资源简介

第2课时　用不等式的性质解不等式
教学目标
课题 第2课时　用不等式的性质解不等式 授课人
素养目标 能运用不等式的性质解简单的不等式，对比方程的解法，感知其内在联系，体会其中渗透的类比思想. 会运用不等式的性质解决简单的问题，强化运用能力，初步认识不等式的应用价值.
教学重点 用不等式的性质解简单的不等式．
教学难点 用不等式的性质解决实际问题，在数轴上表示不等式的解集.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：温故知新，新课导入 【设计意图】 回顾之前所学，为进入正课做好知识储备. 【复习引入】 问题1　上节课我们已经知道，解不等式需要依据不等式的性质，那么不等式有哪些性质呢？请回答． 　　问题2　请简述解一元一次方程的本质． 解一元一次方程就是借助等式的性质，将方程逐步化为x＝m(m为常数)的形式． 类似于解一元一次方程，我们该如何解不等式呢？这就是我们将要探究的内容． 【教学建议】 教师提问，学生代表作答，先复习上节课学过的不等式的性质，再通过分析解方程的本质，类比启发学生对解不等式进行探索，从而使学生在进入新课之前有思路，明确学习目标，将知识点更快地融合在一起．
活动二：交流合作，探究新知 【设计意图】 类比解方程的方法引导学生利用不等式的性质解简单的不等式，引入符号“≤”“≥”，为后面学习一元一次不等式的解法做铺垫． 探究点1　用不等式的性质解不等式 通过活动一我们知道，与解方程类似，解不等式的本质就是将不等式逐步化为x＞m或x＜m(m为常数)的形式． 例1　(教材P126例3)利用不等式的性质解下列不等式： (1)x－7＞26；　　(2)3x＜2x＋1；　　(3)x＞50；　　(4)－4x＞3. 解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以x－7＋7＞26＋7，x＞33. (2)根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1. (3)根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，所以×x＞×50，x＞75. (4)根据不等式的性质3，不等式两边除以－4，不等号的方向改变，所以＜，x＜－. 问题1　我们还可以在数轴上直观地表示不等式的解集，请你在数轴上表示例1中不等式的解集. 序号解集在数轴上的表示(1)x＞33(2)x<1(3)x＞75(4)x<－
概念引入： 除了含有＜，＞，≠的不等式，像a≥b或a≤b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式．例如，x≥3表示x＞3或x＝3，即x可以取3和大于3的所有值．符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”. 问题2　符号“≥”与“＞”的含义有什么区别呢？“≤”与“＜”呢？ x≥a表示x＞a或x＝a，即x可以取a和大于a的所有值，而x＞a表示x只能取大于a的所有值，于是“≥”比“＞”多了一个等于的含义；“≤”与“＜”同理. a≥b或a≤b形式的不等式，具有与前面所说的不等式的性质类似的性质，即：如果a≥b，那么a±c≥b±c；如果a≥b，c>0，那么ac≥bc(或≥)；如果a≥b，c<0，那么ac≤bc(或≤). 【对应训练】 教材P128练习第1，2题. 【教学建议】 提醒学生：①初学解不等式时与解方程类似，每一步之前要写上变形的依据，有利于加深记忆；②有时需要多次运用性质才能求得结果，此时尤其注意每一步变形都要看清符号；③在数轴上表示解集时注意方向，不要出错． 【教学建议】 教师引导学生自主思考，培养学生主动参与、合作交流的意识，提高学生的观察、分析、概括和抽象能力，并注意强调“≤”“≥”与“＜”“＞”在意义上的区别，以及用“≤”“≥”连接的不等式也具有其他性质，如上节课学到的对称性、传递性．
【设计意图】 引入实际问题，通过问答的形式逐步解决，培养学生实际应用的能力，同时引入含“≥”或“≤”的解集在数轴上的表示方法. 探究点2　用不等式的性质解决实际问题 生活中也有很多不等关系可以用形如a≥b或a≤b的不等式表示．如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80 km/h，最高车速应为100 km/h.如果用v(单位：km/h)表示汽车的速度，则v应满足：v≥80且v≤100，或表示为80≤v≤100. 问题　如果汽车所行驶道路的最高限速是120 km/h，那么车速x应满足什么条件？ 车速x应满足0≤x≤120. 例2　(教材P127例4)如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm.若鱼缸内已有水的高度为1 dm，现准备向鱼缸内继续注水．用V(单位：dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示． 问题1　本题中的不等关系是什么？ 已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积． 问题2　新注入水的体积V可以是负数吗？ 不能． 问题3　请根据以上条件写出V的取值范围． 因为“已有水的体积＋新注入水的体积V≤鱼缸的容积”， 所以10×3.5×1＋V≤10×3.5×7，解得V≤210. 又由于新注入水的体积V不能是负数， 所以V的取值范围是0≤V≤210. 问题4　怎样将V的取值范围在数轴上表示出来？试一试． 在数轴上表示V的取值范围如图所示． 问题5　用数轴表示不等式的解集时，实心圆点和空心圆圈有什么区别？不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上如何表示？ 实心圆点表示取值范围内包含这个数，而空心圆圈则表示不包含这个数． 不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上的表示如下(a>0)： 【对应训练】 1.教材P128练习第3题. 2.用炸药爆破时，如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，人跑开的速度是4 m/s，为了让点导火索的人在爆破时能够跑到100 m以外(不含100 m)的安全区域，这个导火索的长度应大于多少厘米？请将解集在数轴上表示出来. 解：设导火索的长度是x cm.根据题意，得×4＞100，解得x＞20. 故导火索的长度应大于20 cm. 在数轴上表示x的取值范围如图所示. 【教学建议】 此类实际问题容易引起学生关注，激发他们参与学习的热情．教学中应让学生体会到生活中蕴含着数学知识，反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题，从而感受到知识的应用价值．注意提醒学生：在数轴上表示解集时注意方向，并根据结果确定是选用空心圆圈还是实心圆点，强调“≥”“≤”与“＞”“＜”在数轴表示上的区别．
活动三：难点突破，提升探究 【设计意图】 强化学生根据题意列不等式，并能根据不等式的性质求未知数的取值范围的能力. 例3　若不等式2x＜4的解都能使关于x的不等式3x＜a＋5成立，求a的取值范围． 解：对于不等式2x＜4，根据不等式的性质2，不等式两边除以2，不等号的方向不变，所以<，x＜2. 对于不等式3x＜a＋5，根据不等式的性质2，不等式两边除以3，不等号的方向不变，所以<，x＜. 根据题意，得≥2.根据不等式的性质2，不等式两边乘3，不等号的方向不变，所以×3≥2×3，a＋5≥6.根据不等式的性质1，不等式两边减5，不等号的方向不变，所以a＋5－5≥6－5，a≥1.所以a的取值范围是a≥1. 【对应训练】 二元一次方程组的解满足不等式ax＞4－y，求a的取值范围． 解：解方程组得把代人不等式ax＞4－y，得2a＞4－2，即2a＞2.根据不等式的性质2，不等式两边除以2，不等号的方向不变，所以>，a＞1.所以a的取值范围是a＞1. 【教学建议】 学生先自行探索解决，教师汇总后集中讲解．最后提醒学生解决此类型题目的关键在于题目的解读，挖掘出隐含的不等关系，列出不等式后再利用不等式的性质解决问题．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 你能用不等式的性质解简单的不等式吗？能解决一些简单的实际问题吗？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P128习题11.1第5，8，9，10，11题. 2.相应课时训练．
板书设计 第2课时　用不等式的性质解不等式 1.用不等式的性质解简单的不等式：将不等式逐步化为x＞m或x＜m(m为常数)的形式. 2.“≥”“≤”的意义．
教学反思 　　本节课是在学生学习了不等式的性质，知道不等式的性质是解不等式的重要依据的基础上，利用不等式的性质将其变形，从而解不等式，巩固学生对不等式性质的理解，体会不等式的性质在解不等式中的运用．教学中对不等式的解集先用式子表示，再用数轴表示，既能加深学生对不等式的解集及解不等式的理解，也为学生后面学习不等式组时用数轴确定其解集做好充分准备.
解题大招　用不等式的性质解简单的不等式
利用不等式的性质解不等式时，可能会多次利用性质对不等式进行变形才可得到结果，这一过程中一定注意符号不要出错．
例　利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)－3x＋1＞4；　　　　(2)x＋2<1.
解：(1)根据不等式的性质1，不等式两边减1，不等号的方向不变，所以－3x＋1－1＞4－1，－3x＞3.
根据不等式的性质3，不等式两边除以－3，不等号的方向改变，所以＜，x＜－1.
不等式的解集x＜－1在数轴上的表示如图①所示．
　　　
(2)根据不等式的性质1，不等式两边减2，不等号的方向不变，所以x＋2－2<1－2，x<－1.
根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变，所以x×<－1×，x<－.
不等式的解集x<－在数轴上的表示如图②所示．
培优点　用不等式的性质解决实际问题
不等关系在生活中的直接体现就是天平，天平的倾斜表示左右两边托盘中物体质量的不等关系，下落的一边质量大，翘起的一边质量小；天平平衡则表示左右两边托盘中物体的质量相等．
例　设“□”“△”“○”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，发现其结果如图所示，如果“○”的质量为50 g，请用不等式分别表示“□”和“△”的质量范围．
解：设“□”的质量为x g，“△”的质量为y g．根据题意，得2x＞50＋x，所以x＞50；50＋y＜50＋50，所以y＜50.

展开更多......

收起↑