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第十一章　不等式与不等式组
11．1　不等式
11．1.1　不等式及其解集
教学目标
课题 11.1.1　不等式及其解集 授课人
素养目标 1.理解不等式的概念，理解不等式的解与解集的意义，知道它们的区别与联系． 2．经历现实生活中不等关系的探究过程，体会建模思想． 3．会用数轴表示简单不等式的解集，渗透数形结合思想.
教学重点 正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示在数轴上．
教学难点 理解不等式解集的意义以及在数轴上正确表示不等式的解集.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新知导入 【设计意图】 通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，激发学生的学习兴趣，引入新课. 【情境引入】 我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题．同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题． (1)猜大小．同学们知道图①中的两个苹果谁的体积比较大吗？ 左边的苹果的体积比较大． (2)猜体重．同学们知道图②中的小明和小颖谁的体重比较大吗？ 小明的体重比较大． 【教学建议】 利用学生感兴趣的图片、游戏，使学生体会到在现实生活中存在着许多不等关系，比如身高、体重、分数等，从而引入不等式的概念．
活动二：问题引入，探究新知 【设计意图】 通过问题引入不等式的概念，使学生体会不等式是表示不等关系的式子，并能根据问题描述列出简单的不等式． 探究点1　不等式的概念与列不等式 阅读教材P121至例1之前，想一想： (1)对于课本中的“问题”，若设车速为x km/h，则： ①从时间的角度看，因为时间＝，所以不等关系可以表示为＜2. ②从路程的角度看，因为路程＝时间×速度，所以不等关系可以表示为2x＞210. (2)像①②这样用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式．像a＋2≠a－2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．“≠”是不等于号，读作“不等于”，它表示两个量不相等(填“相等”或“不相等”)．表示不等关系的“＞”“＜”“≠”都是不等号．我们常用不等式来表示不等关系． (3)在下列所给式子：①a＋3≠1；②x＞2；③3＜5；④3x＋1；⑤－2＞－1；⑥＜－1；⑦a＋b＝b＋a中，属于不等式的有①②③⑤⑥. 例1　(教材P121例1)用不等式表示下列不等关系： (1)a与15的和大于27； (2)b的一半与3的差是负数； (3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1 333 hm2猕猴桃，种植面积超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍． 　解：(1)a＋15>27；(2)－3＜0； (3)设这个县原有猕猴桃种植面积为x hm2，那么1 333>18x，也可以表示为18x＜1 333. 【对应训练】 1．如图，身高为x cm的1号同学与身高为y cm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，那么这个式子可以表示成x＜y.(填“＞”“＜”或“＝”) 2．教材P123练习第1题． 【教学建议】 教师引导学生观察思考，从实际问题出发，得出不等式的概念，再以实际问题为归宿，让学生学会列简单的不等式． 注意强调：判断一个式子是不是不等式，关键看是否含表示不等关系的符号，与式子的正确性，是不是整式，或者是否含未知数都无关．
【设计意图】 通过列举满足实际问题条件的数值使学生感受不等式的解的概念. 探究点2　不等式的解 阅读教材P121例1之后至P122探究之前，想一想： (1)要使汽车在8：00之前驶过A地，车速可以是110 km/h吗？107 km/h呢？105 km/h呢？90 km/h呢？ 车速可以是110 km/h或107 km/h，不能是105 km/h或90 km/h. (2)请你类比方程的解的概念，归纳一下何谓不等式的解． 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解． (3)根据你归纳的不等式的解的概念，判断一下(1)中给出的数哪些是不等式2x＞210的解，哪些不是． 110，107是不等式2x＞210的解，105，90不是不等式20x＞210的解． 【对应训练】 1．下列不是不等式5x－3＜6的解的是（B） A．1 B．2 C．－1 D．－2 2．教材P123练习第2题． 【教学建议】 教师引导学生类比方程的解的概念，确定不等式的解的概念，让学生充分发表意见，并通过计算、动手验证、动脑思考加深理解． 提醒学生注意：①验证不等式的解时，将其代入看不等式是否成立即可判断；②有时候题目讨论的是不等式的特殊解，如整数解等．
【设计意图】 引入不等式的解集和解不等式的概念，探究在数轴上表示不等式的解集的方法． 探究点3　不等式的解集 阅读教材P122探究至本页末尾，想一想： (1)再取x的一些值试一试：95，100，104，106，108，109，哪些是不等式2x＞210的解？观察不等式2x＞210的解，它们都满足什么条件？ 106，108，109是不等式2x＞210的解．可以发现，当x＞105时，不等式2x＞210总成立；而当x＜105或x＝105时，不等式2x＞210不成立．这就是说，任何一个大于105的数都是不等式2x＞210的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于105的数都不是不等式2x＞210的解． (2)什么叫作不等式的解集？它与不等式的解有何区别与联系？什么叫作解不等式？ 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集． 不等式的解与不等式的解集的区别与联系如下表： 区别不等式的解集是能使不等式成立的所有未知数的值的集合，不等式的解是能使不等式成立的未知数的值联系解集包含所有的解，所有的解组成解集
　　求不等式的解集的过程叫作解不等式． (3)不等式的解集有哪几种情况？在数轴上如何表示？空心圆圈表示什么意思？画线方向怎样确定？ 不等式的解集有以下四种情况，在数轴上的表示如下(a＞0)： 不等式的解集x＞ax＞－ax＜ax＜－a用数轴表示
在数轴上表示不等式的解集时，先画数轴，再寻找临界点，最后画方向线．空心圆圈表示解集不包含这一临界点．画线时，大于临界点向右画，小于临界点向左画，且要与数轴平行. (4)根据以上探究总结一下，要使汽车在8：00之前驶过A地，对于车速有什么要求？不等式2x＞210的解集是什么？表示在数轴上是怎样的？由教材P121给出的不等式①能得出这个结果吗？ 车速必须大于105 km/h.不等式的解集是x＞105.表示在数轴上如图所示．由教材P121给出的不等式①能得出这个结果. 【对应训练】 1.下列说法中，错误的是(B) A.不等式x＜5的整数解有无数个 B.不等式x＞－5的负数解有有限个 C.不等式x＋4＞0的解集是x＞－4 D.－40是不等式2x＜－8的一个解 2.教材P123练习第3题. 拓展设问：把上题中得到的各解集分别表示在数轴上. 解：(1)x＞3；(2)x＜4；(3)x＞2.解集在数轴上的表示如图所示. 【教学建议】 通过大量列举不等式的解引导学生归纳得出不等式的解集的概念．教学过程中不仅要考虑到数学概念本身的特点，更要注意遵循学生学习数学的规律，努力为学生创造自主探究、合作交流的空间．同时，引导学生体验用数轴表示不等式的解集，以增强学生数形结合的意识． 有时候在数轴上表示不等式的解集会遇到是否包含临界点这一问题，可以跟学生强调包含时则画成实心圆点，表示“≥”或“≤”，这在下一课时将会学到．
活动三：难点突破，提升探究 【设计意图】 强化根据实际问题中的不等关系列不等式的能力，理解不等式的特殊解的意义. 例2　如图，小明和爸爸妈妈玩跷跷板游戏，如果爸爸的体重是72 kg，小明的体重是妈妈体重的一半，妈妈手中的哑铃重6 kg. (1)设妈妈的体重为x kg，请你根据图中的不等关系列式． (2)妈妈的体重可以是40 kg吗？45 kg呢？50 kg呢？ 解：(1)x＋＋6＞72. (2)把x＝40，45，50分别代入(1)中的不等式，发现当x＝40时，不等式不成立；当x＝45或50时，不等式成立．所以妈妈的体重不可以是40 kg，可以是45 kg或50 kg. 【对应训练】 某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费700元，已知一副羽毛球拍的价格为150元，一筒羽毛球的价格为30元，该校计划购买羽毛球拍4副，且购买后经费要有剩余． (1)若购买羽毛球x筒，请根据以上描述列出数学关系式； (2)该校计划至少购买一筒羽毛球，有几种购买方案？ 解：(1)150×4＋30x＜700. (2)当x＝1，2，3时，分别代入不等式，不等式成立；当x＝4时，代入不等式，不等式不成立．所以有3种购买方案． 【教学建议】 学生分组讨论交流，教师指定学生代表作答，并对学生的作答予以指导和订正，使学生经历现实生活中不等关系的探究过程，体会建立不等模型的思想，并能根据题目中的限制条件，求出不等式的特殊解，掌握验证解的方法．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1．什么是不等式？你会用不等式表示简单问题中的不等关系吗？ 2．什么是不等式的解？什么是不等式的解集？不等式的解与解集有什么区别与联系？什么是解不等式？你能在数轴上表示不等式的解集吗？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P128习题11.1第1，2，3，6题. 2.相应课时训练．
板书设计 11.1.1　不等式及其解集 1.不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子. 2.列不等式. 3.不等式的解和不等式的解集. 4.用数轴表示不等式的解集. 5.解不等式：求不等式的解集的过程.
教学反思 　　本节课的教学中设置了大量的实际生活情况，让学生体会到现实生活中存在着大量的不等关系，不等式是这种不等关系的具体体现．教学中还充分运用了类比思想，类比已经学习过的方程，让学生体会“等”与“不等”之间的联系，自己去发现、探索，从而得出不等式、不等式的解、不等式的解集的概念.
解题大招一　不等式的解集
正确理解不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫作这个不等式的解集，这个解集可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合思想的具体表现．不等式的解集要区分于不等式的解，如－4，－2，0，1，2都是不等式2x＜6的解，但不是它的解集．
例1　下列说法错误的是(D)
A．不等式5x－10＞0的解有无数个　　　　　　
B．3是不等式5x－10＞0的解
不等式5x－10＞0的解集是x＞2
D．x＞3是不等式5x－10＞0的解集
解析：2.9也满足不等式5x－10＞0，故x＞3不是不等式5x－10＞0的解集，故D选项错误，符合题意；A，B，C选项的说法均正确，不符合题意．故选D.
解题大招二　用数轴表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时注意：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈．
例2　某不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是x>－2.
培优点　数轴上未知整数点的确定
例　如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有整数：－1，0，1.
解析：设被污染的部分的数为x.由数轴可知－1.3＜x＜1.6.因为x为整数，所以x＝－1或0或1.故答案为－1，0，1.

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