资源简介

4整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
1.使学生理解并掌握单项式与单项式相乘的法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算.
2.通过探究单项式与单项式相乘的法则，培养了学生归纳、概括能力，以及运算能力.
3.通过单项式的乘法法则在生活中的应用培养学生的应用意识.
【教学重点】
掌握单项式与单项式相乘的法则.
【教学难点】
分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则.
一、情景导入，初步认知
京京用同样大小的纸精心制作的两幅画，如图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有18x米的空白,你能表示出两幅画的面积吗？
教师提出以下问题，引导学生对两个代数式进行分析：
问题1：以上求矩形的面积时，会遇到x·mx，(mx)·x，这是什么运算呢？
问题2：什么是单项式？我们知道，整式包括单项式和多项式，从这节课起我们就来研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式.
【教学说明】以上设计从实际问题出发，引出了单项式乘法，使学生体会到数学知识来源于生活，并能解决生活中的问题.
二、思考探究，获取新知
继续引导学生分析实例中出现的算式，教师提出以下三个问题：
问题1：对于实际问题的结果x·mx，(mx)·mx可以表达得更简单些吗？说说你的理由？
问题2：类似地，3a2b·2ab3和（xyz）·y2z可以表达的更简单一些吗？
问题3：如何进行单项式与单项式相乘的运算？
【教学说明】
组织学生先独立思考，再以四人为小组讨论，鼓励学生大胆发表自己的见解，全班共同交流，得出单项式乘法的法则.得出法则后，教师再提出有思维价值的问题，引导学生对探究的过程进行反思，明确算理，体会数学知识之间的联系.
【归纳结论】
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
问题4：在你探索单项式乘法运算法则的过程中，运用了哪些运算律和运算法则？
学生回答：运用了乘法的交换律、结合律和同底数幂乘法的运算性质.
【教学说明】实际教学中，视学生情况而定，以上四个问题可同时给出，也可以逐一给出.教师通过问题1和问题2，让学生独立思考，自主探究，经历知识形成的过程，在探究中发现和总结出规律，获得体验.教师应鼓励学生灵活运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘单项式的运算法则，并理解算理，在探究的基础上运用自己的语言描述单项式乘法的法则.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P14例1.
2.下列运算正确的是(D)
上述过程中有无错误？如果有，请写出正确的解答过程.
解：有错误；
【教学说明】在学习了单项式乘法法则后，及时通过一组习题和练习帮助学生熟悉法则的应用及每一步的算理，教师引导学生总结出运用单项式相乘的乘法法则时，应注意以下几点：
(1)进行单项式乘法，应先确定结果的符号，再把同底数幂分别相乘，这时容易出现的错误是将系数相乘与相同字母指数相加混淆；
(2)不要遗漏只在一个单项式中出现的字母，要将其连同它的指数作为积的一个因式；
(3)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；
（4）单项式乘以单项式，结果仍为单项式.
四、师生互动，课堂小结
先小组内交流收获和感想，后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.
五、教学板书
1.布置作业:教材“习题1.6”中第1、2题。
2.完成同步练习册中本课时的练习。
新课程标准下，数学教育的根本任务是发展学生的思维，教材中的难点往往是数学思维迅速丰富、过程大步跳跃的地方，所以在本节课难点教学中既注意了化难为易的效果，又注意了化难为易的过程，在探究法则的过程中设置循序渐进的问题，不断启迪学生思考，发展学生的思维能力，在应用法则的过程中，又引导学生进行解题后的反思，这些将促使学生知识水平和能力水平同时提高.第3课时 多项式与多项式相乘
1.在具体情境中了解多项式乘法的意义，会利用法则进行简单的多项式乘法运算.
2.经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，理解多项式与多项式相乘的运算算理，体会乘法分配律的作用及转化思想在解决问题过程中的应用，发展学生有条理的思考和语言表达能力.
3.在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心.
【教学重点】
熟悉多项式与多项式乘法法则.
【教学难点】
理解多项式与多项式相乘的算理.
一、情景导入，初步认知
1.如何进行单项式乘多项式的运算？你能举例说明吗？
2.计算：
（1）(3mn)2·(m2+mn-n2);
（2）2a2-a(2a-5b)-b(2a-b).
【教学说明】单项式乘以多项式运算是多项式乘以多项式运算的基础，所以帮助学生回忆单项式乘多项式的运算非常重要.
二、思考探究，获取新知
下图1-1是一个长和宽分别为m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加a，b，所得长方形（图1-2）的面积可以怎样表示？
学生独立思考后，全班交流，主要产生了四种解法：
方法一：长方形的长为（m+a），宽为（n+b）,所以面积可以表示为(m+a)(n+b)；
方法二：长方形可以看做是由四个小长方形拼成的，四个小长方形的面积分别为mn，mb，an，ab，所以长方形的面积可以表示为mn+mb+an+ab；
方法三：长方形可以看做是由上下两个长方形组成的，上面的长方形面积为b（m+a），下面的长方形面积为n（m+a）,这样长方形的面积就可以表示为n（m+a）+b（m+a），根据上节课单项式乘多项式的法则，结果等于nm+na+bm+ba；
方法四：长方形可以看做是由左右两个长方形组成的，左边的长方形面积为m（b+n），右边的长方形面积为a（b+n）,这样长方形的面积就可以表示为m（b+n）+a（b+n），根据上节课单项式乘多项式的法则，结果等于mb+mn+ab+an.
将四种方法的过程板书到黑板上，由于求的是同一个长方形的面积，于是我们得到：
（m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)=m(b+n)+a(b+n)=mn+mb+an+ab
教师引导学生观察这个等式，并启发性的将等式板书为以下形式：
(m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)
或（m+a)(n+b)=m(b+n)+a(b+n)
或（m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab
【教学说明】
引导学生通过观察、实验、类比、归纳获得数学猜想.在上一课时中，学生已经有了利用图形面积探究法则的经验，因此用不同方法计算同一图形面积猜想出多项式乘法法则并不困难，顺利引出新课.
观察上面的过程，回答下列问题：
1.你能说出（m+a)(n+b)=n(m+a)+b(m+a)
这一步运算的道理吗？
2.结合这个算式（m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab，你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算？
3.归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则.
【归纳结论】
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P18例3.
2.下列说法不正确的是（D）
A.两个单项式的积仍是单项式；
B.两个单项式的积的次数等于它们的次数之和；
C.单项式乘以多项式，积的项数与多项式项数相同；
D.多项式乘以多项式，合并同类项前，积的项数等于两个多项式的项数之和.
3.下列多项式相乘的结果是a2-a-6的是（B）
A.（a-2）（a+3）；
B.（a+2）（a-3）；
C.（a-6）（a+1）；
D.（a+6）（a-1）.
4.下列计算正确的是（C）
A.a3·(-a2)=a5；
B.(-ax2)3=-ax6；
C.3x3-x(3x2-x+1)=x2-x；
D.(x+1)(x-3)=x2+x-3.
5.若（x+m）（x+n）=x2-6x+5，则（A）
A.m，n同时为负；
B.m，n同时为正；
C.m，n异号；
D.m，n异号且绝对值小的为正.
6.要使(x-3)·M=x2+x+N成立，且M是一个多项式，N是一个整数，则（C）
A.M=x-4,N=12；
B.M=x-5,N=15；
C.M=x+4,N=-12；
D.M=x+5,N=-15.
7.计算：
(1)(3x+1)(x-2)；
(2)(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)；
(3)(x-5)(x+2)；
(4)(x+5)(x-2)；
(5)(x-5)(x-2)；
(6)(x+5)(x+2).
答案：
(1)3x2-5x-2；(2)5a-6；(3)x2-3x-10；
(4)x2+3x-10；(5)x2-7x+10；(6)x2+7x+10.
8.若（mx+y）（x-y）=2x2+nxy-y2，求m，n的值.
解：左边=mx2-mxy+xy-y2=mx2+(1-m)xy-y2
∴m=2，n=1-m ∴n=-1
9.对于任意自然数，试说明代数式n（n+7）-（n-3）（n-2）的值都能被6整除.
解：n（n+7）-（n-3）（n-2）=n2+7n-n2+5n-6=12n-6=6（2n-1）.
因为n为自然数，
所以6（2n-1）一定是6的倍数.
【教学说明】让学生通过不同形式的多项式相乘，灵活应用法则，针对解决不同问题时遇到的问题，积累解题经验.对于掌握程度比较好的学生，需要设置一些具有挑战性的题目，激发他们学习的动力.
四、师生互动，课堂小结
1.本节课学习了哪些知识？
2.领悟到哪些解决问题的方法？感触最深的是什么？
3.对于本节课的学习还有什么困惑？
五、教学板书
1.布置作业:教材“习题1.8”中第1、2、3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
整式的乘法共由三课时组成，这一板块的知识前后衔接紧密、环环相扣,因此在这三课时中都采用了先回顾，再呈现问题情境的引入方法实现“温故知新”.但是在教学过程中，我们不应仅仅让学生感受知识需要“温故知新”，更应该让他们体会到解决这些“新”都是用了同样的数学思想方法——转化.这三课时法则的探索在难度上是逐渐深入的，在方法和思路上却又是统一的，通过这三课时的学习，应让学生体会：当他们遇到新问题时，可以效仿之前用到的数学思想方法来解决，从而真正掌握数学学习方法，提高数学学习能力.第2课时 单项式与多项式相乘
1.在具体情境中了解单项式与多项式乘法的意义，会进行单项式与多项式的乘法运算.
2.经历探索单项式与多项式乘法法则的过程，理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律的重要作用及转化的数学思想，发展学生有条理的思考和语言表达能力.
3.在探索单项式与多项式乘法运算法则的过程中，获得成就感，激发学习数学的兴趣.
【教学重点】
会进行单项式与多项式的乘法运算.
【教学难点】
灵活运用单项式乘以多项式的运算法则.
一、情景导入，初步认知
1.如何进行单项式乘单项式的运算？你能举例说明吗？
2.计算：
3.写一个多项式，并说明它的次数和项数.
【教学说明】
首先引导学生回忆单项式乘单项式的运算法则，目的是为探索单项式乘以多项式法则做好铺垫，因为最终我们要将它转化为单项式乘以单项式，所以这里通过活动1、2来进行回顾十分必要.
问题3的设置为今天的新课学习奠定基础.
二、思考探究，获取新知
探究：宁宁作了一幅画，所用纸的大小如图所示，她在纸的左、右两边各留了xm的空白，这幅画的画面面积是多少？
先让学生独立思考，之后全班交流.交流时引导学生呈现出自己的思考过程.
同学之中主要有两种做法：
法一：先表示出画面的长和宽，由此得到画面的面积为x(mx-x)；
法二：先求出纸的面积，再减去两块空白处的面积，由此得到画面的面积为mx2-x2.
教师启发学生：两种方法得到的答案不一样，到底哪种方法对？短暂的思考之后，学生回答都对，由此引出x(mx-x)= mx2-x2这个等式.
引导学生观察这个算式，并思考两个问题：
式子的左边是什么运算？能不能用学过的法则说明这个等式成立的原因？
学生不难总结出：式子的左边是一个单项式与一个多项式相乘，利用乘法分配律可得x（mx-x）=x·mx-x·x，再根据单项式乘单项式法则或同底数幂的乘法性质得到x·mx-x·x=mx2-x2，即x（mx-x）=mx2-x2.
【教学说明】
从实际问题出发，学生通过对同一面积的不同表达，引出x（mx-x）=mx2-x2这个等式.
想一想：
问题1：ab·(abc+2x)及c2(m+n-p)等于什么？你是怎样计算的？
问题2：如何进行单项式与多项式相乘的运算？
【教学说明】
设置问题1是让学生获得更充分的体验，为下面顺利归纳单项式与多项式的乘法法则铺平道路.
【归纳结论】
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
三、运用新知，深化理解
1.见教材P16例2.
2.计算：
5.一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽（a+2b）米，坝高a米.
（1）求防洪堤坝的横断面积；
（2）如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解：（1）防洪堤坝的横断面积
S=［a+（a+2b）］×a=a2+ab.
故防洪堤坝的横断面积为a2+ab平方米；
（2）堤坝的体积V=Sh=（a2+ab）×100=50a2+50ab.
故这段防洪堤坝的体积是（50a2+50ab）立方米.
6.某同学在计算一个多项式乘以-3x2时，因抄错运算符号，算成了加上-3x2，得到的结果是x2-4x+1，那么正确的计算结果是多少？
解：这个多项式是（x2-4x+1）-（-3x2）=4x2-4x+1
正确的计算结果是：（4x2-4x+1）·（-3x2）=-12x4+12x3-3x2.
]7.对任意有理数x、y定义运算如下：x△y=ax+by+cxy，这里a、b、c是给定的数，等式右边是通常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，1△3=1×1+2×3+3×1×3=16，现已知所定义的新运算满足条件，1△2=3，2△3=4，并且有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，求a、b、c、d的值.
解：∵x△d=x，∴ax+bd+cdx=x，
∴（a+cd-1）x+bd=0，
∵有一个不为零的数d使得对任意有理数x△d=x，
则有
∵1△2=3，∴a+2b+2c=3②，
∵2△3=4，∴2a+3b+6c=4③，
又∵d≠0，∴b=0，
∴有方程组解得
故a的值为5,b的值为0,c的值为-1,d的值为4.
【教学说明】通过不同难度的练习题，不断促进学生思考，运用所学知识解决新问题，在解决问题的过程中获得能力的提高.教学中，教师可以通过灵活的评价方式，激励学生挑战多星题，培养学生乐于钻研的精神.
四、师生互动，课堂小结
单项式与多项式相乘的步骤：
乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；
化为单项式的乘法运算;
所得的积相加.
解题时需要注意的问题：
项式乘多项式的积仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同；
②单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定，多项式中的每一项前面的符号是性质符号，同号相乘得正，异号相乘得负，最后写成省略加号的代数和的形式；
项式要乘以多项式的每一项，不要出现漏乘现象；
④混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项.
五、教学板书
1.布置作业:教材“习题1.7”中第1、2题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
这一章的教学是以习题训练为主的，知识前后联系紧密，层层递进，教学时注意选择了有层次的例题和练习，更主要的是渗透了类比、转化等重要的数学思想方法.课堂上充分利用学习小组，组织学生开展合作学习，教师通过对小组进行评价，激发学生的竞争意识，让课堂学习更高效.

展开更多......

收起↑