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第01讲 二次根式
知识点一.二次根式的定义
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
知识点二.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
考点一：二次根式的基本概念
例1．下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式．
根据二次根式的定义判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式，
∴A、B、D不符合要求；C符合要求；
故选：C．
【变式1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可．
【详解】解：①当时，不是二次根式；
②当时，不是二次根式；
③是二次根式；
④当时，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式．
故选B．
【变式1-2】下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序号）
【答案】②④/④②
【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】①，故不是二次根式；
②，故是二次根式；
③的根指数是3，故不是二次根式；
④由于，因此，故是二次根式；
故答案为：②④．
【变式1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．是二次根式的为 ．
【答案】①②⑥
【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可
【详解】解：①是二次根式，符合题意；
②是二次根式，符合题意；
③当时，不是二次根式，不符合题意；
④不是二次根式，不符合题意；
⑤不是二次根式，不符合题意；
⑥二次根式，符合题意；
故答案为：①②⑥．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，熟知二次根式的定义是解题的关键：一般地，形如的式子叫做二次根式．
【变式1-4】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
，，，，，，，，（）．
【答案】、、、、（）是二次根式，、、、不是二次根式．
【分析】根据二次根式的概念即可逐一判定.
【详解】解：根据二次根式的概念，可知、、、、（）是二次根式，其中、的根指数分别为3、4，不是二次根式；、是分式，不是二次根式．
【点睛】此题主要考查二次根式的概念，解题的关键是被开方数为非负数.
考点二：求二次根式的值
例2.已知二次根式，当时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】把代入进行计算即可．
【详解】解：当时，，
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的值，熟练代入并求值是解本题的关键．
【变式2-1】当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：当时，，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键．
【变式2-2】当时，二次根式的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查二次根式求值，准确计算是解题的关键．将代入二次根式求值即可．
【详解】解：当时，二次根式．
故答案为：3．
【变式2-3】当时，二次根式的值为 ．
【答案】1
【分析】直接把代入中进行求解即可．
【详解】解：把代入中得：，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，求算术平方根，正确计算是解题的关键．
【变式2-4】已知二次根式.
（1）求x的取值范围；
（2）求当x=-2时，二次根式的值；
（3）若二次根式的值为零，求x的值.
【答案】（1）x≤6 （2）2 （3）x=6
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，即可求解；
（2）直接把x= -2代入，进而求出答案；
（3）由0的算术平方根是0可得，=0，解方程即可求x的值.
【详解】（1）根据二次根式有意义的条件可得
，
解得x ，
∴x的取值范围是：x；
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（2）当x= -2时，二次根式===2；
（3）由题意可得
=0，
解得x=6 .
故答案为（1）x≤6 （2）2 （3）x=6 .
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简.
考点三：求二次根式中的参数
例3.已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【答案】B
【分析】是整数则一定是一个完全平方数，把3分解因数即可确定．
【详解】解：，而是整数，
的最小值是3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
【变式3-1】已知是正整数，是整数，则的值可以是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【分析】将选项代入逐一验证即可．
【详解】A. 当时，，不是整数，故该选项错误；
B. 当时，，不是整数，故该选项错误；
C. 当时，，不是整数，故该选项错误；
D. 当时，，是整数，故该选项正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【变式3-2】若是一个整数，则最小正整数的值是 ．
【答案】6
【分析】先将化简为最简二次根式，再取的最小正整数值，使被开方数开得尽．
【详解】解：，
当，6，时，都可以开方，
是最小正整数，
时，被开方数开得尽，结果为整数，故．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握．
【变式3-3】如果是一个整数，那么最小正整数 ．
【答案】2
【分析】根据二次根式的定义，可得答案．
【详解】解：由二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的性质是解题关键．
【变式3-4】（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；
（2）已知是整数，求正整数的最小值．
【答案】（1）自然数的值为，，，，；（2）正整数的最小值为．
【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；
（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．
【详解】（1）∵是整数，
∴，，，，，
解得：，，，，，
则自然数的值为2，9，14，17，18；
（2）∵是整数，为正整数，
∴正整数的最小值为．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解本题的关键．
考点四：二次根式有意义的条件（直接问题）
例4.若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据在实数范围内有意义，得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键．
【详解】解：在实数范围内有意义，
，解得，
故选：B．
【变式4-1】若代数式有意义．则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式和分式有意义的条件可得，再求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故选：B．
【变式4-2】有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴且，
解得．
故答案为：．
【变式4-3】在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式有意义的条件、零指数幂的概念是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件、分母不为、零指数幂的概念列出不等式，解不等式，得到答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，且，
故答案为：且．
【变式4-4】求下列函数中自变量的取值范围：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)，且．
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌握函数自变量的范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．
（1）当函数表达式的二次根式时，根据二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解；
（2）当函数表达式分母是分式，分子是二次根式时，根据分式的分母不能为0，二次根式被开方数为非负数列不等式，即可求解，
【详解】（1）解：，
，
解得：
自变量的取值范围为；
（2）解：，
，，
解得：，，
自变量的取值范围为，且．
考点五：二次根式有意义的条件（间接问题）
例5.若有意义，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列式进行计算即可求出的值．
【详解】解：根据题意得，且，
解得且，
所以，．
故选：C．
【变式5-1】成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件可得出， 解一元一
次不等式即可得出答案．
【详解】解：根据题意可知：，
解得∶，
故选：B.
【变式5-2】如果，那么 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得、的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
，
解得，
，
故答案为：．
【变式5-3】若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得，的值．
【详解】解： 和有意义，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式5-4】已知：，求的值．
【答案】19
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，根据得到，求得y值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，，
∴．
考点六：二次根式的其他问题
例6.已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：B．
【变式6-1】若、、是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（　　）
A． B．
C． D．条件不足，无法计算
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的应用，关键是掌握二次根式有意义时，被开方数是非负数．由二次根式有意义时，被开方数是非负数，即可得到，在代入等式得，从而可以解决问题．
【详解】解：由题意得：，
，
等式变形为：，
，
，
．
故选：A．
【变式6-2】已知，则值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值性质的应用以及实数混合运算，由二次根式定义可知，，所以，故方程为，可得，代入即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴
∴，即
∴
∴
∴
故答案为：．
【变式6-3】已知，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，求解代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得，从而求得，进而解决此题．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式6-4】“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为．
(1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值；
(2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)她站在山巅能看到大海，理由见解析．
【分析】本题考查了代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．
（1）将，代入即可求解；
（2）先将，代入，得到此时的值，与最短距离比较即可求解．
【详解】（1）解：，，
，
所以此时的值为．
（2）解：能看到，理由如下
，，
，
所以她站在山巅能看到大海．第01讲 二次根式
知识点一.二次根式的定义
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
知识点二.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
考点一：二次根式的基本概念
例1．下列根式是二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-2】下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序号）
【变式1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．是二次根式的为 ．
【变式1-4】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
，，，，，，，，（）．
考点二：求二次根式的值
例2.已知二次根式，当时，此二次根式的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式2-1】当时，二次根式的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2-2】当时，二次根式的值是 ．
【变式2-3】当时，二次根式的值为 ．
【变式2-4】已知二次根式.
（1）求x的取值范围；
（2）求当x=-2时，二次根式的值；
（3）若二次根式的值为零，求x的值.
考点三：求二次根式中的参数
例3.已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【变式3-1】已知是正整数，是整数，则的值可以是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【变式3-2】若是一个整数，则最小正整数的值是 ．
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【变式3-3】如果是一个整数，那么最小正整数 ．
【变式3-4】（1）已知是整数，求自然数所有可能的值；
（2）已知是整数，求正整数的最小值．
考点四：二次根式有意义的条件（直接问题）
例4.若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】若代数式有意义．则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】有意义，则x的取值范围为 ．
【变式4-3】在函数中，自变量的取值范围是 ．
【变式4-4】求下列函数中自变量的取值范围：
(1)
(2)
考点五：二次根式有意义的条件（间接问题）
例5.若有意义，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
【变式5-1】成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】如果，那么 ．
【变式5-3】若，则的值是 ．
【变式5-4】已知：，求的值．
考点六：二次根式的其他问题
例6.已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】若、、是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（　　）
A． B．
C． D．条件不足，无法计算
【变式6-2】已知，则值等于 ．
【变式6-3】已知，则的值是 ．
【变式6-4】“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为．
(1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值；
(2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由．

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