资源简介

10.2　消元——解二元一次方程组
10．2.1　代入消元法
第1课时　用代入消元法解简单的二元一次方程组
教学目标
课题 第1课时　用代入消元法解简单的二元一次方程组 授课人
素养目标 1.了解解二元一次方程组的“消元”思想，体会学习数学中的“化未知为已知”，“化复杂为简单”的化归思想． 2．了解代入消元法的概念，掌握代入法的基本步骤． 3．会用代入消元法求简单的二元一次方程组的解.
教学重点 了解代入法的一般步骤，会用代入法解简单的二元一次方程组．
教学难点 对代入消元法解方程组的过程的理解.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾旧知，新课导入 【设计意图】 回顾上节课的内容，为引入新课做准备. 【回顾导入】 在上节课中，我们探究了教材P87的问题，通过设租用的大型采棉机的台数为x，小型采棉机的台数为y，结合问题中的相等关系，列出了二元一次方程组 之后我们又结合未知数的实际意义，通过逐一尝试的方法，找出了方程组的解． 很明显这种方法较为受限且求解过程比较烦琐，那有没有一种简单的方法解方程组呢？ 这节课我们继续研究怎样解二元一次方程组． 【教学建议】 教师直接列举不适合列表求公共解的实际问题，激发学生探究方程组其他解法的兴趣．
活动二：问题引入，自主探究 【设计意图】 将解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，引入将“二元”转化为“一元”的“消元”思想，总结出用代入消元法解二元一次方程组的步骤． 探究点　用代入法解简单的二元一次方程组 问题1　对于教材P87的租用大、小型采棉机问题，你能否列一元一次方程求解？ 设这个种棉大户租用了大型采棉机x台，则租用了小型采棉机(6－x)台． 根据题意，得2x＋(6－x)＝8.③ 解得x＝2. 则6－x＝4. 这个种棉大户租用了大型采棉机2台，小型采棉机4台． 问题2　对于教材P87的问题，采用不同的设未知数的方法，由问题中的相等关系，可以分别列出二元一次方程组和一元一次方程③.你能由所列出的二元一次方程组得到所列出的一元一次方程③吗？ 方程①可以写为y＝6－x，因为方程①②中的y都表示租用小型采棉机的台数，所以可以通过等量代换，把方程②中的y换为6－x，即可得到方程③.解方程③，得x＝2.把x＝2代入y＝6－x，得y＝4，从而得到这个方程组的解． 概念引入： 将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想． 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法． 例1　(教材P92例1)用代入法解方程组 　问题1　选择哪个方程进行变形会比较简便，为什么？ 选择方程①进行变形会比较简便，因为方程①中x，y的系数的绝对值都是1. 问题2　用含y的式子表示x，写出解答过程． 问题3　问题2中的方程③可以代入方程①吗？为什么？ 不能．把方程③代入方程①后，会得到不含未知数的恒等式3＝3，无法继续求解．方程③由方程①变形得到，不能代入原方程. 问题4　问题2中的y＝－1代入方程①或方程②，能求得x的值吗？ 能．代入方程①，②还需要进一步变形才能求得x的值，代入方程③更简便. 问题5　方程①能否用含x的式子表示y来求解？试试看. 能. 解：由①，得y＝x－3.③ 把③代入②，得3x－8(x－3)＝14.解这个方程，得x＝2. 把x＝2代入③，得y＝－1.所以这个方程组的解是 例2　(教材P92例2)用代入法解方程组 分析：方程②中y的系数是－1，用含x的式子表示y，再代入方程①，比较简便. 解：由②，得y＝2x－16.③ 把③代入①，得3x－5(2x－16)＝3. 解这个方程，得x＝11. 把x＝11代入③，得y＝6. 所以这个方程组的解是 【对应训练】 教材P93练习第1，2题. 【教学建议】 学生分组讨论合作完成问题，感悟探究过程中所蕴含的化归思想．教师适时予以提示或指导，最终引导学生得出代入消元法的概念． 【教学建议】 教师注意规范学生的解题格式，并强调二元一次方程组的解是一对，应写成的形式. 在用代入法解二元一次方程组时，若未知数的系数比较复杂，可将求得的解回代入方程组进行检验．
活动三：重点突破，提升探究 【设计意图】 将二元一次方程组的解与解二元一次方程组结合，加深对概念的理解，强化解方程组的方法的应用. 例3　已知是二元一次方程组的解，求m，n的值． 解：把代入原方程组中， 得到关于m，n的二元一次方程组 由②，得m＝2n－1.③ 把③代入①，得2(2n－1)＋n＝8.解这个方程，得n＝2. 把n＝2代入③，得m＝3. 所以这个方程组的解为 所以m的值为3，n的值为2. 【对应训练】 已知是二元一次方程组的解，求a－b的值. 解：把代入原方程组中， 得到关于a，b的二元一次方程组 解这个方程组，得 所以a－b＝2－3＝－1. 【教学建议】 学生独立思考完成，教师提醒学生，方程组的解必定满足方程组中每一个方程，故将方程组的解回代，即可得到关于其他字母的方程(组)．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.解二元一次方程组的基本思想是什么？ 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤是怎样的？ 3.用代入法解二元一次方程组时，有哪些技巧？(以变形和代入两方面为例) 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P99习题10.2第2(1)(2)，4，8题. 2.相应课时训练．
板书设计 第1课时　用代入消元法解简单的二元一次方程组 1.设租用的大型采棉机的台数为x，小型采棉机的台数为y，得 设租用的大型采棉机的台数为x，得2x＋(6－x)＝8.③ 2.基本思想：消元. 3.一般步骤：(1)变形，(2)代入，(3)求解，(4)回代，(5)写解.
教学反思 本节课从实际问题入手，让学生分别列一元一次方程和二元一次方程组解同一个问题，从而观察两种方法所列式子之间的区别与联系，引入代入消元法．经过练习，让学生自己总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤．
解题大招一　用代入法解简单的二元一次方程组
使用代入法解简单的二元一次方程组的几种技巧：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或－1)的方程，则选择系数为1(或－1)的方程进行变形比较简便；
③有时还可以用“整体代入法”消元解二元一次方程组(详见后面培优计划例2)．
例1　用代入法解下列方程组：
(1)　　(2)
解：(1)把①代入②，得2×2y＋y＝5.解这个方程，得y＝1.
把y＝1代入①，得x＝2.所以这个方程组的解是
(2)由②，得y＝5－3x.③
把③代入①，得3x＋2(5－3x)＝7.解这个方程，得x＝1.
把x＝1代入③，得y＝2.所以这个方程组的解是
解题大招二　用代入法解简单的二元一次方程组的实际应用
解答二元一次方程组的应用题时，找准相等关系，正确列出方程组是解题的关键．
例2　当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760 g．已知从2.5 t废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6 t废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克？
解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x g，白银y g.
根据题意，得解这个方程组，得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240 g，白银1 000 g.
培优点一　用代入法解二元一次方程组的纠错题
例1　判断方程组的解法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法．
解法1：由①，得y＝7－2x.③
把③代入①，得2x＋(7－2x)＝7.所以x可以为任意实数，从而y也为任意实数，所以这个方程组有无数组解．
解法2：由①，得y＝7－2x.③
把③代入②，得6x－7－2x＝17.解这个方程，得x＝6.把x＝6代入③，得y＝－5.所以这个方程组的解为
解：解法都不正确．正确的解法如下：
由①，得 y＝7－2x.③
把③代入②，得6x－(7－2x)＝17.解这个方程，得x＝3.
把x＝3代入③，得y＝1.所以这个方程组的解为
或由②，得y＝6x－17.③
把③代入①，得2x＋(6x－17)＝7.
解这个方程，得x＝3.把x＝3代入③，得y＝1.
所以这个方程组的解为
培优点二　用“整体代入法”解二元一次方程组
例2　阅读材料并解决问题．
小亮在解方程组时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫作“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①，得x－y＝1.③
把③代入②，得……
(1)请你替小亮补全完整的解题过程；
(2)请你用这种方法解方程组
解：(1)由①，得x－y＝1.③
把③代入②，得4×1－y＝5.解这个方程，得y＝－1.
把y＝－1代入③，得x＝0.所以这个方程组的解为
(2)由①，得3x－y＝2.③
把③代入②，得＋3y＝10.解这个方程，得y＝3.
把y＝3代入③，得x＝.所以这个方程组的解为

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