资源简介

第八章 实数
8.1平方根
第1课时平方根
教学目标
课题 第1课时 平方根 授课人
素养目标 1.掌握平方根的概念.2.能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和平方运算之间的互逆关系.3.培养学生的探究能力和归纳问题的能力.
教学重点 平方根的概念和求数的平方根.
教学难点 求数的平方根.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：复习回顾，提出问题 【回顾导入】我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.如：22=4，52=25，72=49……反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？比如：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少呢？带着这个问题，让我们走入今天的学习吧. 【教学建议】带领学生回顾常见整数的平方运算，12，22，32，…，为后面的开方运算作准备.
设计意图
通过回顾平方运算，引入本节课学习.
活动二：问题引入，探究新知 探究点1 平方根的概念和计算（1）在前面，我们提到：“如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少呢？”请你回答这个问题.因为32=9，所以这个数可以是3；又因为(-3)2=9，所以这个数也可以是-3.（2）还可能是其他数吗？不可能是其他数.因为除3，-3以外，任何一个数的平方都不等于9.（3）填表：x21163649x±1±4±6±7 【教学建议】教师引导学生作答，使学生经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的概念的过程，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，培养学生用逆向思维
设计意图
通过阅读课本、填表，引出平方根的概念，并让学生体会根据平方的意义
教学步骤 师生活动
求出平方根. 概念引入：一般地，如果一个数x的平方等于α，即x2=α，那么这个数x叫作α的平方根或二次方根.例如3和-3是9的平方根.通常把3和-3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根.（4）求一个数的平方根的运算，叫作开平方.观察下图，你发现了什么？平方与开平方互为逆运算.（5）教材P40例1.【对应训练】教材P42练习第2题. 解决问题的习惯.求一个正数的平方根的过程一般分为两步：（1）找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个；（2）根据平方根的概念写出这个正数的平方根.
设计意图 探究点2 平方根的特征与表示方法让我们一起观察探究点1中的图，想一想：（1）1,4,9的平方根分别是多少？正数的平方根有什么特点？1，4，9的平方根分别是±1，±2，±3.正数有两个平方根，它们互为相反数.（2）0有几个平方根？各是多少？为什么？0只有一个平方根，是0.因为02=0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0.（3）-1,-4，-9有平方根吗？为什么？没有.正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方也是正数，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.概念引入：正数α的正的平方根记为“”，读作“根号α”，α叫作被开方数；正数α的负的平方根可以用“”表示，故正数α的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号α”.例如，表示9的平方根，=±3.特别地，0的平方根记为.（4）只有当α大于或等于0时，α有意义；而当α小于0时，α没有意义.为什么？因为只有正数和0有平方根，负数没有平方根.（5）教材P41例2. 【教学建议】教师提问，学生作答，由学生归纳出平方根的特征，教师总结、订正.解题时注意：已知一个数的两个平方根，根据两个平方根互为相反数列方程求解；如果题目只是叙述两个数均为一个数的平方根，则需要分相等和互为相反数两种情况进行讨论.
用“由特殊到一般”的数学思想归纳出平方根的特征.
教学步骤 师生活动
【对应训练】1.教材P41练习第1题.2.已知一个正数的两个平方根分别是2α-1和α-5，则α= 2 .3.如果3x-2和5x+6都是一个非负数的平方根，求这个非负数.解：①若3x-2和5x+6相同，则3x-2=5x+6，解得x=-4，此时3x-2=-14，（-14）2=196；②若3x-2和5x+6不同，则它们互为相反数，即3x-2+5x+6=0，解得x=-0.5，此时3x-2=-3.5，（-3.5）2=12.25.综上可知，这个非负数是196或12.25.
活动三：重点突破，提升探究 例 求下列各式中x的值：(1)3x2=48；(2)(x+1)2=4；(3)2(x-1)2-18=0.解:(1)原式可变形为x2=16.因为(±4)2=16，所以x=4或x=-4.(2)因为(±2)2=4，所以x+1=2或x+1=-2，所以x=1或x=-3.(3)原式可变形为(x-1)2=9.因为(±3)2=9，所以x-1=3或x-1=-3，所以x=4或x=-2. 【对应训练】教材P42练习第3课 【教学建议】求类似于a（mx+b）2-c=0中x的值时，一般将其变形，利用整体思想将mx+b作为一个整体，再利用平方根的意义转化为一元一次方程，从而求出x的值.
设计意图
拓展提升，进一步巩固学生对平方根概念的理解，并灵活应用于解方程中.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么叫作一个数的平方根？2.平方根具有哪些性质？3.平方根怎样表示？【知识结构】【作业布置】1.教材P46习题8.1第1,3（1）（3）,6题.2.相应课时训练.
板书设计 8.1 平方根第1课时 平方根1.平方根的概念.2.求一个非负数的平方根的运算——开平方.3.平方根的特征及其应用：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
教学反思 本节课通过一些实例让学生体会平方根的概念及其特征，渗透“具体—抽象—具体”的研究思路.结合学过的运算理解“开平方”的新运算，使学生的学习形成迁移.借助例题和课堂练习巩固新知，提高学生的学习能力.
解题大招 已知一个数的平方根求原数
已知一个数的平方根，求原数的方法：需要根据题目的叙述进行判断，当题目中有类似“A和B是一个正数的两个平方根”或“一个正数的平方根分别是A和B”这样的描述时，则根据平方根的性质知A+B=0，直接列出方程求未知数，再进一步求得原数；当题目中有类似“A和B是一个正数的平方根”这样的描述时，则除了A+B=0，还需考虑A=B的情况，需分别列方程求出未知数.
例1 若2m-4与3m-1是一个正数的两个平方根，则这个正数为（ B ）
A．1 B．4 C．±1 D．±4
解析：由题意可知2m-4+3m-1=0，所以m=1，所以2m-4=-2，所以这个正数为4.故选B.
例2 已知a-1和5-2a都是m的平方根，求a与m的值.
解：根据题意，分以下两种情况：
①当a-1与5-2a是同一个平方根时，a-1=5-2a，解得a=2.此时m=（2-1）2=1；
②当a-1与5-2a是两个平方根时，a-1+5-2a=0，解得a=4.此时m=(4-1)2=9.
综上所述，a=2，m=1或a=4，m=9.
培优点 利用平方根的相关性质解题
例 已知a，b，c满足，c的平方根等于它本身,求的平方根.
解：因为-(a-3)2≥0，所以a=3.
把a=3代入，得b=4.因为c的平方根等于它本身，所以c=0.
所以，所以的平方根为.

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