资源简介

12.2.2　直方图
教学目标
课题 12.2.2　直方图 授课人
素养目标 1.能画频数分布直方图，能利用频数分布直方图解释数据中蕴含的信息． 2．通过小组合作与交流，经历数据的收集与处理的过程，学会分析数据的方法.
教学重点 画频数分布直方图的步骤．
教学难点 画频数分布直方图，从频数分布直方图中读取正确的信息.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，导入新课 【设计意图】 回顾前面学过的统计图，引出新的统计图. 【回顾导入】 在前面我们学习了哪几种描述数据的统计图？它们各自的优点是什么？ 前面学习的描述数据的统计图主要有条形图、扇形图、折线图．其中，条形图易于比较每组数据之间的差别，扇形图易于显示每组数据占总体的百分比，折线图易于显示数据的变化趋势． 今天我们要学习一种新的统计图：直方图． 【教学建议】 先给学生展示一幅直方图，形成一定的直观印象．
活动二：引入新知，探究学习 【设计意图】 计算数据的变化范围，适当分组，做好绘制直方图的前期准备工作．引导学生整理数据，准确列出频数分布表．学习频数分布直方图的绘制，感受它的特点，巩固学生对频数分布直方图的掌握． 探究点　频数分布直方图 阅读教材P165的问题1. (1)为了解决教材上的问题，选择一个合适的身高范围，我们要知道什么？ 要知道63名同学的身高分布情况． (2)你能用前面学过的统计图解决这个问题吗？ 不能．一共有63个数据，数据较多，直接用前面学过的统计图来描述数据，难以看出数据分布的特征和规律． 为了更好地描述这些数据的分布情况，我们可以通过对这些数据适当分组来进行整理．今天要学习的直方图，正是在此基础上绘制的． 下面我们按步骤介绍直方图的绘制过程． 步骤1：计算最大值与最小值的差 最大值－最小值＝172－149＝23，说明身高的变化范围是23. 步骤2：决定组距和组数 分组时，每个小组的两个端点间的距离(组内数据的取值范围)称为组距．根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同．在本问题中，我们作等距分组，即令各组的组距相同．如果从最小值起每隔3作为一组，那么由于＝＝7，所以要将数据分成8组：149≤x＜152，152≤x＜155，…，170≤x＜173，其中x表示身高值，这里组距和组数分别为3和8. 补充说明：组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经验和所研究的具体问题来决定．将一批数据分组，一般数据越多，分的组数也越多．当数据在100个以内时，按照数据的多少，常分成5～12组． 步骤3：列频数分布表 对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数叫作频数．整理可以得到后面的频数分布表： (1)根据表格，你知道该从身高在哪个范围的同学中挑选仪仗队队员吗？ 从表中可以看出，身高在155≤x＜158，158≤x＜161，161≤x＜164三个组的人数最多，共有12＋19＋10＝41(人)．因此，可以从身高在155 cm至164 cm(不含164 cm)范围的同学中挑选仪仗队队员. (2)上面对数据进行分组时，组距取3，把数据分成8组．如果组距取2或4，那么数据分成几个组？这样能否选出需要的40名同学呢？ 组距取2时，分成12个组，能选出需要的40名同学；组距取4时，分成6个组，不能很好地选出需要的40名同学. 步骤4：画频数分布直方图 前面对63名同学的身高做了数据的整理，并且也列出了频数分布表，为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据表中的数据画出频数分布直方图，如图所示. 观察频数分布直方图，图中以什么来表示各组频数的大小？ 频数分布直方图中，以小长方形的面积来表示各组频数的大小．如图，以155～158对应的小长方形为例说明： 小长方形的面积＝底×高＝组距×＝频数. 等距分组时，各小长方形的面积(频数)与高的比是常数(组距)．因此，画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的高表示频数．前面的各组数据可按如图的方式表示. 注意： 例1　阅读教材P168例3，将下面的过程补充完整. (1)在样本数据中，最大值是7.4，最小值是4.0，它们的差是3.4. (2)取组距为0.3，则组数为12. (3)列频数分布表. 　(4)画频数分布直方图. 从频数分布表和频数分布直方图可以看到，麦穗长度大部分落在5.2 cm至7.0 cm(不含7.0 cm)的范围，落在其他范围的较少．长度在5.8≤x＜6.1范围的麦穗根数最多，有28根，而长度在4.0≤x＜4.3，4.3≤x＜4.6，4.6≤x＜4.9，7.0≤x＜7.3，7.3≤x＜7.6范围的麦穗根数很少，总共只有7根．由此可以估计这种大麦穗长主要分布在5.2 cm至7.0 cm(不含7.0 cm)的范围，其中穗长在5.8 cm至6.1 cm(不含6.1 cm)范围的大麦最多. 【对应训练】 1.一组数据有90个，其中最大值为141，最小值为40，取组距为10，则可以分成(C) A.9组　　　　B．10组　　　　C．11组　　　D．12组 某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽取了20根棉花纤维进行测量，其长度x(单位：mm)的数据分布如下表所示，则棉花纤维长度在16≤x＜32这个范围的占比为70%. 3.教材P170练习第1，2题. 【教学建议】 给学生说明，数据分组时，可以先确定组距，再根据组距确定组数；也可以先确定组数，再根据组数确定组距． 【教学建议】 数据分组时，对数据要遵循“不重不漏”的原则．“不重”是指一个数据只能分在其中的一个组，不能在其他组中重复出现；“不漏”是指在所分成的所有组别中，每个数据都能分在其中的某一组中，不能遗漏. 分组时，为了使数据“不重不漏”，统计中有不同的方法．教材中采用了“上限不在内”的原则. 【教学建议】 不必过多涉及一般直方图，重点介绍用长方形的高表示频数的直方图. 【教学建议】 给学生强调，频数分布直方图反映的是数据的分布状况．另外，若抽样合理，则可用样本的分析结果估计总体的情况.
活动三：重点突破，提升探究 【设计意图】 巩固对直方图的理解，学会根据直方图作决策. 例2　某中学为了解该校1 200名学生在校午餐所需的时间，随机抽查了50名学生在校吃午餐所花的时间，并绘制成如图所示的频数分布直方图(其中A组：5＜x≤10；B组：10＜x≤15；C组：15＜x≤20；D组：20＜x≤25；E组：25＜x≤30，x(单位：min)为午餐时间)．根据频数分布直方图提供的信息解答下列问题： (1)补全频数分布直方图． (2)估计该校1 200名学生午餐所花时间在B组的人数． (3)在既考虑学生午餐用时需求，又考虑食堂运行效率的情况下，校方准备在15 min，20 min，25 min，30 min中选择一个作为午餐时间，你认为应选择多少分钟为宜？请说明理由． 解：(1)C组(15＜x≤20)的频数为50－4－12－2－2＝30，补全频数分布直方图如图所示． (2)B组(10＜x≤15)对应的频数为12，则1 200×＝288(名)． 故估计该校1 200名学生午餐所花时间在B组的人数为288. (3)选择20 min.理由如下：样本中有46人能在20 min内完成用餐，占比92%.可以鼓励20 min没有完成用餐的同学适当加快用餐速度，有利于食堂提高运行效率． 【教学建议】 给学生介绍，从直方图可以看出数据的整体分布情况，其中最集中的数据分布范围，往往可以给调查者的决策起到参考作用．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1．频数分布直方图的绘制要经历哪几个步骤？组数和组距是怎样确定的？ 2．频数分布直方图有什么特点，它的作用主要体现在哪里？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P174习题12.2第4，7，10题． 2．相应课时训练．
板书设计 12.2.2　直方图 1．计算最大值与最小值的差． 2．决定组距和组数． 3．列频数分布表． 4．画频数分布直方图． 5．读取频数分布直方图中的信息，作出决策．
教学反思 合理地绘制出直方图对学生来说存在一定难度，根据直方图作决策对学生来说也是一个比较新颖的开放性问题，要让学生通过实际案例提高分析和处理数据的能力，提升用直方图描述数据的能力，并结合实际问题进行分析决策，勇于表达自己的观点．
解题大招　频数分布直方图中小长方形高的应用
1．在等距分组的频数分布直方图中，各小长方形的面积(频数)与高的比是常数(组距)，可以此为突破口解决问题．
例1　对150个数据等距分组整理得到频数分布直方图，测得所有小长方形的高之和为33 cm，其中最高的小长方形的高为11 cm，则这个最高的小长方形对应的频数为50.
解析：因为等距分组，所以＝常数(组距)．设最高的小长方形对应的频数为a，则＝，所以a＝50.故答案为50.
2．在频数分布表或频数分布直方图中，有时问题涉及的范围不是某一个分组，而是几个连续分组合并起来的范围，解题时注意将各组的频数(或百分比)加总再求解．
例2　某班50名学生身高(单位：cm)的频数分布直方图中(数据分为4组)，从左起第一(140≤x＜150)、二(150≤x＜160)、三(160≤x＜170)、四(170≤x＜180)个小长方形的高的比是1∶3∶5∶1，那么身高在150 cm以下的学生有5名，身高在160 cm及以上的学生占全班人数的60%.
解析：根据题意可知这批数据是等距分组，所以小长方形的高的比即为对应频数之比，那么身高在150 cm以下(即第一组)的学生有50×＝5(名)，身高在160 cm及以上(即第三组和第四组)的学生占全班人数的×100%＝60%.故答案为5，60.
培优计划　频数分布直方图的应用
例　为创建文明校园，树立新风，某校开展了以“学习党史，团结力量”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生的成绩(单位：分)进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
(1)本次调查一共抽取了150名学生的成绩，频数分布直方图中m＝15；
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
(3)若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2 000名学生，估计全校成绩优秀的学生人数．
解：(1)解析：本次调查一共抽取的学生人数为30÷20%＝150；m＝150×10%＝15.故答案为150，15.
(2)C等级的学生人数为150－15－30－45－24＝36，补全学生成绩频数分布直方图如图所示．
学生成绩频数分布直方图
答：估计全校成绩优秀的学生人数为920.

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