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*10.4　三元一次方程组的解法
第1课时　三元一次方程组的解法
教学目标
课题 第1课时　三元一次方程组的解法 授课人
素养目标 1.了解三元一次方程组的概念． 2．会运用“代入法”或“加减法”对三元一次方程组逐步消元，进而求解． 3．能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
教学重点 三元一次方程组的解法及“消元”思想．
教学难点 根据方程组的特点，选择合适的未知数和方法消元.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 【设计意图】 列举实际问题，为引入三元一次方程(组)做准备. 【情境导入】 (教材P107问题)请大家看下面这一问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？ 我们可以通过设元解一元一次方程或二元一次方程组，得到上面问题的答案为胜14场，平5场，负3场． 观察上述问题，我们发现：这道题中一共有三个未知量和三个相等关系．参考二元一次方程组，我们能否把这三个未知量都设出来，然后通过方程求出它们的值呢？ 今天我们将学习如何通过列三元一次方程组来解决此类问题． 【教学建议】 教师引导学生思考两种解法应如何设元和列方程(组)，不必写出解方程(组)的过程．
活动二：问题引入，自主探究 【设计意图】 结合解二元一次方程组的“消元”方法，探索三元一次方程组的解法． 探究点　三元一次方程组的有关概念及解法 问题1　对于“活动一”中的问题，请结合已知条件写出相等关系： ①胜的场数＋平的场数＋负的场数＝22； ②胜场积分＋平场积分＋负场积分＝47； ③胜的场数＝负的场数×4＋2. 问题2　设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.根据题意，可以得到哪三个方程？ x＋y＋z＝22，①　3x＋y＝47，②　x＝4z＋2.③ 问题3　大家知道，方程②③是二元一次方程，观察方程①，结合二元一次方程的定义，方程①有什么特点？ 方程①中含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1. 概念引入： 一个方程中含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作三元一次方程． 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成 概念引入： 一个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组． 　问题4　这个方程组能用代入法解吗？如果能，请写出解题过程．(请学生上台板演) 解：把③分别代入①②，得到关于y，z的二元一次方程组 解这个方程组，得 把z＝3代入③，得x＝14. 因此，这个三元一次方程组的解为 问题5　你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？ 解：可以用加减法解这个三元一次方程组．因为方程③中不含未知数y，故考虑通过方程①②消去y. ②－①，得2x－z＝25.④ ③与④组成方程组解这个方程组，得 把x＝14，z＝3代入①，得y＝5. 因此，原方程组的解为(方法不唯一) 归纳总结：解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样． 例　(教材P108例1)解三元一次方程组 问题1　观察方程组中的各个方程的未知数，你有什么发现？ 方程①中，不含未知数y；方程②和方程③中，三个未知数均含有． 问题2　根据上面的发现，你认为选择哪种方法解方程组较简便，请写出解答过程． 用加减法较简便． 解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④ ①与④组成方程组解这个方程组，得 把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，y＝. 因此，这个三元一次方程组的解为 问题3　你还有其他解法吗？试一试，并与上面的解法进行比较． 解：由①，得x＝.④ 把④分别代入②③，得到关于y，z的二元一次方程组 【对应训练】 1．下列是三元一次方程组的是（D） 2．解方程组 (1)若先消去x，得到关于y，z的方程组是 (2)若先消去y，得到关于x，z的方程组是 (3)若先消去z，得到关于x，y的方程组是(答案均不唯一) 3．教材P109练习． 【教学建议】 学生分组讨论合作完成问题，得出三元一次方程(组)的概念，类比二元一次方程组的解法，将三元一次方程组消元后求解，体会方程组解法的多样性．当三元一次方程组中有二元一次方程时，可将二元一次方程变形后代入(或直接代入)另两个方程，运用代入法消元；也可对另外两个方程运用加减法消去二元一次方程中不含的未知数．
活动三：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1．什么是三元一次方程组？解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？ 2．解三元一次方程组时有哪些需要注意的问题？如何消元可以使过程更简便？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P111习题10.4第1，2题． 2．相应课时训练．
板书设计 第1课时　三元一次方程组的解法 1．三元一次方程(组)的概念． 2．三元一次方程组的解法.
教学反思 　　本节课通过类比二元一次方程组的学习过程探究三元一次方程组，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯.
解题大招　解三元一次方程组
1．对三元一次方程组概念的理解要点：
①三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知数即可；②在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．
2．解三元一次方程组的要点：其解题基本思想是消元，即通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，进而再化为“一元”．消元是有技巧的，通常是缺某元就消某元．
如解方程组通过观察发现每个方程未知项的系数和相等，每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等．具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可先求和得到x＋y＋z＝12，再分别作差得出x＝3，y＝4，z＝5.该方法能较简洁地求出此类方程组的解．
再如解方程组通过观察发现此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，学生看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x∶y＝1∶2得y＝2x; 由x∶z＝1∶7得z＝7x.
例　解下列方程组：
解：(1)由①，得x＝z，y＝z.把x＝z，y＝z代入②，得2z＋z＋z＝36，z＝8.所以x＝4，y＝6.
因此，这个三元一次方程组的解为
(2)①＋②，得8x－z＝11.④
②＋③，得6x＋z＝3.⑤
④与⑤组成方程组解这个方程组，得
把x＝1，z＝－3代入③，得1＋y－2×(－3)＝5，y＝－2.因此，这个三元一次方程组的解为
培优点　不解方程组，求代数式的值
例　阅读下列材料，然后解答后面的问题．　
已知方程组求x＋y＋z的值．
解：将原方程组整理得得x＋3y＝7.③把③代入①，得x＋y＋z＝6.
仿照上述解法，已知方程组试求x＋2y－z的值．
解：由题意，将原方程组整理得
②×2，得－6(x＋2y－z)＋2(2x＋z)＝－2.③①－③，得8(x＋2y－z)＝24.所以x＋2y－z＝3.

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