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4.2 合并同类项
第四章 整式的加减
冀教版（2024）七年级上册
1.理解同类项的概念,会识别同类项，培养数学抽象能力.
2.结合具体情境,经历合并同类项的过程，理解并掌握合并同类项的概念和法则，能准确合并同类项.
3.类比数的运算探究合并同类项的方法，从中体会“数式通性”和类比思想.
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如何快速数出图中一共有多少元钱呢？
我们所学的单项式是否也可以分类呢？分类的标准又是什么呢？
样币
样币
操作
观察下面8个单项式：
2n， -a2， 4n， 10， xy2， -3xy2， 7a2， -31．
你能尝试给它们分类吗？
2n，4n
-a2，7a2
xy2，-3xy2
10，-31
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总结
在多项式中，我们把那些所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项.
2n，4n
-a2，7a2
xy2，-3xy2
10，-31
几个常数项也是同类项.
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操作
1.下列各组中的两项是不是同类项？请说明理由.
(1)ab与2ab;
(2)3ab与-ba;
(3)a2bc与ab2c；
(4)abm与abn；
(5)-8xy2与xy2；
(6)-0.5与9.
2.如果5x2y和-xmyn是同类项，则2m-5n= .
是，满足同类项定义.
是，满足同类项定义.
不是，相同字母的指数不相同.
是，所有的常数项都是同类项.
是，满足同类项定义.
不是，所含字母不相同.
-1
如何判断几个单项式是不是同类项呢？
两无关：与系数无关，与字母的排列顺序无关；
两相同：一是所含的字母相同，二是相同字母的指数要相同．
一所有：所有的常数项都是同类项．
小亮用Ⅰ型和Ⅱ型的积木搭成了下面两个不同形状的“桥”.
请同学们思考下列问题：
（1）两个桥共用积木多少块？
（2）你能用代数式表示“桥①”的体积吗？“桥②”的体积呢？
（3）你能用几种方法表示两个桥的体积之和？
请同学们思考下列问题：
（1）你能用代数式分别表示“桥①”和“桥②”的体积吗？
（2）你能用几种方法表示两个桥的体积之和？
操作
解：2种方法,方法1：两桥的体积之和为2a3＋a2b＋3a3＋2a2b；方法2：两桥的体积之和为5a3＋3a2b.
你能用代数式分别表示“桥①”和“桥②”的体积吗？
解：“桥①”的体积：2a3＋a2b, “桥②”的体积：3a3＋2a2b.
你能用几种方法表示两个桥的体积之和？
两桥的体积之和：2a3＋a2b＋3a3＋2a2b或5a3＋3a2b.
多项式2a3＋a2b＋3a3＋2a2b和多项式5a3＋3a2b有什么关系呢？
为什么？
2a3＋a2b＋3a3＋2a2b＝5a3＋3a2b
根据乘法对加法的分配律，可以得到
2a3＋3a3=(2＋3)a3 ，a2b＋2a2b=(1＋2)a2b.
所以2a3＋a2b＋3a3＋2a2b＝5a3＋3a2b.
思考下列问题：
2a3＋a2b＋3a3＋2a2b＝5a3＋3a2b
（1）在多项式中，具备什么条件的项可以合并？合并的依据是什么？
（2）合并前后的系数、次数，以及所含的字母有无变化？
解：(1)在多项式中，同类项可以合并，合并的依据是乘法对加法的分配律.
同类项
同类项
合并
合并
(2)在合并前后，系数有变化，所含字母和字母的指数没有变化.
总结
合并同类项:在多项式中，几个同类项可以合并成一项，这个合并的过
程，叫作合并同类项.
合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字
母的指数保持不变.
同类项
同类项
合并
合并
2a3＋a2b＋3a3＋2a2b＝5a3＋3a2b
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例1
合并同类项：
（1）4ab2-ab-6ab2；
解：4ab2-ab-6ab2
=(4-6)ab2-ab
= -2ab2-ab.
(2) 2x2y-5x2y+x2y+5xy2;
2x2y-5x2y+x2y+5xy2
=(2-5+)x2y+5xy2
=-x2y+5xy2.
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例1
合并同类项：
（3）3a2b－4ab2－4＋5a2b＋2ab2＋7.
解：3a2b－4ab2－4＋5a2b＋2ab2＋7
=(3a2b＋5a2b)＋(－4ab2＋2ab2)＋(－4＋7)
=(3＋5) a2b＋(－4＋2) ab2＋(－4＋7)
=8a2b－2ab2＋3.
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总结
合并同类项的步骤
三合：将同一括号内的同类项相加即可.
一找：找出多项式中的同类项；
二移：利用加法的运算律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；
练 习
1.判断下列合并同类项是否正确？若不正确，请说明理由.
(1)2a＋a＝5a；
(2)5y3－3y2＝2y；
(3)6ab－2ba－4ab＝0；
(4)4x2y－5xy2＝-x2y.
× 2a＋a＝3a.
× 不是同类项不能合并.
√
× 不是同类项不能合并.
练 习
解：多项式中的同类项为2x2与x2，-3y与-y.
=2x2-3y-5xy+7x2-y
=2x2+x2-3y-y-5xy +7
=（2+）x2+（-3-）y-5xy +7
=x2-y-5xy+7.
练 习
1.下列各组式子中，为同类项的是 (　　)
A.3x2y与-3xy2 B.3xy与-2yx C.63与2x3 D.5xy与5yz
2.请写出2xyz3 的三个同类项 、 、 .
3.如果7a2b3和ambn合并的结果是8a2b3，那么m= ,n＝ .
4.合并同类项：
(1)5x＋4x＝ ； (2)-7ab＋6ab＝ ；
(3)-5x-7x＝ ； (4)mn＋nm＝ .
B
2
3
9x
-ab
-12x
2mn
xyz3
3xyz3
-2xyz3 (答案不唯一)
练 习
5.合并同类项：
(1)4a＋2－7a＋8b－5； (2)5ab－a2＋2a2－7ab－6a2.
解：4a＋2－7a＋8b－5 5ab－a2＋2a2－7ab－6a2
＝(4a－7a)＋8b＋(2－5) ＝(5ab－7ab)＋(－a2＋2a2－6a2)
＝(4－7)a＋8b＋(2－5) ＝(5－7)ab＋(－1＋2－6)a2
＝－3a＋8b－3. ＝－2ab－5a2.
1.本节学习了哪些内容？
2.合并同类项的步骤是什么？第四章 整式的加减
4.2合并同类项
《合并同类项》是冀教版初中数学七年级上册第四章第二节的内容．本节课的是同类项的概念，合并同类项的法则及其应用．本节课是学生进入初中阶段后，在学习了用字母表示数，单项式、多项式以及有理数运算的基础上，对同类项进行合并、探索、研究的一个课题．合并同类项是本章的一个重点知识，其法则的应用是整式加减的基础，也是后面学习方程、不等式、以及建立函数模型的基础．在合并同类项的过程中，要不断运用数的运算，可以说合并同类项是有理数加减运算的延伸与拓展．因此本节课是一节承上启下的课.
《合并同类项》这一课时在学习了单项式、多项式、整式这些知识的基础上，再引伸出同类项、合并同类项的概念以及正确进行合并同类项的方法，非常符合学生的认知规律．同时这些概念和合并同类项方法又是我们以后学习整式加减和乘除法所必须具备的知识体系．七年级学生理性思维的发展还很有限，他们在身体发育、知识经验、心理品质方面，依然保留着天真活泼、对新生事物很感兴趣、求知欲望强、具有强烈的好奇心与求知欲，形象直观思维已比较成熟，但抽象思维能力还比较薄弱．因此，我们要营造轻松、和谐的课堂气氛，充分激活学生的探索欲望，让学生在教师创设的情境中充满好奇地学，留给学生足够的自主活动、相互交流的空间，让学生在观察中不断发现数学问题、在实践中领悟数学思想、在评价中逐步形成数学价值观．
1.理解同类项的概念,会识别同类项，培养数学抽象能力.
2. 结合具体情境,经历合并同类项的过程，理解并掌握合并同类项的概念和法则，能准确合并同类项.
3.类比数的运算探究合并同类项的方法，从中体会“数式通性”和类比思想.
重点：理解同类项的概念,会准确判断同类项，形成数学抽象能力.
难点：理解并掌握合并同类项法则，能准确合并同类项.
情境导入
课题引入：在上课前老师拿一把杂乱的钱,，如何快速数出图中一共有多少钱呢？
师生活动：请一位同学帮忙整理一下，尽量引起更多同学的注意．然后把同学整理好的钱币拿给大家看，让同学们观察整理钱币的方法——面值相同的放在一起，即：分类，提出疑问：我们所学的单项式是否也可以分类呢？分类的标准又是什么呢？
设计意图：从生活中的实例出发，设置一个小游戏，目的是激发学生学习兴趣的同时把生活中的分类思想转到数学中来．
一起探究 同类项
问题：观察下面8个单项式：
2n，－a2，4n，10，xy2，－3xy2，7a2，－31．
你能尝试给它们分类吗？
答案：按所含字母和相同字母的指数：2n和4n，－a2和7a2，xy2和－3xy2，10和－31．
（答案不唯一）
师生活动：先让学生独立思考，并说说分类的标准．需要注意的是学生的分类角度不同，可能得到不同的分类方法，要及时地肯定并适当地引导到以“所含字母和相同字母的指数”为标准的分类方法上来．
教师总结：
在多项式中，我们把那些所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．
几个常数项也是同类项．
设计意图： 学生通过自主探究、交流研讨活动，运用对比观察、类比、分析、交流、归纳概括等方法逐一解决问题，在问题解决的过程中来理解同类项,引出同类项的概念.
问题：1．下列各组中的两项是不是同类项？请说明理由．
（1）ab 与2ab； （2）3ab与－ba； （3）a2bc与ab2c；
（4）abm与abn； （5）－8xy2与xy2 ； （6）－0.5与9．
答案：（1）是，满足同类项定义；（2）是，满足同类项定义；（3）不是，相同字母的指数不相同；（4）不是，所含字母不相同；（5）是，满足同类项定义；（6）是，所有的常数项都是同类项.
如果5x2y和－xmyn是同类项，则2m－5n= ．
答案：-1
师生活动：学生先独立思考，再以小组形式汇报展示．
设计意图：强化练习，学生接受同类项概念不是很难，但是做到判断无误却是很难，需要通过练习，反复强调同类项判断标准，使学生通过分析、比较，逐步提高准确度和熟练度．
学生活动：小组讨论：如何判断几个单项式是不是同类项？
师生活动：学生先独立思考，再以小组形式汇报展示．
小结：（1）两无关：与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；
（2）两个相同：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同．
（3）一所有：所有的常数项也是同类项．
设计意图：让同学们以组为单位，通过讨论，交流得出判断同类项的关键条件，进一步巩固同类项的概念．
一起探究 合并同类项法则
问题：小亮用Ⅰ型和Ⅱ型的积木搭成了下面两个不同形状的“桥”．
师生活动：请同学们思考下列问题：
（1）你能用代数式分别表示“桥①”“桥②”的体积吗？
（2）你能用几种方法表示两个桥的体积之和？
问题（2）总结出两种表示方法：
①先表示每一个“桥”的体积，再相加：2a3＋a2b＋3a3＋2a2b
②分别计算两个“桥”中正方体、长方体的体积，再相加：5a3＋3a2b
答案：解：
（1）解：“桥①”的体积：2a3＋a2b, “桥②”的体积：3a3＋2a2b.
（2）解：2种方法,方法1：两桥的体积之和为2a3＋a2b＋3a3＋2a2b；
方法2：两桥的体积之和为5a3＋3a2b.
问题：多项式2a3＋a2b＋3a3＋2a2b和多项式5a3＋3a2b有什么关系呢？为什么？结合同类项的概念，发现同类项合并的规律．
解：2a3＋a2b＋3a3＋2a2b=5a3＋3a2b.
根据乘法对加法的分配律，可以得到
2a3＋3a3=(2＋3)a3 ，a2b＋2a2b=(1＋2)a2b.
所以2a3＋a2b＋3a3＋2a2b=5a3＋3a2b.
课件演示合并的过程
师让学生思考下列问题：
（1）在多项式中，具备什么条件的项可以合并？合并的依据是什么？
（2）合并前后的系数、次数，以及所含的字母有无变化？
解：(1)在多项式中，同类项可以合并，合并的依据是乘法对加法的分配律.
(2)在合并前后，系数有变化，所含字母和字母的指数没有变化.
师生共同总结：
（1）在多项式中，几个同类项可以合并成一项，这个合并的过程，叫作合并同类项．
（2）合并同类项法则：
在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．
师生活动：学生先独立思考，再以小组形式汇报展示．结合同类项的概念，发现同类项合并的规律．
设计意图：通过学生参与小组活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，结合同类项的概念，发现同类项合并的规律．通过利用代数式表示两个桥的体积之和，做出两种不同的方法，从而得出合并同类项的法则，既渗透了数形结合思想，又锻炼了学生独立思考和语言组织能力．
应用举例
例1 合并同类项：
（1）4ab2－ab－6ab2；
（2）2x2y－5x2y＋x2y＋5xy2；
（3）3a2b－4ab2－4＋5a2b＋2ab2＋7．
解：（1）4ab2－ab－6ab2
＝（4ab2－6ab2）－ab
＝（4－6）ab2－ab
＝－2ab2－ab
（2）2x2y－5x2y＋x2y＋5xy2
＝（2x2y－5x2y＋x2y）＋5xy2
＝（2－5＋）x2y＋5xy2
＝－x2y＋5xy2
（3）3a2b－4ab2－4＋5a2b＋2ab2＋7
＝（3a2b＋5a2b）＋（－4ab2＋2ab2）＋（－4＋7）
＝（3＋5）a2b＋（－4＋2）ab2＋（－4＋7）
＝8a2b－2ab2＋3
总结：合并同类项的步骤：
一找，找出多项式中的同类项；
二移，利用加法的运算律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；
三合，将同一括号内的同类项相加即可．
注意： 把多项式看成省略加号的和，把符号看作各项系数的符号，不看作加减号．
师生活动：学生自主完成后找学生进行展示讲解，教师适时点拨．
设计意图：让学生先试解，然后教师有选择的把两个学生的解题进行展示．合并同类项法则就是转化成“有理数的加法”，渗透化归思想．让学生初步懂得运用合并同类项法则合并同类项，掌握解题步骤和正确的书写格式．
课堂练习
1．请判断下列合并同类项的结果是否正确？如不正确，请说明理由．
（1）2a＋a＝5a； （2）5y3－3y3＝2y；
（3）6ab－2ba－4ab＝0； （4）4x2y－5xy2＝－x2y．
答案：（1）×，2a＋a＝3a；（2）×，不是同类项不能合并；（3）√；（4）×，不是同类项不能合并.
2．请指出下面多项式中的同类项，并将它们合并:
2x2-3y-5xy+7+x2-y．
解：多项式中的同类项为2x2与x2，-3y与-y．
2x2-3y-5xy+7+x2-y
=2x2+x2-3y-y -5xy+7
=（2+）x2+（-3-）xy-5xy+7
=x2-y-5xy +7.
师生活动：学生自主完成后找学生进行展示讲解，教师适时点拨．
设计意图：及时巩固所学知识点，加强记忆，使学生更好的掌握合并同类项法则.
课堂检测
1．下列各组式子中,为同类项的是 (　　)
A．3x2y与－3xy2 B．3xy与－2yx C．63与2x3 D．5xy与5yz
答案：B
2.请写出2xyz3 的三个同类项 、 、 ．
答案：xyz3，3xyz3 ，-2xyz3（答案不唯一）
如果 7a2b3和 ambn 合并的结果是8a2b3，那么m= ，n＝ .
答案：2；3
4．合并同类项：
（1）5x＋4x＝ ； （2）－7ab＋6ab＝ ；
－5x－7x＝ ； （4）mn＋nm＝ .
答案：（1）9x ；（2）-ab ；（3）-12x ；（4）2mn
5．合并同类项：
（1）4a＋2–7a＋8b–5； （2）5ab－a2＋2a2－7ab－6a2．
答案：
解：4a＋2－7a＋8b－5 解：5ab－a2＋2a2－7ab－6a2
＝(4a－7a)＋8b＋(2－5) ＝(5ab－7ab)＋(-a2＋2a2－6a2)
＝(4－7)a＋8b＋(2－5) ＝(5－7)ab＋(－1＋2－6)a2
＝-3a＋8b－3 ＝－2ab－5a2
师生活动：学生自主完成后找学生进行展示讲解，教师适时点拨．
设计意图：通过课堂检测巩固新知，加深对本节课的理解及应用．
课堂小结
1.本节学习了哪些内容？
2.合并同类项的步骤是什么？
师生活动：学生回答，教师点评．
设计意图：通过这节课的学习，学生谈获得的知识；收获的方法；得到的体验．谈学习中的成功与不足，突出基础知识、基础技能、基本思想．课堂总结紧扣教学目标．学生在头脑中对知识进行了梳理，更加清晰，获得的方法更加明确．是知识能力升华的过程．是对教学目标达成效果总结．
合并同类项是这一章中的重要内容，熟练掌握合并同类项的法则是解决问题的关键，如果对合并同类项的法则理解不透彻就会出现计算错误．在学习合并同类项时首先要学生理解同类项的概念，弄清代数式中的系数、项等概念，会在较为复杂的代数式中找出同类项．理解合并同类项实质就是乘法分配律的逆用．在具体的计算过程中养成用不同的记号标识不同类别的同类项，防止漏项．

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