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11.1.2　不等式的性质
第1课时　不等式的性质
教学目标
课题 第1课时　不等式的性质 授课人
素养目标 1.通过类比、猜测、验证发现不等式的性质，并掌握不等式的性质． 2．初步体会不等式与等式的异同．
教学重点 理解并掌握不等式的性质．
教学难点 探究不等式的性质的过程.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，复习导入 【设计意图】 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以类比等式的性质研究不等式的性质，启发学生对不等式的性质进行初步思考. 【复习引入】 对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式x＋4＞10的解集是x＞6，不等式2x＜6的解集是x＜3.但是对于比较复杂的不等式，例如－2＞，直接得出它的解集就比较困难．因此，还要讨论怎样解不等式． 与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质． 回想一下，等式有哪些性质？分别用文字语言和符号语言表示出来． 等式的性质文字语言符号语言性质1等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等如果a＝b，那么a±c＝b±c性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等如果a＝b，那么ac＝bc；如果a＝b，c≠0，那么＝
　等式有上述性质，那不等式是否也应该同样具备类似的性质呢？ 【教学建议】 通过引导学生回顾旧知，为下一步类比学习不等式的性质做好铺垫和准备，并使学生明确本节课的学习目标，自然而然地进入新知识的学习．教师也可让学生类比等式的性质，在进入正课之前猜想不等式有哪些性质．
活动二：问题引入，探究新知 【设计意图】 引导学生通过类比、归纳的数学思想总结出不等式的性质，培养学生的逻辑思维能力和分析总结能力． 　探究点 不等式的性质 (1类比等式的性质l,我们来看看下列问题:a.用“>”或“<”完成下列两组填空: 第一组:5>3,5＋2>3＋2,5十0_>3十0,5＋(—2)>3十(一2);第二组:一1<3,一1+4<3十4,—1＋0 <3＋0，—1十(一7)<3十( —7). b.观察不等号的方向,你发现了什么规律 换一些其他的数,这个规律仍然成立吗 不等式两边加同一个数,不等号的方向不变.仍然成立. c.这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立吗 为什么 仍然成立.由于减法可以转化为加法,因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立. d.请你类比等式的性质1归纳出不等式的性质1. 不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.如果a>b ,那么a士c>b士c . e.我们也可以从实际角度解释不等式的性质1.如今年老师的年龄为a岁,学生的年龄为b岁(a>b),5年前老师的年龄为_(a—5)岁,学生的年龄为_(b一5)岁,不等关系表示为_a一5>b一5_;10年后老师的年龄为_(a+10)岁，学生的年龄为_(b＋10)岁,不等关系表示为_a＋10>b＋10 . 　(2)类比等式的性质2，我们来看看下列问题： a.用“＞”或“＜”完成下列两组填空： 第一组：6＞2，6×5＞2×5，6×(－5)＜2×(－5)； 第二组：－2＜3，－2×4＜3×4，－2×(－0.5)＞3×(－0.5). b.观察不等号的方向，你发现了什么规律？换一些其他的数，这个规律仍然成立吗？ 不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向改变．仍然成立. c.这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立吗？为什么？ 仍然成立．由于除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，并且这个数的倒数和它的符号相同，因而这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立. d.请你类比等式的性质2归纳出不等式的性质2和性质3. 不等式的性质2：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或＞). 不等式的性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或＜). (3)比较不等式的性质2和性质3，指出它们有什么区别．再比较不等式的性质和等式的性质，它们有什么异同？ 不等式的性质2和性质3的区别是在不等式两边乘(或除以)的数一个是正数，一个是负数，性质2中不等号的方向不变，性质3中不等号的方向改变．不等式的性质有三条，它们表明了不等式两边进行同样的加(减)、乘(除)运算时，大小关系有时不变，有时改变；等式的性质有两条，它们表明了等式两边进行同样的加(减)、乘(除)运算时，相等关系不变．对于乘法运算，不等式的性质要分乘数的正、负分别论述，两者的结果不同. 例1　(教材P125例2)已知a>b，比较下列两个式子的大小，并说明依据. (1)a＋3与b＋3；　　　　　　(2)－2a与－2b. 解：(1)因为a>b，所以a＋3>b＋3(不等式的性质1). (2)因为a>b，所以－2a＜－2b(不等式的性质3). 【对应训练】 1.教材P125练习第1，2题. 2.根据不等式的性质，下列变形正确的是（B） A.由a＞b得ac2＞bc2　　B．由ac2＞bc2得a＞b C.由－a＞2得a＜2 D．由2x＋1＞x得x＜－1 【教学建议】 教师引导学生通过类比思想进行迁移，使学生经过计算、观察、分析、猜想、验证等过程，体会不等式的性质的结论形成的推理过程，并通过创设生活中的实际情境解释不等式的性质1，再加上与等式的性质比较，加深学生的理解和记忆． 【教学建议】 教师提问不等式两边乘0，结果是怎样的，学生发现两边都为0，而0不可以作除数，所以在归纳不等式的性质2，3时，是需要排除0的情况的，另外，教学中还应强调： (1)在运用不等式的性质对不等式进行变形时，两边要“同时”进行“相同”的变形，且要注意符号的方向是否需要改变. (2)不等式还具备其他性质，比如：①对称性；②传递性，这里不进行深入探讨，具体见解题大招.
活动三：逆向思维，强化记忆 【设计意图】 对不等式的性质进行逆向考查，求参数的值，使学生在练习中巩固本节课所学. 例2　如果关于x的不等式(m＋1)x>3的解集为x＜，求m的取值范围． 解：由题意，可得m＋1＜0. 由不等式的性质1，可得m＋1－1＜0－1， 所以m＜－1. 【对应训练】 [题组训练]已知a>b. (1)若a＋x>b＋x，则x的取值范围为全体实数； (2)若axbx2，则x的取值范围为x≠0； (4)若＞，则x的取值范围为全体实数. 【教学建议】 学生分组交流，自主完成本题，启发学生的逆向思维：变形前后不等号的方向不变，说明两边乘(或除以)的数是正数；变形前后不等号的方向改变，说明两边乘(或除以)的数是负数．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.不等式的性质有几条？各是什么？ 2.你能利用不等式的性质对不等式进行变形吗？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P128习题11.1第4，7题. 2.相应课时训练．
板书设计 第1课时　不等式的性质 不等式的性质：
教学反思 　　本节课通过类比等式的性质，结合生活中的实例组织学生探索，得到不等式的三个性质，并利用不等式的性质对不等式进行简单变形得出一些结论．在这一过程中需要充分调动学生的积极性，让所有学生都参与其中，采取自主探索、合作交流、深入研讨、步步为营的措施，为学生营造一个自主学习、主动发展的广阔空间，使学生快乐地成为学习的主人.
解题大招一　不等式的其他性质
不等式还具备其他性质，与等式类似，如以下两个基本事实：
基本事实 文字语言 符号语言
不等式的对称性 交换不等式两边，不等号的方向改变 如果a>b，那么b＜a. 例如，由5>x，可得x＜5
不等式的传递性 不等关系可以传递 如果a>b，b>c，那么a>c. 例如，由y>x，x>－3，可得y>－3
这些不等式的性质，在解题时可直接运用．
解题大招二　利用不等式的性质比较整式的大小
利用不等式的性质比较两个整式的大小的关键点：
(1)找出两个整式的相同部分和不同部分；
(2)确定不同部分的大小关系．
例1　已知a＞b，则下列不等式成立的是（C）
A．a－5＜b－5　　　　　B．2－3a＞2－3b　　　　　
C.＞　　　　　 D．a＋m＜b＋m
解析：
序号 理由 结论
A 因为a>b，所以由不等式的性质1，可得a－5>b－5 不成立
B 因为a>b，所以由不等式的性质3，可得－3a＜－3b；又由不等式的性质1，可得2－3a＜2－3b 不成立
C 因为a>b，所以由不等式的性质2，可得> 成立
D 因为a>b，所以由不等式的性质1，可得a＋m>b＋m 不成立
解题大招三　不等式的性质与数轴的综合
解决此类题目的关键是先根据数轴判断出字母的正负性及它们之间的大小关系，再根据不等式的性质进行转化，从而得到结论．
例2　实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中正确的是（C）
A．－a－c＞－b－c　　　　　B．ac＞bc
C．|a－b|＝a－b D．a＜－b＜－c
解析：由数轴知a＞b，那么－a＜－b，－a－c＜－b－c，故选项A错误，不符合题意；由数轴知a＞b，c＜0，那么ac＜bc，故选项B错误，不符合题意；由数轴知a＞b，那么a－b＞0，所以|a－b|＝a－b，故选项C正确，符合题意；由数轴知|a|＞|b|，|a|＞|c|，a＞0，c＜b＜0，那么a＞－c＞－b，故选项D错误，不符合题意．故选C.
培优点　“求差法”比较整式的大小
例　根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
(1)①如果a－b＜0，那么a＜b；
②如果a－b＝0，那么a＝b；
③如果a－b＞0，那么a＞b.
(2)(1)中这种比较大小的方法称为“求差法”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小；
②若2a＋2b－1＞3a＋b，比较a，b的大小．
解：①因为4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝4＋3a2－2b＋b2－3a2＋2b－1＝b2＋3＞0，
所以4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
②因为2a＋2b－1＞3a＋b，所以2a＋2b－3a－b＞1，即b－a＞1.
因为1＞0，所以b－a＞0.所以a＜b.

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