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10.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.
2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题.
3.经历用方程组解决实际图形问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
【过程与方法】
通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会方程解决问题的优越性.
【情感态度与价值观】
进一步培养学生建模解决实际问题的能力，培养严谨缜密的思维习惯，继续渗透方程的数学思想.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
能够根据题意找出相等关系，根据相等关系列出方程组解决实际问题．
【教学难点】
准确找到实际问题中的相等关系，解释结果的合理性．
五、课前准备
教师：课件.
学生：铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟.
归时四分行六百，风速多少才称雄？
（二）探索新知
1.出示课件4-6，探究列二元一次方程组解答较简单问题
教师出示问题：养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20 kg，每头小牛1天需饲料78 kg.你认为李大叔估计的准确吗？
教师问：题中有哪些未知量？
学生答：每头大牛1天约用的饲料;每头小牛1天约用的饲料.
教师问：你如何设未知数？
学生答：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg.
教师问：题中有哪些等量关系？
教师依次展示学生答案：
学生1答：30头大牛和15头小牛一天约用饲料为675kg.
学生2答：(30+12)头大牛和(15+5)头小牛一天约用饲料为940kg.
教师总结如下：(1)30头大牛和15头小牛一天约用饲料为675kg；
(2)(30+12)头大牛和(15+5)头小牛一天约用饲料为940kg.
教师问：你能解答上面的问题吗？
师生共同解答.
解:设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg.
根据等量关系，列方程组
解方程组，得
答: 每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计大牛1天需饲料18~20千克，每头小牛1天需饲料7~8千克与计算有一定的出入.
教师问：你能总结一下列方程解应用题的步骤吗？
师生共同解答：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系．设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．
考点1：列二元一次方程组解答数量问题
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要 （出示课件7）
学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件8-9）
解：设每餐甲、乙原料各x克，y克. 则有下表:
甲原料x克 乙原料y克 所配的营养品
其中所含蛋白质 0.5x 0.7y 35
其中所含铁质 x 0.4y 40
根据题意,得方程组
化简,得
解这个方程组，得
答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.
归纳总结：（出示课件10）
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的数量关系；
(2)设元：用字母表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据2个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正.
2.出示课件12-17，探究列二元一次方程组解答几何问题
教师出示问题：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
教师问：你能把上面的问题转化为数学语言吗？
师生共同解答：已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.
教师问：这里研究的实际上是什么问题？
学生答：长方形的面积分割问题.
教师问：把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
师生共同解答：我们可以画出示意图来帮助分析：
教师依次展示学生答案：
学生1答：方法1：竖着画，把长分成两段，则宽不变；
学生2答：方法2：横着画，把宽分成两段，则长不变.
教师问：方法1如何分割长方形呢？
学生答：竖着画，把长分成两段，则宽不变，
教师问：等量关系式有几个？
学生答：1.大长方形的长=200m；2.甲、乙两种作物总产量比=3:4.
教师问：方法1如何解答呢？
学生答：因为宽不变，求出长方形边长比即可.
教师问：如何设未知数呢？
学生答：设AE＝xm，BE＝ym. 则列方程为x+y=200.
教师问：怎样使甲、乙两种作物总产量比=3:4.
师生一起解答：先求出两种作物的面积.
教师问：长方形ADFE和长方形BCFE的面积分别为多少？
学生答：SAEFD=100x，SEFCB=100y.
教师问：总产量如何算出来呢？
学生答：总产量=单位面积产量×面积
教师问：怎么求出两种作物的总产量？
学生答：甲：100x×1；乙：100y×2.
教师问：你能列出方程吗？
学生答：100x:200y=3:4
教师问：你觉得该如何答题比较完整呢？
师生一起解答：解：过点E作EF⊥AB，交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
根据题意,列方程组为
解这个方程组，得
答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
教师问：方法2如何解答呢？
师生共同解答.
解：过点E作EF⊥BC，交BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym. 根据题意列方程组为
解得：
答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
考点2：列二元一次方程组解答几何问题
某校现有校舍20000m2计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2 ）（出示课件18）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2.
根据题意,得
解这个方程组，得
答：应该拆除2000m2旧校舍，建造8000m2新校舍.
出示课件19，学生自主练习后口答，教师订正.
3.出示课件20-23，探究列二元一次方程组解答行程问题.
教师出示问题：小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
教师问：你能描述一下小华的行程吗？
学生答：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.（如下图所示）
教师问：你能找出题目中的数量关系吗？
教师依次展示学生答案：
学生1答：走平路的时间+走下坡路的时间=__10_.
学生2答：走上坡路的时间+走平路的时间= __15__．
教师总结如下：走平路的时间+走下坡路的时间=__10__，
走上坡路的时间+走平路的时间= __15__．
教师问：行程问题中有什么等量关系？
学生答：路程=平均速度×时间.
教师问：你会解答这个问题吗？
师生共同解答.
方法一（直接设元法）
解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m.
平路时间 坡路时间 总时间
上学 10
放学 15
根据题意，可列方程组
解这个方程组，得
300+400=700（m）.
所以小华家离学校700m .
方法二（间接设元法）
解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.
平路距离 坡路距离
上学 60（10-x） 80x
放学 60(15-y) 40y
根据题意，可列方程组
解这个方程组，得
故平路距离：60×（10-5）=300（m）,
坡路距离：80×5=400（m）,
300+400=700（m）.
答：小华家离学校700m.
考点3：列二元一次方程组解答行程问题
张强与李毅二人分别从相距20千米的两地出发，相向而行.若张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米.求张强、李毅每小时各走多少千米？（出示课件24）
学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件25）
分析：如下图（1）、（2）所示.
解：设张强、李毅每小时各走x, y千米.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：张强、李毅每小时各走4, 5千米.
出示课件26-28，学生自主练习后口答，教师订正.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.
（三）课堂练习（出示课件29-35）
练习课件第29-35页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件36）
二元一次方程组的应用 应用 简单的实际问题
几何问题
行程问题
步骤 1.审题：弄清题意和题目中的数量关系 2.设元：用字母表示题目中的未知数 3.列方程组:根据2个等量关系列出方程组 4.解方程组：代入法、加减法 5.检验作答
（五）课前预习
预习下节课（10.3第2课时）的相关内容.
会利用二元一次方程组解答较复杂的问题.
课后作业
1、教材第102页练习第2,3题,第103页练习题.
2、七彩课堂第278页第2,3,4,5题.
板书设计
1.知识梳理
列方程组解决问题
2.考点讲解
考点1 考点2 考点3
九、教学反思
成功之处：通过“古算题”，把同学们带入实际生活中的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”．进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神，使学生形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
不足之处：利用二元一次方程组解答实际问题，找出题目中的数量关系是关键，这是学生解答应用问题的难点，课上学生实际操作有点少，需要课下继续训练，提高学生分析问题的能力.
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10.3 实际问题与二元一次方程组
(第1课时)
人教版 数学 七年级 下册
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟.
归时四分行六百，风速多少才称雄？
导入新知
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.
2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题.
学习目标
3.经历用方程组解决实际图形问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.
养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天需饲料18~20 kg，每头小牛1天需饲料7~8 kg.你认为李大叔估计的准确吗？
探究新知
知识点 1
列二元一次方程组解答较简单问题
问题1 题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量:每头大牛1天约用的饲料;每头小牛1天约用的饲料.
问题2 题中有哪些等量关系？
(1)30头大牛和15头小牛一天约用饲料为675kg;
(2)(30+12)头大牛和(15+5)头小牛一天约用饲料为940kg.
设未知数：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg.
探究新知
解:设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为xkg和ykg.
根据等量关系，列方程组
答:每头大牛和每头小牛1天各约用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计大牛1天需饲料18~20千克，每头小牛1天需饲料7~8千克与计算有一定的出入.
+ = 675,
+ = 940.
30x
15y
42x
20y
解这个方程组，得 x= ,
y= .
20
5
探究新知
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要
考点1
探究新知
列二元一次方程组解答数量问题
解:设每餐甲、乙原料各x克，y克. 则有下表:
甲原料x克 乙原料y克 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
探究新知
根据题意,得方程组
化简,得
答：每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.
0.5x+0.7y=35，
x+0.4y=40.
5x+7y=350， ①
5x+2y=200. ②
探究新知
解这个方程组，得
x=28,
y=30.
探究新知
归纳总结
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯，A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元； B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元.1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
巩固练习
解: 1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元.
3x+5y=50,
12x+4y=88.
解这个方程组，得
x=5,
y=7.
答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是7元.
根据题意，得
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
请提取数学信息
探究新知
知识点 2
列二元一次方程组解答几何问题
转换成数学语言：
已知：长方形ABCD， AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.
A
D
C
B
这里研究的实际上是什么问题？
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
方法1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
方法2
横着画，把宽分成两段，则长不变
长方形的面积分割
我们可以画出示意图来帮助分析
动手试着画一画
探究新知
目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4
问题分析
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
等量关系式有几个？
探究新知
方法1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
设AE＝xm，BE＝ym.
先求出两种作物的面积
SAEFD=100x
SEFCB=100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1
乙：100y×2
则列方程为
100x:200y=3:4
总产量=
？
1 : 2
x
y
200m
100
如何设未知数呢？
则列方程为
x+y=200.
单位面积产量×面积
探究新知
方法1
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
根据题意，列方程组为
100x:200y=3:4.
x
y
200m
100m
x+y=200,
解这个方程组，得
x=120,
y=80.
你觉得该如何答题比较完整呢？
甲种作物
乙种
作物
解：
过点E作EF⊥AB，交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
探究新知
方法1
解法一
横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D
C
B
E
x
y
F
x+y=100,
乙种作物
甲种作物
解：过点E作EF⊥BC，交BC于点F. 设DE＝xm，AE＝ym.
200x:400y=3:4.
200y
200x
x=60,
y=40.
解这个方程组，得
根据题意，列方程组为
200m
100m
答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
探究新知
方法2
解法二
某校现有校舍20000m2计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m2 ）
解：设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2.
拆
20000m2
新建
考点1
探究新知
列二元一次方程组解答几何问题
根据题意，得
解这个方程组，得
答：应该拆除2000m2旧校舍，建造8000m2新校舍.
8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少 （单位：cm）
60
x+y=60，
x=3y .
解:设小长方形地砖的长为x cm, 宽为y cm.
根据题意,得
解这个方程组，得
x =45,
y=15.
答:小长方形地砖的长为45cm, 宽为15cm.
巩固练习
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
知识点 3
列二元一次方程组解答行程问题
探究新知
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.
平路：60 m/min
下坡路：80 m/min
上坡路：40 m/min
走平路的时间+走下坡路的时间=________，
走上坡路的时间+走平路的时间= _______．
路程=平均速度×时间
10
15
探究新知
方法一（直接设元法）
平路时间 坡路时间 总时间
上学
放学
解：设小华家到学校平路长x m，下坡路长y m.
根据题意，可列方程组
解这个方程组，得
答：小华家离学校700m.
探究新知
300+400=700（m）.
方法二（间接设元法）
平路 距离 坡路距离
上学
放学
解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.
根据题意，可列方程组
解这个方程组，得
答：小华家离学校700m.
故平路距离：60×（10-5）=300（m）.
坡路距离：80×5=400（m）.
探究新知
300+400=700（m）.
张强与李毅二人分别从相距 20 千米的两地出发，相向而行.若张强比李毅早出发 30 分钟，那么在李毅出发后 2 小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么 1 小时后两人还相距 11 千米.求张强、李毅每小时各走多少千米？
探究新知
考点1
列二元一次方程组解答行程问题
2y千米
张强2.5小时走的路程
李毅2小时走的路程
11千米
0.5x千米
2x千米
(1)
A
B
x千米
y千米
(2)
A
B
解：设张强、李毅每小时各走x, y千米.根据题意，得
答：张强、李毅每小时各走4, 5千米.
分析：如下图（1）、（2）所示.
探究新知
1.巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约126 km，一辆小汽车、一辆货车同时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇时小汽车比货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别为x km/h，y km/h，则下列方程组正确的是（ ）
巩固练习
A. B.
C. D.
D
2.甲地到乙地由一段上坡路和一段平路组成，以为自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练.如果他保持上坡的速度为30km/h，平路的速度为40km/h，下坡的速度为50km/h，那么他从甲地骑到乙地需要54min，从乙地骑到甲地需要42min.甲地到乙地全程是多少千米？
巩固练习
巩固练习
解：设坡长x km，平路长y km.
根据题意，得
答：甲地到乙地全程是31km.
15+16=31（km）.
解这个方程组，得
链接中考
茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（　　）
A.
B.
C.
D.
B
1.某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根据题意所列的方程组应为（ ）
课堂检测
基础巩固题
B.
C. D.
D
2.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共
10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列
出方程组为______________．
解析:根据蛐蛐和蜘蛛共10只，可得x＋y＝10; 蛐蛐和蜘蛛共有68条腿，可得6x＋8y＝68.
课堂检测
3.某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需资金4 120元．则每台电脑机箱和液晶显示器的进价各多少元？
课堂检测
解：设每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别为x元和y元.
答：每台电脑机箱和液晶显示器的进价分别是60元、800元．
解这个方程组，得
根据题意，得
4.A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分.求飞机的平均速度与风速.
课堂检测
解：设飞机的平均速度为xkm/h,风速为y km/h.
根据题意，得
解这个方程组，得
x = 420，
y = 60.
答：飞机的平均速度为420km/h，风速为60km/h.
我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时.
答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时.
能力提升题
课堂检测
解这个方程组，得
根据题意，得
甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走6千米乙再动身，则乙走 小时后恰好与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用 小时可追上甲，求两人的速度．
拓广探索题
课堂检测
解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时.
根据题意，得
答：甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时.
解这个方程组，得
二元一次方程组的应用
应用
步骤
简单实际问题
行程问题
路程=平均速度×时间
审题：弄清题意和题目中的数量关系
设元：用字母表示题目中的未知数
列方程组:根据2个等量关系列出方程组
检验作答
解方程组：
代入法、
加减法
几何问题
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习(共34张PPT)
10.3 实际问题与二元一次方程组
(第2课时)
人教版 数学 七年级 下册
1．把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
2．把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形， 又有哪些折法？
导入新知
2. 进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程，提高运用方程组解决问题的能力.
1. 学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题 .
学习目标
如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连．
知识点
列二元一次方程组解答较复杂问题
探究新知
探究新知
这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地. 已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km),且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
问题1　要求“这批产品的销售额比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．
销售额
原料费
运输费（公路和铁路）
产品数量
原料数量
探究新知
问题2　本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？
一类是公路运费，铁路运费，价值；
另一类是原料数量，产品数量．
探究新知
问题3　你能完成教材上的表格吗？
x t长绒棉 y t纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
探究新知
0.5×10x
0.5×20y
0.5(10x+20y)
0.2×120x
0.2(120x+110y)
0.2×110y
42 500y
30 800x
问题4　你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
探究新知
解：先化简，得
②
①
由①，得
把 代入③ ，得
③
把③代入② ，得
探究新知
解这个方程组，得
答：购买了400t长绒棉，制成320t纺织面料.
问题5　这个实际问题的答案是什么？
销售额：42 500×320=13 600 000元；
原料费：30 800×400=12 320 000元；
运输费：5 200+16 640=21 840元．
13 600 000-12 320 000-21 840=1 258 160元．
这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1 258 160元．
探究新知
思考：
（1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？
当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数．
（2）如何更好地分析数量关系比较复杂的实际问题？
探究新知
实际问题
设未知数、找等量关系、列方程（组）
数学问题
[方程(组)]
解方程（组）
数学问题的解
双检验
实际问题的答案
探究新知
探究新知
考点 1
列二元一次方程组解答运费问题
某电器公司计划用甲、乙两种汽车运送190台家电到农村销售，已知甲种汽车每辆可运送家电20台，乙种汽车每辆可运送家电30台，一共用了8辆汽车满载运送．
如果每辆甲种汽车的运费是180元，每辆乙种汽车的运费是300元，那么该公司运送这190台家电后的总运费是多少？
解：设甲种汽车有x辆，乙种汽车
有y辆.
根据题意，得
解这个方程组，得
所以 （元）.
答：该公司运送这190台家电后的总运费是1800元.
一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表(两次两种货车都满载)：
第一次 第二次
甲种货车的车辆数（辆） 2 5
乙种货车的车辆数（辆） 3 6
累计运货吨数（吨） 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？
巩固练习
解:设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x吨、y吨，
解这个方程组，得
x=4，
y=2.5.
2x+ 3y=15.5，
5x+ 6y=35.
总运费为
30×(3x+ 5y)=30×(3×4+ 5×2.5)=735(元).
巩固练习
第一次 第二次
甲种货车的车辆数（辆） 2 5
乙种货车的车辆数（辆） 3 6
累计运货吨数（吨） 15.5 35
答:货主应付运费735元.
根据题意，得
某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元,若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.该厂生产能力如下:每天可加工3吨酸奶或1吨奶片,受人员和季节的限制,两种方式不能同时进行.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案:
方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶.
方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成.
(1)你认为哪种方案获利最多,为什么 (2)本题解出之后,你还能提出哪些问题
考点 2
探究新知
列二元一次方程组解答利润问题
其余5吨直接销售,获利500×5=2500(元),
∴共获利:8000+2500=10500(元).
方案二:设生产奶片用x天,生产酸奶用y天.
另：设x吨鲜奶制成奶片,y吨鲜奶制成酸奶.
x+y=4,
x+3y=9.
x+y=9,
方案一:生产奶片4天,共制成4吨奶片,获利 2000×4=8000 (元)，
∴共获利1.5×1×2000+2.5×3×1200=
12000 (元).
1.5×2000+7.5×1200
=3000+9000=12000 (元).
∴共获利
探究新知
x=1.5,
y=2.5.
解这个方程组，得
x=1.5,
y=7.5.
解这个方程组，得
根据题意，得
根据题意，得
一水果批发商用209元钱从水果批发市场批发了橙子和香蕉共50斤，橙子和香蕉这天每斤的批发价与零售价如下表所示：
巩固练习
品名 橙子 香蕉
批发价（元 / 斤） 5.5 2.2
零售价（元 / 斤） 8 3
巩固练习
解：设批发商批发橙子x斤，批发香蕉y斤.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：批发商批发橙子30斤，批发香蕉50斤.
解：
答：批发商当天卖完这些橙子和香蕉共能赚115元.
（1）求批发商批发橙子和香蕉各多少斤？
（2）求批发商当天卖完这些橙子和香蕉共能赚多少钱？
某车间每天能生产甲种零件600个或乙种零件300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内的生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？
考点 3
探究新知
列二元一次方程组解答配套问题
解：设甲零件生产x天，乙零件生产y天，则丙零件生产（63-x-y)天.根据题意，得
所以63-x-y=18.
答：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、30天和18天.
解这个方程组，得
某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺钉或2 000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
分析： 将题中出现的量在表格中呈现
产品类型 所需人数 生产总量
螺钉 x
螺母 y
螺母总产量是螺钉的2倍
人数和为22人
1200x
2000y
巩固练习
解：设生产螺钉的x人，生产螺母的y人.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：设生产螺钉的10人，生产螺母的12人.
巩固练习
总结：解决配套问题要弄清：
（1）每套产品中各部分的比例；
（2）生产各部分的工人数之和=工人总数.
D
某出租车起步价所包含的路程为0～2km，超过2km的部分按每千米另收费．津津乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐
这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，
超过2km后每千米收费y元，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
链接中考
1.小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15％，支出比去年低10％，求去年的收入与支出各是多少？
解：设去年收入x元，支出y元.根据题意，得
答：去年小明家收入20000元，支出15000元.
基础巩固题
课堂检测
解这个方程组，得
2.某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如果每台挖掘机每天平均挖土750m3，每台装卸机每天平均运土300m3，要使挖出的土及时运走，问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？
解：设挖掘机x台，装卸机y台.根据题意，列出方程组得
解这个方程组，得
答：挖掘机有6台，装卸机有15台.
课堂检测
3.一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正好配套
解：设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人y人.
解这个方程组，得
答：生产圆形铁片的工人24人，生产长方形铁片的工人18人.
课堂检测
根据题意，得
某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元
蔬菜 5 1.5
荞麦 4 1
在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种植,且资金正好够用？
能力提升题
课堂检测
作物品种 种植面积/公顷 需要人数 投入资金/万元
蔬菜 x 5x 1.5x
荞麦 y 4y y
合计 ----- 18 5
分析：将题中出现的量在表格中呈现
解：设蔬菜种植x 公顷,荞麦种植y 公顷.
根据题意，得
解这个方程组，得
课堂检测
故，承包田地的面积为 x+y=4 (公顷).
人员安排为
5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人).
答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.
课堂检测
李大叔销售牛肉干，已知甲客户购买了12包五香味的和10包原味的共花了146元，乙客户购买了6包五香味的和8包原味的共花了88元.
（1）现在老师带了200元，能否买到10包五香味牛肉干和20包原味牛肉干？
解：设五香味每包x元，原味每包y元.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：老师带200元能买到所需牛肉干.
拓广探索题
课堂检测
解：设刚好买五香味x包，原味y包.
（2）现在老师想刚好用完这200元钱，你能想出哪些牛肉干的包数组合形式？
因为x，y为非负整数，
课堂检测
所以
根据题意，得
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习10.3 实际问题与二元一次方程组
第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题 .
2.进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程，提高运用方程组解决问题的能力.
【过程与方法】
学生已经会初步分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题，这节课主要通过自主探究和合作讨论让学生进一步熟练解题过程和方法.
【情感态度与价值观】
培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值．
二、课型
新授课
三、课时
第2课时 共2课时
四、教学重难点
【教学重点】
用列表的方式分析题目中的各个量的关系.
【教学难点】
借助列表分问题中所蕴含的数量关系.
五、课前准备
教师：课件.
学生：铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
2.把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形， 又有哪些折法？
（二）探索新知
1.出示课件4-13，探究列二元一次方程组解答较复杂问题
教师出示问题：如图，丝路纺织厂与A，B两地由公路、铁路相连．
这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地. 已知长绒棉的进价为3.08万元/t，纺织面料的出厂价为4.25万元/t，公路运价为0.5元/(t·km)，铁路运价为0.2元/(t·km),且这两次运输共支出公路运费5200元，铁路运费16640元.那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？
教师问：要求“这批产品的销售额比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
学生答：销售额与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．
教师问：本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？
学生1答：一类是公路运费，铁路运费，价值；
学生2答：另一类是原料数量，产品数量．
教师问：你能完成教材上的表格吗？
xt长绒棉 yt纺织面料 合计
公路运费/元
铁路运费/元
价值/元
学生答：填写表格如下：
xt长绒棉 yt纺织面料 合计
公路运费/元 0.510x 0.520y 0.5(10x+20y)
铁路运费/元 0.2120x 0.2110y 0.2(120x+110y)
价值/元 30800x 42500y
教师问：观察上表，你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
师生共同解答.
解：先化简，得
由①，得③
把③代入②，得
解得
把代入③ ，得
解这个方程组，得
答：购买了400t长绒棉，制成320t纺织面料.
教师问：这个实际问题的答案是什么？
学生答：销售额：42 500×320=13 600 000元；
原料费：30 800×400=12 320 000元；
运输费：5 200+16 640=21 840元．
13 600 000-12 320 000-21 840=1 258 160元．
这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多1 258 160元．
教师问：在什么情况下考虑选择设间接未知数？
学生答：当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数．
教师问：如何更好地分析数量关系比较复杂的实际问题？
师生共同解答.
考点1：列二元一次方程组解答运费问题
某电器公司计划用甲、乙两种汽车运送190台家电到农村销售，已知甲种汽车每辆可运送家电20台，乙种汽车每辆可运送家电30台，一共用了8辆汽车满载运送．
如果每辆甲种汽车的运费是180元，每辆乙种汽车的运费是300元，那么该公司运送这190台家电后的总运费是多少？（出示课件14）
学生独立思考，师生共同解答.
解：设甲种汽车有x辆，乙种汽车有y辆.
根据题意，得
解得
所以（元）.
答：该公司运送这190台家电后的总运费是1800元.
出示课件15-16，学生自主练习后口答，教师订正.
考点2：列二元一次方程组解答利润问题
某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元,若制成奶片销售,每吨可获利润2000元.该厂生产能力如下:每天可加工3吨酸奶或1吨奶片,受人员和季节的限制,两种方式不能同时进行.受季节的限制,这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕,为此该厂制定了两套方案:
方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶
方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成
(1)你认为哪种方案获利最多,为什么 (2)本题解出之后,你还能提出哪些问题 （出示课件17）
学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件18）
学生1解：解法一：方案一:生产奶片4天,共制成4吨奶片,获利 2000×4=8000 (元).
其余5吨直接销售,获利500×5=2500(元),
∴共获利:8000+2500=10500(元).
方案二:设生产奶片用x天,生产酸奶用y天
根据题意,得方程组
解这个方程组，得
∴共获利: 1.5×1×2000+2.5×3×1200=12000 (元).
学生2解：解法二：设x吨鲜奶制成奶片,y吨鲜奶制成酸奶，
根据题意,得方程组
解得
∴共获利: 1.5×2000+7.5×1200=3000+9000=12000 (元).
出示课件19-20，学生自主练习后口答，教师订正.
考点3：列二元一次方程组解答配套问题
某车间每天能生产甲种零件600个或乙种零件300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内的生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？（出示课件21）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：设甲零件生产x天，乙零件生产y天，则丙零件生产（63-x-y)天，根据题意，得
解这个方程组，得
所以63-x-y=18.
答：甲、乙、丙三种零件各应生产15天、30天和18天.
出示课件22-23，学生自主练习后口答，教师订正.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.
（三）课堂练习（出示课件24-32）
练习课件第24-32页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件33）
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
（五）课前预习
预习下节课10.4的相关内容.
知道三元一次方程、三元一次方程组的定义及会解三元一次方程组.
课后作业
1.教材第104页练习.
2.七彩课堂第278页第1,6,7题.
板书设计
1.知识梳理
列二元一次方程组解答较复杂问题
2.考点讲解
考点1 考点2 考点3
九、教学反思
成功之处：通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识．并且通过对问题的解决，培养学生合理优化的经济意识，增强他们节约和有效合理利用资源的意识.
不足之处：当题目中数量关系比较多，情况比较复杂时，通过列表格找关系直观明了，容易理解，但是学生往往不会画出表格，需要老师细心讲解，耐心指导，因为在课上练习讲解不够，所以课后还需要加强.
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