资源简介

第2课时 算术平方根
教学目标
课题 第2课时 算术平方根 授课人
素养目标 1.了解算术平方根的概念及其非负性.2.能用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.3.体验无限不循环小数的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数.
教学重点 算术平方根的概念、用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.
教学难点 用夹逼法估算一个无限不循环小数的大小.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新知导入 【情境导入】如图，一个正方形的边长为a.如果它的面积为3，那么a究竟是多少呢？根据正方形的面积公式，a2=3.再根据上节课学方根的概念，由a2=3，可得a=.但一个正方形的边长不可能是负数，所以a=.在实际生活中，我们很多时候需要求解的都是一个数的正的平方根.此外，究竟有多大呢？这就是我们今天要学习的内容. 【教学建议】引导学生体会是一个有着确定大小的数，再让学生猜测它的大致范围.
设计意图
借助实例让学生感受算术平方根的产生是实际生活的需要，也是数学运算的需要.
活动二：问题引入，自主探究 探究点1 算术平方根的概念与求算术平方根概念引入：我们知道，正数a有两个平方根,其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示.规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为.例1 （教材P42例3）求下列各数的算术平方根:(1)100； (2) ； (3)0.0001.解：(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即=10； 【教学建议】可给学生总结算术平方根的双重非负性:对于，（1）要使有意义，则a≥0（“≥”读作“大于或等于”，后同）；
设计意图
引入算术平方根的概念,进一步巩固开平方运算的能力.
教学步骤 师生活动
(2)因为=，所以的算术平方根是，即=；(3)因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即=0.01.从例1可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根就越大 .这个结论对所有正数都成立，即若a>b>0，则 > . 【对应训练】教材P43练习第1，2题. （2）根据算术平方根本身的概念，可知≥0.
设计意图 探究点2 通过夹逼法估算无限不循环小数的大小——估算的大小1.教材P42探究.2.（教材P43探究）通过夹逼法估算的大小，先定大范围，然后逐步缩小：用夹逼法估算的大小方法（对两个连续整数或小数用平方法逐步进行比较）步骤通过估算，确定在哪两个连续的整数之间因为12=1，22=4，所以1＜＜2通过估算，确定在哪两个连续的一位小数之间因为1.42=1.96，1.52=2.25，所以1.4＜＜1.5通过估算，确定在哪两个连续的两位小数之间因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以1.41＜＜1.42通过估算，确定在哪两个连续的三位小数之间因为1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以1.414＜＜1.415…………通过上述步骤，可以得到更精确的近似值，请问从中你发现了什么问题吗？无法得到的准确值，只能得到近似值.概念引入：事实上，=1.414213562373…，它是一个无限不循环小数(无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数). 【教学建议】培养学生的估算能力，感受“夹逼法”，发展抽象思维，了解无限不循环小数的特征.在学生熟悉教材以后，可以试着让学生模仿教材估计或等无限不循环小数的近似值，不仅渗透类比思想，还能培养学生学以致用的能力.
引入无限不循环小数的概念，引导学生经历“夹逼法”估算无限不循环小数的过程.
教学步骤 师生活动
实际上，很多正有理数的算术平方根(例如，，等)都是无限不循环小数.问题：你以前见过无限不循环小数吗？请举例说明.见过.如π（圆周率）.【对应训练】1.估计的值在（ B ）A.2和3之间 B.3和4之间C.4和5之间 D.5和6之间2.已知a，b是两个连续整数，且a<活动三：综合训练，提升探究 例2 已知与互为相反数，求ab的算术平方根.解：根据题意，得1-3a=0，b-108=0，所以a=，b=108，所以ab=×108=36.因为62=36，所以ab的算术平方根是6.【对应训练】若|x+1|+=0，求2y+x的算术平方根.解：由|x+1|+=0，可知x+1=0，y-8=0，所以x=-1，y=8，所以2y+x=2×8+(-1)=15.故2y+x的算术平方根是. 【教学建议】学生自主探究，对此类算术平方根综合其非负性类型题目进行练习巩固，加深理解，这也有利于为以后学习二次根式的性质打下坚实的基础.
设计意图
巩固加深对于算术平方根及其非负性的理解.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是算术平方根？什么是算术平方根的双重非负性？2.怎样求一个数的算术平方根的近似值？3.什么是无限不循环小数？【知识结构】【作业布置】1.教材P46习题8.1第2，3（2）（4），7，10题.2.相应课时训练.
板书设计 第2课时 算术平方根1.算术平方根的概念.2.算术平方根的“双重非负性”.
教学反思 本节课先介绍算术平方根的概念，并总结算术平方根的双重非负性，然后和学生一起探究用夹逼法估算一个数的算术平方根的近似值的方法，让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新问题，让学生体会研究数学问题的新方法.
解题大招 算术平方根相关性质的综合运用
算术平方根的性质归纳：
1 算术平方根的双重非负性：算术平方根本身是非负数，算术平方根的被开方数也是非负数.
拓展：非负性的应用：几个非负数的和等于0，则这几个非负数均等于0.即若，则a=b=…=m=0.
2 一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身.即=a.
3 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，再根据这个数的正负去绝对值符
号.即=.
例1 的算术平方根是（ B ）
A．9 B．3 C．±9 D．±3
解析：因为=9，9的算术平方根为3，所以的算术平方根是3.故选B.
例2 若，则x+2y的值为（ A ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
解析：因为，所以x-1=0，x+y=0，所以x=1,y=-1,所以x+2y=-1.故选A.
例3 计算：= 3 ，= 0.7 ，= 0 ，= 6 ，=.
(1)根据计算结果，回答一定等于a吗 你发现其中的规律了吗 请你用自己的语言描述出来.
(2)利用你总结的规律，计算：.
解：(1)不一定等于a, =.(2)原式=|3.14-π|=π-3.14.
培优点 算术平方根在正方形拼图中的应用
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