16思考）前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？解：如图，∵a∥b(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).又∠2=∠3(对顶角相等)，∴∠1=∠3(等量代换).这样，我们得到平行线的另一个性质：性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.符号语言：如探究点1中图，如果a∥b，那么∠3=∠5（或∠4=∠6）.【对应训练】1.如图，AB∥CD，如果∠B=35°，那么∠C的度数为（ C ）A．25°B．30°C．35°D．55° 【教学建议】根据探究点1中测得的数据直接得出结论，类比平行线的判定的探究过程，让学生以平行线的性质1为条件，独立推导出平行线中内错角的数量关系.教师可要求学生类比性质1归纳出性质2的文字语言和符号语言.
通过类比平行线的判定的探究过程，推导出平行线中内错角的数量关系，并推理论证.
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2.如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD.若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是 35° .
设计意图 探究点3 两直线平行，同旁内角互补在前面探究点1的图中，同旁内角∠4和∠5，∠3和∠6的度数有什么关系？由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同旁内角的关系，并仿照性质2写出推理的过程.这两对同旁内角的和为180°（即互补）.猜想：两条平行线被第三条直线截得的同旁内角互补.推理：方法一：如图，∵a∥b(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等).又∠2+∠3=180°(邻补角的定义)，∴∠1+∠3=180°(等量代换). 方法二：如图，∵a∥b（已知），∴∠1=∠4(两直线平行，内错角相等）.∵∠3+∠4=180°(邻补角的定义），∴∠1+∠3=180°(等量代换）.由此，我们得到平行线的第3个性质：性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.符号语言：如探究点1中图，如果a∥b，那么∠4+∠5=180°（或∠3+∠6=180°）.例1 （教材P16例2）如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角∠D,∠C分别是多少度？解：因为梯形上、下两底DC与AB互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°，∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.所以梯形的另外两个角∠D,∠C分别是80°，65°. 【对应训练】1.如图，直线m∥n，其中∠1=40°，则∠2的度数为（ B ）A．130°B．140°C．150°D．160°2.如图，直线l1∥l2，l3∥l4.若∠1=70°，则∠2的度数为110° . 【教学建议】根据探究点1中测得的数据直接得出结论，类比平行线的判定的探究过程，让学生以平行线的性质1或性质2为条件，独立推导出平行线中同旁内角的数量关系.教师可要求学生类比性质1或性质2归纳出性质3的文字语言和符号语言.
通过类比平行线的判定的探究过程，推导出平行线中同旁内角的数量关系，并推理论证.
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活动三：重点突破，提升探究 例2 端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗，小青将图①中的某条龙舟的侧面示意图简化成图②，若a∥b∥c，∠1=132°，求∠2+2∠3的度数.解：∵a∥b∥c，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）.∴∠4=∠2=180°-∠1=180°-132°=48°.∵∠3=∠4，∴∠3=48°，∴∠2+2∠3=48°+2×48°=144°.【对应训练】1.如图，AB∥CD∥EF，∠A=54°，∠C=26°，则∠AFC= 28°.2.教材P17练习第1,3题.3.如图，点E在线段AB上，D，F都在线段BC上，并且ED∥AC，EF∥AD.若∠1=20°，则∠2等于多少度？请说明理由.解：∠2=20°.理由如下：∵ED∥AC，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°（两直线平行，内错角相等）.∵EF∥AD，∴∠2=∠3=20°（两直线平行，内错角相等）. 【教学建议】学生独立思考完成，教师统一答案.教学中应强调本题有多种方法，随着数学知识的逐渐积累，解决数学问题的方法也变得多种多样，过程要简洁规范，依据要引用正确.
设计意图
对平行线的性质的运用进行强化训练，多次运用平行线的性质求角度.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.平行线的性质有哪些？2.如何用平行线的性质1推导出性质2和性质3？在推理中需要注意哪些问题？
教学步骤 师生活动
【知识结构】【作业布置】1.教材P19习题7.2第3，5，8，9，10，14题.2.相应课时训练.
板书设计 第1课时平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等.性质2：两直线平行，内错角相等.性质3：两直线平行，同旁内角互补.直线的位置关系→角的数量关系.
教学反思 本节课通过度量含有平行线的“三线八角”中角的度数，猜想同位角的关系，得出平行线的性质1，并类比平行线的判定的探究过程，由平行线的性质1推导其他性质，最终灵活运用性质，让学生学会理性思考，在简单推理中养成言之有据的习惯.
解题大招一 根据平行线的性质进行计算
根据图形中所求角与已知角的位置，结合平行线的性质进行角度转化再求解.注意图中的隐含条件：邻补角、对顶角、直角、平角以及两个有特殊角的三角尺.
例1 如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=65°，则∠2的度数是（ B ）
A．45° B．55°
C．65° D．75°
解析：如图，易知∠3=60°，∴∠4=180°-∠1-∠3=180°-65°-60°=55°.由平行线的性质可知∠2=∠4=55°.故选B.
例2 光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从空气中射向水中时，会发生折射.如图，在空气中平行的两条入射光线，经过水面折射后得到的两条折射光线也是平行的.若水面和杯底互相平行，且∠1=122°，则∠2的度数为 58°．
解析：如图.∵水面和杯底互相平行，∴∠1+∠3=180°.∴∠3=180°-∠1=180°-122°=58°.∵经过水面折射后得到的两条折射光线是平行的，∴∠2=∠3=58°.故答案为58°．
解题大招二 平行线的性质结合翻折的计算
在翻折中要注意翻折前后的两部分是一样的，角度大小相等，再结合平行线的性质以及图中的隐含条件解题.
例3 如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，D为线段AB上一点，将三角形BCD沿直线CD折叠后，点B落在点E处，且CE∥AB，则∠ACD的度数是（ C ）
A．15° B．20°
C．25° D．30°
解析：∵∠B=50°，CE∥AB，∴∠BCE=180°-∠B=130°.由折叠可知，∠BCD=∠ECD=∠BCE=65°.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-65°=25°．故选C．
培优点一 平行线的性质在生活中的运用
例1 我们生活中经常接触的小刀刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的．把处于闭合状态的刀片打开，得到如图所示的图形.
（1）若∠1=55°，求∠2的度数；
（2）当∠2为钝角时，试说明：∠2=∠1+90°.
解：（1）如图，延长CB交AD于点E.
由题意可知∠BAG=90°，AG∥CE，
∴∠EAG=∠1+∠BAG=55°+90°=145°，∠EAG=∠DEC.∴∠DEC=145°.
∵刀片上、下是平行的，即AD∥CF，∴∠2=∠DEC=145°.
（2）由（1）可知∠DEC=∠EAG=∠1+∠BAG=∠1+90°，∠2=∠DEC，∴∠2=∠1+90°.
培优点二 平行线的性质在生活中的运用
例2 已知直线a∥b，A，B是直线a上的点，C,D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC相交于点E.
（1）在如图①所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数；
（2）在如图②所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF相交于点F.当∠ABC=64°，∠ADC=72°时，求∠BFD的度数；
（3）在如图③所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF相交于点F，设∠ABC=α，∠ADC=β，用含有α，β的式子表示∠BFD的补角.（直接写出结果即可）
解：（1）如图①，过点E作EG∥AB，则∠ABE=∠BEG.
∵AB∥CD，∴EG∥CD.∴∠CDE=∠DEG.
∴∠ABE+∠CDE=∠BEG+∠DEG=∠BED.
∵AD⊥BC，∴∠BED=90°.∴∠ABE+∠CDE=90°.
（2）如图②，过点F作FH∥AB，则∠ABF=∠BFH.
∵AB∥CD，∴FH∥CD.∴∠CDF=∠DFH.
∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF.
∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=64°，∠ADC=72°，
∴∠ABF=∠ABC=32°，∠CDF=∠ADC=36°.∴∠BFD=∠ABF+∠CDF=68°.
（3）∠BFD的补角为α-β.
解析：如图③，过点F作FQ∥AB，则∠ABF+∠BFQ=180°.∵AB∥CD，∴FQ∥CD.∴∠CDF=∠DFQ.∴∠BFD=∠BFQ+∠DFQ=180°-∠ABF+∠CDF.∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC=α，∠ADC=β，∴∠ABF=∠ABC=α，∠CDF=∠ADC=β.∴∠BFD=180°-∠ABF+∠CDF=180°-α+β.∴∠BFD的补角为180°-∠BFD=α-β.

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