资源简介

9.2.2　用坐标表示平移
第1课时　用坐标的变化表示平移
教学目标
课题 第1课时　用坐标的变化表示平移 授课人
素养目标 1.掌握图形平移与坐标变化的关系，能利用点的平移规律将平面图形进行平移． 2．能根据图形平移方式，写出平移后(前)对应点的坐标.
教学重点 掌握图形平移与坐标变化的关系．
教学难点 根据图形平移探究坐标变化规律的过程.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新知引入 【设计意图】 将平移变换融入情境中，启发学生思考. 【情境导入】 如图，三架飞机P，Q，R保持编队飞行，它们的坐标分别是(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1).30 s后，飞机P飞到P′位置，则飞机Q，R飞到了什么位置？你能写出这三架飞机新位置的坐标吗？ 同学们，想知道如何解答上述问题吗？让我们带着疑问赶快进入本节课的学习吧！ 【教学建议】 以多媒体呈现动态视频为最佳，让学生感悟平移，调动积极性，为后续的探究学习打下基础．
活动二：问题引入，探究新知 【设计意图】 自主探究，交流总结出点的平移坐标变化规律． 【设计意图】 由点的平移规律进而探索图形的平移规律，由浅入深，由易到难. 探究点1　平面直角坐标系中点的平移规律 如图，在平面直角坐标系中有A，B，C三点，请你分别将这三点向左、向右、向上、向下平移，观察它们的坐标是否按一定的规律变化呢？ (1)如图①，将图中各点向左平移2个单位长度，观察它们的坐标的变化．　　 A(－2，－1)―→A1(－4，－1) B(－4，2)―→B1(－6，2) C(2，1)―→C1(0，1) 归纳 (x，y)(x－a，y) (2)如图②，将图中各点向右平移5个单位长度，观察它们的坐标的变化． 　　 A(－2，－1)―→A1(3，－1) B(－4，2)―→B1(1，2) C(2，1)―→C1(7，1) 归纳 (x，y)(x＋a，y) (3)如图③，将图中各点向上平移4个单位长度，观察它们的坐标的变化． 　　　 A(－2，－1)―→A1(－2，3) B(－4，2)―→B1(－4，6) C(2，1)―→C1(2，5) 归纳 (x，y)(x，y＋b) (4)如图④，将图中各点向下平移2个单位长度，观察它们的坐标的变化． 　　 A(－2，－1)―→A1(－2，－3) B(－4，2)―→B1(－4，0) C(2，1)―→C1(2，－1) 归纳 (x，y)(x，y－b) 归纳总结：一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)(或(x－a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)(或(x，y－b))． 【对应训练】 在平面直角坐标系中，把点P(－3，2)向右平移2个单位长度后，得到的对应点的坐标是（D） A.(－5，2) B．(－1，4) C．(－3，4) D．(－1，2) 2.在平面直角坐标系中，把点P(2，1)向下平移3个单位长度，所得的点位于(D) A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，已知点M(3a－9，1－a)，若把点M向上平移6个单位长度后落在了x轴上，则a＝7； 4．若点A向下平移3个单位长度得到点A′(－4，－2)，则点A的坐标为(－4，1). 【教学建议】 学生动手实践，独立思考，相互交流，通过自主探索获得知识和技能，掌握数形结合的数学思想方法．关键指出：①看清平移的方向，它决定是改变横坐标还是纵坐标，并决定是加还是减；②看清平移的距离，它决定坐标改变的数量． 【教学建议】 对应的练习使学生掌握点的平移坐标变化规律，并培养一定的逆向思维.
探究点2　平面直角坐标系中图形的平移规律 (教材P75探究)如图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A(－2，4)，B(－2，3)，C(－1，3)，D(－1，4)，将正方形ABCD先向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应地变为点E，F，G，H，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和前面得到的正方形位置相同吗？ 点E，F，G，H的坐标分别是(6，－3)，(6，－4)，(7，－4)，(7，－3)．如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和前面得到的正方形位置相同． 归纳总结：一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到． 例1　(教材P76例2)(1)如图，长方形A′B′C′D′可以由长方形ABCD经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ (2)点P(－3，1)是长方形ABCD上一点，写出点P的对应点P′的坐标． 解：(1)将长方形ABCD先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到长方形A′B′C′D′.把长方形ABCD各个点的横坐标都加3，纵坐标都加2，就得到了它们在长方形A′B′C′D′上对应点的坐标． (2)由于点P是长方形ABCD上一点，将点P的横坐标加3，纵坐标加2，就得到对应点P′的坐标(0，3)． 【对应训练】 教材P76练习第1，2题．, 【教学建议】 学生自主探究图形的平移，可以两次平移，也可以一次平移，理解平移结果的一致性．教师着重强调：图形的平移实质上就是图形上所有点的平移；根据平移的方向和距离确定数的符号时不要出错．
活动三：综合演练，巩固提升 【设计意图】 综合考查图形的平移规律，要求根据平移画出图形并写出对应点的坐标，以及计算图形面积，巩固本课时所学. 例2　如图，在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(2，－1)，B(1，－2)，C(3，－3)． (1)将三角形ABC先向上平移4个单位长度，再向左平移5个单位长度得到三角形A1B1C1，请画出三角形A1B1C1； (2)写出点A1，B1，C1的坐标； (3)求出三角形A1B1C1的面积． 解：(1)如图所示． (2)A1(－3，3)，B1(－4，2)，C1(－2，1)． (3)S三角形A1B1C1＝2×2－×1×1－2××1×2＝1.5. 【对应训练】 如图，三角形A′B′C′的顶点坐标分别是A′(3，1)，B′(0，－4)，C′(5，－2)，已知三角形A′B′C′是由三角形ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的． (1)画出三角形ABC，并直接写出点C的坐标； (2)若三角形ABC内有一点P(a，b)经过以上平移后的对应点为P′，直接写出点P′的坐标； (3)求三角形ABC的面积． 解：(1)如图所示，C(1，1)． (2)P′(a＋4，b－3)． (3)S三角形ABC＝5×5－×3×5－×2×3－×5×2＝9.5. 【教学建议】 三角形是较为基础的几何图形，也是初中阶段研究最多的，在解决关于三角形的平移问题时，往往借助于网格，这样可以根据平移的距离，通过数方格的形式快速得到对应点的坐标，从而直观作出图形．同时也可能涉及一些面积计算，大多时候需要利用前面学到的“割补法”来求解．
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练． 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1．点沿坐标轴方向平移后坐标的变化规律是什么？ 2．将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到吗？ 【知识结构】 【作业布置】 1．教材P79习题9.2第1，4，5，9，11题． 2．相应课时训练．
板书设计 第1课时　用坐标的变化表示平移 1．点的平移的坐标变化规律： 2．将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到． 3．图形的平移实质上就是图形内所有点的平移． 4．已知点的坐标和平移形式，可以得到平移后(前)对应点的坐标.
教学反思 　　通过本节课的学习，学生经历图形平移与图形坐标变化之间的关系的探索过程．结合第七章所学的平移知识，认清图形平移的实质是点的平移，由平移前后点的坐标变化即可确定平移前后图形中任意一组对应点的坐标变化.
解题大招一　用坐标表示平移变换的归纳
已知一个点的坐标，如果知道它的平移方向和平移距离，就能得到它平移后的坐标；因为图形上各点平移方式一致，所以只要知道平移前后一个点的坐标，其对应点的坐标就迎刃而解了．
例1　把三角形ABC放在平面直角坐标系中如图所示，现将三角形ABC向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到三角形A1B1C1.
(1)在图中画出三角形A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
(2)点P在x轴上，且三角形PAC与三角形ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
解：(1)如图所示，A1(4，4)，B1(1，2)，C1(4，－2)．
(2)点P的坐标为(－2，0)或(4，0)．
解题大招二　平移平面直角坐标系后点的坐标变化
平面直角坐标系的平移可转化为点的平移，点的平移方向与平面直角坐标系的平移方向相反，平移距离相等．
如图，在平面直角坐标系xO1y中，点A的坐标为(1，1)．如果将x轴向上平移3个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，两坐标轴交于点O2，点A的位置不变，那么在平面直角坐标系xO2y中，点A的坐标是（B）
A．(－3，2)
B．(3，－2)
C．(－2，－3)
D．(3，4)
分析：
解析：由题意，可将点A看作先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，故在平面直角坐标系xO2y中，点A的坐标是(3，－2)．故选B.
培优点　线段平移中的角度数量关系探究
例　综合与实践．
【问题背景】
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，5)，点B的坐标为(0，1)，点C的坐标为(4，5)，将线段AB沿AC方向平移，得到线段CD，平移距离为线段AC的长度．
【动手操作】
(1)画出线段CD，直接写出点B的对应点D的坐标；
【探究证明】
(2)连接BD，试探究∠BAC与∠BDC的数量关系，并证明你的结论；
【拓展延伸】
(3)若点E在线段BD上，连接AD，AE，且满足∠EAD＝∠CAD，请求出∠ADB∶∠AEB的值．
分析：(1)利用点A，C的坐标确定平移的方向与距离，从而得到点D的坐标；
(2)利用平移的性质得到AB∥CD，AC∥BD，再根据平行线的性质得∠ABD＋∠BDC＝180°，∠BAC＋∠ABD＝180°，所以∠BAC＝∠BDC；
(3)先由AC∥BD得到∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE，再由∠EAD＝∠CAD，利用等量代换可确定∠AEB＝2∠ADB.
解：(1)如图，线段CD即为所求．
点D的坐标为(7，1)．
(2)如图．∠BAC＝∠BDC.证明如下：
由平移知AB∥CD，AC∥BD，
所以∠ABD＋∠BDC＝180°，∠BAC＋∠ABD＝180°，
所以∠BAC＝∠BDC.
(3)如图．
因为AC∥BD，
所以∠CAD＝∠ADB，∠AEB＝∠CAE.
因为∠EAD＝∠CAD，
所以∠CAE＝2∠CAD，
所以∠AEB＝2∠ADB，即∠ADB∶∠AEB＝.

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