资源简介

第十章　二元一次方程组
10．1　二元一次方程组的概念
教学目标
课题 10.1　二元一次方程组的概念 授课人
素养目标 1.认识二元一次方程和二元一次方程组，体会二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型． 2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会检验所给的一对未知数的值是否为二元一次方程或二元一次方程组的解． 3．会求二元一次方程的正整数解.
教学重点 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义．
教学难点 1.感知二元一次方程解的不确定性和二元一次方程组解的确定性． 2．求二元一次方程的正整数解.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，新课导入 【设计意图】 回顾方程知识，为突破本课时重难点做准备. 【回顾导入】 同学们，在七年级上册，我们学习了一元一次方程，你还记得什么是一元一次方程吗？“元”“次”分别表示什么含义？请举例说明． 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程．如：2x＋3＝5，y＋6＝8. 用一元一次方程可以解决许多实际生活问题．请大家思考教材P87引言中的问题，对于此类含有两个未知量的问题，我们能否根据题意设出两个未知数，并列出方程解决问题呢？ 本节课我们将对该问题进行探究与学习． 【教学建议】 学生代表独立回答，教师提示并总结，引出二元一次方程(组)的有关知识．
活动二：问题引入，自主探究 【设计意图】 以实际问题为例，进行分析探究，引入二元一次方程(组)的概念． 探究点1　认识二元一次方程(组) 某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘．如果大型采棉机1 h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？ 问题1　问题中包含了哪些必须同时满足的相等关系？ ①大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数； ②大型采棉机1 h采摘面积＋小型采棉机1 h采摘面积＝1 h采摘总面积． 问题2　设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？ 这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝6，2x＋y＝8表示． 问题3　上面的两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？ 这两个方程都含有两个未知数，左边都是整式，所含未知数的项的次数都是1. 与一元一次方程的不同点：比一元一次方程多一个次数为1的未知数，即有两个未知数． 概念引入： 一个方程中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程． 上面的问题中包含两个必须同时满足的相等关系，也就是未知数x，y必须同时满足方程x＋y＝6和2x＋y＝8.把这两个方程合在一起，写成 就组成了一个方程组． 【教学建议】 学生独立思考并完成相应的问题，教师引导学生一起得出二元一次方程和二元一次方程组的概念．在识别二元一次方程(组)时，应提醒学生注意二元一次方程(组)的三个特征：①“二元”，即方程(组)中含有两个未知数；②(方程组中的两个)方程的两边都是整式；③“一次”，即方程(组)所含未知数的项的次数都是1.
概念引入： 一个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组． 【对应训练】 下列方程中，是二元一次方程的是（D） A.3x－2y＝4z B．6xy＋9＝0 C.＋4y＝6 D．4x＝ 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是(A)
【设计意图】 结合问题中未知数的实际意义，列举出所有满足方程的未知数的值，引入二元一次方程(组)的解的概念. 探究点2　二元一次方程(组)的解 下面我们继续来探究上个探究点中的问题． 问题1　满足方程x＋y＝6，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填在表中． 结合问题的实际意义，采棉机台数均为正整数． x12345y543212x＋y7891011
如果不考虑方程x＋y＝6与前面实际问题的联系，那么x＝－1，y＝7；x＝0.1，y＝5.9；…也都是这个方程的解． 概念引入： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解． 问题2　一个一元一次方程有几个解？一个二元一次方程呢？ 一个一元一次方程只有一个解，一个二元一次方程有无数对解． 问题3　结合在上表中填入的x，y的值，计算2x＋y的值并填在表中．上表中哪对x，y的值同时满足方程2x＋y＝8. x＝2，y＝4同时满足方程2x＋y＝8. x＝2，y＝4既满足方程x＋y＝6，又满足方程2x＋y＝8.也就是说，x＝2，y＝4是方程x＋y＝6与方程2x＋y＝8的公共解. 我们把x＝2，y＝4叫作二元一次方程组的解，这个解通常记作 概念引入： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解． 问题4　请联系上面的问题，确认这个种棉大户租用了多少台大、小型采棉机． 这个种棉大户租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机． 【对应训练】 1．教材P90习题10.1第1题． 2．若是关于x，y的方程kx－2y＝－2的一个解，则k的值为4. 【教学建议】 学生独立思考并完成表格，教师引导学生得出二元一次方程(组)的解的概念，加深对该概念的理解． 二元一次方程组的解的特点： ①是一对数值，即 ②同时满足方程组中的每一个方程．
活动三：重点突破，提升探究 【设计意图】 以实际问题为例，让学生独立完成由实际问题建立方程模型，并结合实际意义求方程组的解的过程. 例　观察小红与小明的对话，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，确定成人、儿童的人数． 解：设成人的人数为x，儿童的人数为y.根据题意，得 因为x，y均表示人数，所以x，y都是非负整数． 在方程①中，满足条件的x，y的值有 x012345678y876543210
经验证，也是方程②的解．则二元一次方程组的解是 答：他们去了5个成人，3个儿童． 【对应训练】 教材P89练习． 【教学建议】 学生分小组讨论解答．教师适时引导学生根据问题的实际意义确定未知数的取值．通常此类问题中未知数是非负整数(或正整数)，要具体问题具体分析．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1．如何判断一个方程(组)是不是二元一次方程(组) 2．如何判断一对数值是不是二元一次方程(组)的解？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P90习题10.1第2，3，4，5题． 2．相应课时训练．
板书设计 10.1　二元一次方程组的概念 1．二元一次方程与二元一次方程组： 特点：①有两个未知数；②含有未知数的式子都是整式；③含有未知数的项的次数都是1. 2．二元一次方程的解：有无数对． 3．二元一次方程组的解：两个方程的公共解．
教学反思 本节课从实际问题入手，通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，引出二元一次方程(组)及其解的概念，提炼出概念的特点，找出相关概念的区别与联系，方便学生理解．
解题大招一　二元一次方程(组)的判别方法
二元一次方程必须满足的条件：①含有两个未知数；②含有未知数的式子都是整式；③含有未知数的项的次数都是1.
而对于二元一次方程组，组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也都是二元一次方程组．
例1　已知下列方程，其中是二元一次方程的有①④⑤⑦(填序号)．
①2x－5＝y；②x－1＝4；③xy＝3；④x＋y＝6；⑤2x－4y＝7；⑥5x＋＝3；⑦x＋y＝1；⑧x2－8y＝0.
解析：①④⑤⑦满足二元一次方程的概念；②是一元一次方程，方程中只含有一个未知数；③⑧中含有未知数的项的次数最高为2；⑥不是整式方程．
解题大招二　求二元一次方程的整数解的方法
1．(1)首先用一个未知数表示另一个未知数；
(2)给定x的一个值，求出y的一个对应值，就可以得到二元一次方程的一组解(也可给定y的一个值，再求出x)．
例2　写出二元一次方程x＋3y＝14的一组整数解：(答案不唯一)．
解析：因为x＋3y＝14，所以x＝14－3y，当y＝0时，x＝14－3×0＝14，
所以二元一次方程x＋3y＝14的一组整数解可以是(答案不唯一)
2．二元一次方程组的解一般情况下是唯一的，但是有的方程组有无数多解或无解．
如：方程组有无数多解，方程组无解．
注意：二元一次方程组的解是一组数对，它同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．
培优点　二元一次方程的整数解的探究与应用
例　【阅读理解】我们知道方程3x＋2y＝14有无数多解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例如：由3x＋2y＝14，得y＝＝7－x(x，y为正整数)．要使y＝7－x为正整数，则x为小于7的整数．
可知x为2的倍数，从而x可取2，4，分别代入y＝7－x，得y的值分别为4，1.
所以3x＋2y＝14的正整数解为和
【类比探究】请根据材料求出方程2x＋3y＝9的正整数解．
【拓展应用】学校需要给一个班52名学生安排宿舍，现有四人间和六人间两种规格的宿舍，在不造成资源浪费的情况下，共有几种分配方法？
解：【类比探究】根据例题方法，由2x＋3y＝9，得y＝3－x.要使y为正整数，则x为小于3的整数．可知x是3的倍数，从而x只能取3.易得该方程的正整数解为
【拓展应用】设分配四人间x间，六人间y间．根据题意，得4x＋6y＝52.整理得x＝13－y.同理可得y只能取0，2，4，6，8.
易得该方程的正整数解为
故在不造成资源浪费的情况下，共有五种分配方法：①1间四人间，8间六人间；②4间四人间，6间六人间；③7间四人间，4间六人间；④10间四人间，2间六人间；⑤13间四人间．

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