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第九章　平面直角坐标系
9．1　用坐标描述平面内点的位置
9．1.1　平面直角坐标系的概念
教学目标
课题 9.1.1　平面直角坐标系的概念 授课人
素养目标 认识平面直角坐标系、原点、横轴、纵轴和象限. 能正确画出平面直角坐标系，经历由点写出坐标、由坐标描点，体会数形结合思想.
教学重点 正确认识平面直角坐标系，会准确地由点写出坐标、由坐标描点．
教学难点 平面内点的坐标的有序性.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 【设计意图】 提出问题引导学生回顾旧知，为引入平面直角坐标系做铺垫. 【问题引入】 (1)生活中如何确定一个具体位置？如图是一个小组进行表演训练的模拟情形，有一个人的动作不规范，你能表示出他的位置吗？ 可用小学学过的有序数对确定．这个人位于第2行第3列，若把行数、列数编号，可用有序数对记为(2，3)． (2)什么是数轴？ 规定了原点、正方向、单位长度的直线就构成了数轴． (3)如图，数轴上的点A表示数1.反过来，数1就是点A的位置．我们说数1是点A在数轴上的坐标．同理可知，点B在数轴上的坐标是－3；点C在数轴上的坐标是2.5；点D在数轴上的坐标是0. (4)数轴上的点与实数之间存在着一一对应的关系． 【教学建议】 学生回忆并作答，为本课的学习提供迁移或类比方法．
活动二：交流合作，探究新知 【设计意图】 通过与数轴类比的实例进行引入，在此基础上抽象出平面直角坐标系的概念． 探究点1　平面直角坐标系 问题1　(教材P64思考)类似于上面利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢(请以图①中的点A为例说明) 如图①，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 　 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．如图②，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上, 的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3，4)就叫作点A的坐标，记作A(3，4). 问题2　结合图②和上面的知识，请你写出B，C，D，E的坐标. B(－3，－4)，C(0，2)，D(0，－3)，E(－2，0). 【对应训练】 1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是（D） 2.教材P66练习第1题. 【教学建议】 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流，教师最后进行总结并引入平面直角坐标系的概念．注意引导学生学会利用有序数对表示出点的坐标．通过与数轴类比可以更好地理解点与坐标的对应关系，从而实现一维到二维的过渡．注意强调平面直角坐标系的画法规则．
【设计意图】 使学生进一步了解平面直角坐标系，加深理解. 探究点2　平面直角坐标系中的点的坐标特征 问题1　(教材P65思考)原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？ 原点O的坐标为(0，0)；x轴上的点的纵坐标为0，例如(1，0)，(－1，0)，…；y轴上的点的横坐标为0，例如(0，1)，(0，－1)，….如图①，A(3，0)，B(－2，0)，C(0，2)，D(0，－3)． 　　　 概念引入： 建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分(如图②)，每个部分称为象限，它们分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限． 问题2　各部分及坐标轴上的点的坐标有什么特点？ 注意：坐标轴上的点不属于任何象限． 例1　(教材P65例1)在平面直角坐标系中描出下列各点： A(4，5)，B(－2，3)，C(－2.5，－2)，D(4，－2)，E(0，－4)． 【教学建议】 教师引导学生思考，对于回答不完善的地方予以补充，注意引导学生学会画出用坐标表示的点的位置，对于各象限的点的坐标特点有清晰的了解．注意强调表示坐标时横、纵坐标顺序不可颠倒，及位于坐标轴上的点不属于任何象限．
解：如图①，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A. 类似地，可在图中描出点B，C，D，E. 归纳总结：如图②，类比数轴上的点与实数是一一对应的，对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一个有序实数对(x，y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应．也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．这样，利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置. 拓展：平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离：点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离是该点横坐标的绝对值. 【对应训练】 教材P66练习第2，3题.
活动三：重点突破，巩固提升 【设计意图】 针对平面直角坐标系中的点的坐标特征出题，加深学生对于概念的理解和相应的运用能力. 例2　已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是（B） A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(1，2) 例3　(1)如果点M(－5，2＋b)在x轴上，那么b＝－2. (2)如果点N(a－3，2a)在y轴上，那么点N的坐标是(0，6)． (3)平面直角坐标系中有点M(a，b)． ①当a＞0，b＜0时，点M位于第几象限？ ②当ab＞0时，点M位于第几象限？ ③当a为任意有理数，且b＜0时，点M位于第几象限？ 解：①点M位于第四象限；②点M位于第一象限(a＞0，b＞0)或者第三象限(a＜0，b＜0)；③点M位于第三象限(a＜0，b＜0)或者第四象限(a＞0，b＜0)或者y轴负半轴上． 【对应训练】 若点P(m，m－4)到x轴的距离为a，到y轴的距离为b. (1)当m＝3时，a＋b＝4； (2)若a＋b＝10，求出点P的坐标； (3)若点P在第三象限，且3a＋kb＝12(k为常数)，求出k的值． 解：(2)因为a＋b＝10，所以|m|＋|m－4|＝10. ①当m＜0时，－m－m＋4＝10，解得m＝－3，所以P(－3，－7)； ②当0≤m≤4时，m－m＋4＝10，无解 ，舍去； ③当m>4时，m＋m－4＝10，解得m＝7，所以P(7，3)． 综上所述，点P的坐标为(－3，－7)或(7，3)． (3)因为点P在第三象限，所以m＜0，m－4＜0， 所以a＝|m－4|＝4－m，b＝|m|＝－m. 因为3a＋kb＝12，所以3(4－m)－km＝12，所以－3m－km＝0，所以k＝－3. 【教学建议】 当题目涉及平面直角坐标系的各个象限内的点的符号特征时，注意不要混淆正负号，如例3中ab>0可得同正或同负，注意不要漏掉后一种情况．而根据点到坐标轴的距离解题时，若不确定点所在的象限，则绝对值符号不可省略，于是不可忽视分类讨论．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是平面直角坐标系？平面直角坐标系中的点具有哪些坐标特征？ 2.在坐标平面内如何求一个点的坐标？已知点的坐标，如何在坐标平面内描出这个点？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P69习题9.1第1，3，4，5，8题. 2.相应课时训练．、
板书设计 9.1.1　平面直角坐标系的概念 1.构成：在平面内由两条互相垂直、原点重合的数轴构成，通常横轴向右为正方向，纵轴向上为正方向. 2.平面直角坐标系中点的坐标特征 3.由点写出坐标 由坐标描点．
教学反思 　　本节课通过类比数轴表示点的方法，让学生认识平面直角坐标系，在概念及由点确定坐标的基础上，进一步探究了点的坐标特点．本节课主要以问题为载体，概念方面不要死记硬背，要留给学生充足的探索思考时间，自己描点寻找规律，让学生大胆发言，总结规律，从而提高学生的“数感”，充分体现新课标提出的“以学生为主体”的教学理念.
解题大招　对平面直角坐标系中点的坐标的概念的理解
平面直角坐标系内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫作点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a，b)叫作点P的坐标，记作P(a，b)，如图．
我们可以这么理解：
(1)表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开．
(2)点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离．
(3)对于坐标平面内任意一点都有唯一的一个有序数对(x，y)和它对应；反过来，对于任意一个有序数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点和它对应．也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
例　(1)若点(5－a，a－3)在第一、第三象限的角平分线上，求a的值；
(2)点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，求点P的坐标．
分析：(1)第一、第三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等；
(2)这样的点P有多个．
　　解：(1)因为点(5－a，a－3)在第一、第三象限的角平分线上，所以5－a＝a－3，所以a＝4.
(2)设点P的坐标为(x，y)，由已知条件得|y|＝3，|x|＝4，所以y＝±3，x＝±4，
所以点P的坐标为(4，3)或(－4，3)或(4，－3)或(－4，－3)．
培优点一　平面直角坐标系中点的坐标运动规律
例1　如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，则第2 025次运动到点B
A．(2 025，0)　　B．(2 025，1)　　C．(2 025，2)　　D．(2 024，0)
解析：由题意可知，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，2)，第4次运动到点(4，0)，第5次运动到点(5，1)，第6次运动到点(6，0)……第4n次运动到点(4n，0)，第(4n＋1)次运动到点(4n＋1，1)，第(4n＋2)次运动到点(4n＋2，0)，第(4n＋3)次运动到点(4n＋3，2)．因为2 025÷4＝506……1，所以第2 025次运动到点(2 025，1)．故选B.
培优点二　平面直角坐标系中的动点问题
例2　如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(a，0)，点C的坐标为(0，b)，且a，b满足＋|b－6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动(回到点O时停止移动)．
(1)求点B的坐标；
(2)当点P移动4 s时，请求出点P的坐标；
(3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
分析：(1)利用非负数的性质可以求得a，b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；
(2)由点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，可以得到当点P移动4 s时点P的大概位置，从而得到点P的坐标；
(3)由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．
解：(1)因为a，b满足＋|b－6|＝0，所以a－4＝0，b－6＝0，所以a＝4，b＝6，所以点B的坐标是(4，6)．
(2)因为点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动4 s，
所以点P移动的路程为2×4＝8.
因为OA＝4，AB＝OC＝6，
所以当点P移动4 s时，在线段AB上，AP＝8－4＝4.
所以当点P移动4 s时，此时点P的坐标是(4，4)．
(3)由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况：
①当点P在AB上时，
点P移动的时间是(4＋5)÷2＝4.5(s)；
②当点P在OC上时，
点P移动的时间是[2×(4＋6)－5]÷2＝7.5(s)．
综上所述，当点P移动到距离 x轴5个单位长度时，点P移动的时间是4.5 s或7.5 s.

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