11.1.2.2 用不等式的性质解不等式 教案 (表格式)【素养目标】 2024-2025学年度人教版数学七年级下册

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11.1.2.2 用不等式的性质解不等式 教案 (表格式)【素养目标】 2024-2025学年度人教版数学七年级下册

资源简介

第2课时 用不等式的性质解不等式
教学目标
课题 第2课时 用不等式的性质解不等式 授课人
素养目标 能运用不等式的性质解简单的不等式,对比方程的解法,感知其内在联系,体会其中渗透的类比思想. 会运用不等式的性质解决简单的问题,强化运用能力,初步认识不等式的应用价值.
教学重点 用不等式的性质解简单的不等式.
教学难点 用不等式的性质解决实际问题,在数轴上表示不等式的解集.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一:温故知新,新课导入 【设计意图】 回顾之前所学,为进入正课做好知识储备. 【复习引入】 问题1 上节课我们已经知道,解不等式需要依据不等式的性质,那么不等式有哪些性质呢?请回答.   问题2 请简述解一元一次方程的本质. 解一元一次方程就是借助等式的性质,将方程逐步化为x=m(m为常数)的形式. 类似于解一元一次方程,我们该如何解不等式呢?这就是我们将要探究的内容. 【教学建议】 教师提问,学生代表作答,先复习上节课学过的不等式的性质,再通过分析解方程的本质,类比启发学生对解不等式进行探索,从而使学生在进入新课之前有思路,明确学习目标,将知识点更快地融合在一起.
活动二:交流合作,探究新知 【设计意图】 类比解方程的方法引导学生利用不等式的性质解简单的不等式,引入符号“≤”“≥”,为后面学习一元一次不等式的解法做铺垫. 探究点1 用不等式的性质解不等式 通过活动一我们知道,与解方程类似,解不等式的本质就是将不等式逐步化为x>m或x<m(m为常数)的形式. 例1 (教材P126例3)利用不等式的性质解下列不等式: (1)x-7>26;  (2)3x<2x+1;  (3)x>50;  (4)-4x>3. 解:(1)根据不等式的性质1,不等式两边加7,不等号的方向不变,所以x-7+7>26+7,x>33. (2)根据不等式的性质1,不等式两边减2x,不等号的方向不变,所以3x-2x<2x+1-2x,x<1. (3)根据不等式的性质2,不等式两边乘,不等号的方向不变,所以×x>×50,x>75. (4)根据不等式的性质3,不等式两边除以-4,不等号的方向改变,所以<,x<-. 问题1 我们还可以在数轴上直观地表示不等式的解集,请你在数轴上表示例1中不等式的解集. 序号解集在数轴上的表示(1)x>33(2)x<1(3)x>75(4)x<-
概念引入: 除了含有<,>,≠的不等式,像a≥b或a≤b这样的式子,也经常用来表示两个数量的大小关系,它们也是不等式.例如,x≥3表示x>3或x=3,即x可以取3和大于3的所有值.符号“≥”读作“大于或等于”,也可以说是“不小于”;符号“≤”读作“小于或等于”,也可以说是“不大于”. 问题2 符号“≥”与“>”的含义有什么区别呢?“≤”与“<”呢? x≥a表示x>a或x=a,即x可以取a和大于a的所有值,而x>a表示x只能取大于a的所有值,于是“≥”比“>”多了一个等于的含义;“≤”与“<”同理. a≥b或a≤b形式的不等式,具有与前面所说的不等式的性质类似的性质,即:如果a≥b,那么a±c≥b±c;如果a≥b,c>0,那么ac≥bc(或≥);如果a≥b,c<0,那么ac≤bc(或≤). 【对应训练】 教材P128练习第1,2题. 【教学建议】 提醒学生:①初学解不等式时与解方程类似,每一步之前要写上变形的依据,有利于加深记忆;②有时需要多次运用性质才能求得结果,此时尤其注意每一步变形都要看清符号;③在数轴上表示解集时注意方向,不要出错. 【教学建议】 教师引导学生自主思考,培养学生主动参与、合作交流的意识,提高学生的观察、分析、概括和抽象能力,并注意强调“≤”“≥”与“<”“>”在意义上的区别,以及用“≤”“≥”连接的不等式也具有其他性质,如上节课学到的对称性、传递性.
【设计意图】 引入实际问题,通过问答的形式逐步解决,培养学生实际应用的能力,同时引入含“≥”或“≤”的解集在数轴上的表示方法. 探究点2 用不等式的性质解决实际问题 生活中也有很多不等关系可以用形如a≥b或a≤b的不等式表示.如图所示的高速公路的限速标志,表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80 km/h,最高车速应为100 km/h.如果用v(单位:km/h)表示汽车的速度,则v应满足:v≥80且v≤100,或表示为80≤v≤100. 问题 如果汽车所行驶道路的最高限速是120 km/h,那么车速x应满足什么条件? 车速x应满足0≤x≤120. 例2 (教材P127例4)如图,一个长方体形状的鱼缸长10 dm,宽3.5 dm,高7 dm.若鱼缸内已有水的高度为1 dm,现准备向鱼缸内继续注水.用V(单位:dm3)表示新注入水的体积,写出V的取值范围并在数轴上表示. 问题1 本题中的不等关系是什么? 已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积. 问题2 新注入水的体积V可以是负数吗? 不能. 问题3 请根据以上条件写出V的取值范围. 因为“已有水的体积+新注入水的体积V≤鱼缸的容积”, 所以10×3.5×1+V≤10×3.5×7,解得V≤210. 又由于新注入水的体积V不能是负数, 所以V的取值范围是0≤V≤210. 问题4 怎样将V的取值范围在数轴上表示出来?试一试. 在数轴上表示V的取值范围如图所示. 问题5 用数轴表示不等式的解集时,实心圆点和空心圆圈有什么区别?不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上如何表示? 实心圆点表示取值范围内包含这个数,而空心圆圈则表示不包含这个数. 不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上的表示如下(a>0): 【对应训练】 1.教材P128练习第3题. 2.用炸药爆破时,如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s,人跑开的速度是4 m/s,为了让点导火索的人在爆破时能够跑到100 m以外(不含100 m)的安全区域,这个导火索的长度应大于多少厘米?请将解集在数轴上表示出来. 解:设导火索的长度是x cm.根据题意,得×4>100,解得x>20. 故导火索的长度应大于20 cm. 在数轴上表示x的取值范围如图所示. 【教学建议】 此类实际问题容易引起学生关注,激发他们参与学习的热情.教学中应让学生体会到生活中蕴含着数学知识,反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题,从而感受到知识的应用价值.注意提醒学生:在数轴上表示解集时注意方向,并根据结果确定是选用空心圆圈还是实心圆点,强调“≥”“≤”与“>”“<”在数轴表示上的区别.
活动三:难点突破,提升探究 【设计意图】 强化学生根据题意列不等式,并能根据不等式的性质求未知数的取值范围的能力. 例3 若不等式2x<4的解都能使关于x的不等式3x<a+5成立,求a的取值范围. 解:对于不等式2x<4,根据不等式的性质2,不等式两边除以2,不等号的方向不变,所以<,x<2. 对于不等式3x<a+5,根据不等式的性质2,不等式两边除以3,不等号的方向不变,所以<,x<. 根据题意,得≥2.根据不等式的性质2,不等式两边乘3,不等号的方向不变,所以×3≥2×3,a+5≥6.根据不等式的性质1,不等式两边减5,不等号的方向不变,所以a+5-5≥6-5,a≥1.所以a的取值范围是a≥1. 【对应训练】 二元一次方程组的解满足不等式ax>4-y,求a的取值范围. 解:解方程组得把代人不等式ax>4-y,得2a>4-2,即2a>2.根据不等式的性质2,不等式两边除以2,不等号的方向不变,所以>,a>1.所以a的取值范围是a>1. 【教学建议】 学生先自行探索解决,教师汇总后集中讲解.最后提醒学生解决此类型题目的关键在于题目的解读,挖掘出隐含的不等关系,列出不等式后再利用不等式的性质解决问题.
活动四:随堂训练,课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容,并请学生回答以下问题: 你能用不等式的性质解简单的不等式吗?能解决一些简单的实际问题吗? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P128习题11.1第5,8,9,10,11题. 2.相应课时训练.
板书设计 第2课时 用不等式的性质解不等式 1.用不等式的性质解简单的不等式:将不等式逐步化为x>m或x<m(m为常数)的形式. 2.“≥”“≤”的意义.
教学反思   本节课是在学生学习了不等式的性质,知道不等式的性质是解不等式的重要依据的基础上,利用不等式的性质将其变形,从而解不等式,巩固学生对不等式性质的理解,体会不等式的性质在解不等式中的运用.教学中对不等式的解集先用式子表示,再用数轴表示,既能加深学生对不等式的解集及解不等式的理解,也为学生后面学习不等式组时用数轴确定其解集做好充分准备.
解题大招 用不等式的性质解简单的不等式
利用不等式的性质解不等式时,可能会多次利用性质对不等式进行变形才可得到结果,这一过程中一定注意符号不要出错.
例 利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集:
(1)-3x+1>4;    (2)x+2<1.
解:(1)根据不等式的性质1,不等式两边减1,不等号的方向不变,所以-3x+1-1>4-1,-3x>3.
根据不等式的性质3,不等式两边除以-3,不等号的方向改变,所以<,x<-1.
不等式的解集x<-1在数轴上的表示如图①所示.
   
(2)根据不等式的性质1,不等式两边减2,不等号的方向不变,所以x+2-2<1-2,x<-1.
根据不等式的性质2,不等式两边乘,不等号的方向不变,所以x×<-1×,x<-.
不等式的解集x<-在数轴上的表示如图②所示.
培优点 用不等式的性质解决实际问题
不等关系在生活中的直接体现就是天平,天平的倾斜表示左右两边托盘中物体质量的不等关系,下落的一边质量大,翘起的一边质量小;天平平衡则表示左右两边托盘中物体的质量相等.
例 设“□”“△”“○”分别表示三种不同的物体,现用天平称两次,发现其结果如图所示,如果“○”的质量为50 g,请用不等式分别表示“□”和“△”的质量范围.
解:设“□”的质量为x g,“△”的质量为y g.根据题意,得2x>50+x,所以x>50;50+y<50+50,所以y<50.

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