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10.4 三元一次方程组的解法
人教版 数学 七年级 下册
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？
导入新知
1. 了解三元一次方程组的概念.
2. 能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.
学习目标
3. 会解较复杂的三元一次方程组.
问题： 1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
探究新知
知识点 1
三元一次方程组的概念
在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2，按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.那么这支球队胜、平、负各多少场？
胜
平
负
合 计
0
22
47
胜的场数比负的场数的4倍多2,即x=4z+2
探究新知
比赛结果
场数
分数
x
y
z
3x
y
注
分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y， z，根据题意,可以得到下列三个方程:
x+y+z=22,
3x+y=47,
x=4z+2.
探究新知
对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成
这个方程组中含有 个未知数，且含有未知数的式子都是 ，每个方程中含未知数的项的次数是 .
探究新知
三
整式
1
含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
探究新知
由此，我们得出三元一次方程组的定义
探究新知
下列是三元一次方程组的是(　　)
A.　　　　　 B.
C. 　　　　　 D.
考点1
三元一次方程组的判断
D
下列方程组不是三元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
D
提示： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
巩固练习
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
知识点 2
探究新知
三元一次方程组的解法
①
②
③
解三元一次方程组
①
②
③
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
探究新知
考点 1
三元一次方程组的解法
分析：方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一个只含x, z的方程, 与方程①组成一个二元一次方程组.
把 x＝5，z＝-2 代入②，得2×5+3y-2=9，
因此，这个三元一次方程组的解为
你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.
探究新知
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
探究新知
解下列三元一次方程组：（1）
解：
①
②
③
类似二元一次方程组的“消元”,把“三元”化成“二元”.
巩固练习
③-①,得 ④
②与④组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得
所以原方程组的解为
解下列三元一次方程组：（2）
解：
①
②
③
巩固练习
②2-③，得 ④
①与④组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入③，得
所以原方程组的解为
解下列三元一次方程组：（3）
解：
①
②
③
巩固练习
③-②，得 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把 代入③，得
所以这个三元一次方程组的解为
解下列三元一次方程组：（4）
解：
①
②
③
巩固练习
①+②，得 ④
②+③，得 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入③，得
所以原方程组的解为
在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
探究新知
考点 2
利用三元一次方程组求字母的值
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把a=3，b=-2代入①，得c=-5.
探究新知
因此a,b,c的值分别为3，-2，-5.
1.已知 是方程组
的解,则a+b+c的值是_______.
3
巩固练习
巩固练习
2.在等式 z=ax＋by＋c中,当x=1时,y=2时,z=8;当x=2时,y=1时，z=5;当x=-1时,y=-1时，z=4. 求a,b,c的值.
解：
由题意，得
②-①，得
②-③，得
④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得
所以a,b,c的值分别为-1,2,5.
一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 .如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.
考点 3
探究新知
三元一次方程组的应用
分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组.
探究新知
解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.
解这个方程组，得
因此这个三位数是473.
根据题意,得
①
②
③
1.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 等于丙数的 .求这三个数.
巩固练习
解:设甲数为x，乙数为y，丙数为z.
解得
根据题意,得
答:甲数为10，乙数为15，丙数为10.
2.某农场300名职工耕种51公顷土地,计划种植水稻,棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表:
巩固练习
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正好够用
解:设安排x公顷种水稻,y公顷种棉花,z公顷种蔬菜.
根据题意,得
答:安排15公顷种水稻,20公顷种棉花,16公顷种蔬菜.
巩固练习
解得
小明妈妈到文具店购买三种学习用品,其单价分别为2元、4元、6元,购买这些学习用品需要56元,经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交,结果只用了50元就买下了这些学习用品,则小明妈妈的购买方法有(　　)
A.6种　　　　B.5种　　　　C.4种　　　　D.3种
解析：设分别购买学习用品的数量为x,y,z.
由题意, 得 即
①-②得y+2z=16,所以y=16-2z③,所以满足x,y,z之间关系的取值可以是:
当y=2时,z=7,x=3.当y=4时,z=6,x=2.当y=6时,z=5,x=1.
所以小明妈妈有3种不同的购买方法.
D
链接中考
1.方程 　　　，3x＋y＋z＝0,2x＋8y＝1,6x＋y－2z＝0，x2－y＋1＝0中，三元一次方程的个数是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1个　　 B. 2个　
C. 3个 　 D. 4个
B
基础巩固题
课堂检测
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
课堂检测
3.解方程组
则x＝_____，y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
解析：通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y，
②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
6
8
3
课堂检测
若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，
求a，b，c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组
解得
能力提升题
课堂检测
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x,y,z.
由题意，得
答：原三位数是368.
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
拓广探索题
课堂检测
解得
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用
课堂小结
含有三个未知数
每个方程中含未知数的项的次数都是1
一共有三个方程
通过代入消元法或加减消元法转化为二元一次方程组
含有未知数的式子都是整式
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习10.4 三元一次方程组的解法
一、教学目标
【知识与技能】
1.了解三元一次方程组的概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.
3.会解较复杂的三元一次方程组.
【过程与方法】
在学习解三元一次方程组的过程中，感受消元转化的思想
【情感态度与价值观】
让学生学会“举一反三”的学习方法，体会数学的魅力.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.三元一次方程组的解法.
2.三元一次方程组的应用.
【教学难点】
三元一次方程组的应用.
五、课前准备
教师：课件.
学生：铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2）
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
化二元为一元
【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？
（二）探索新知
1.出示课件4-7，探究三元一次方程组的概念
教师出示问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2，按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.那么这支球队胜、平、负各多少场？
教师问：题目中有几个条件？
学生答：题目中共有3个条件.
教师问：问题中有几个未知量？
学生答：问题中有3个未知量.
教师问：题目中有哪些数量关系呢？
教师依次展示学生答案：
学生1答：胜的场数+平的场数+负的场数=22.
学生2答：胜的分数+平的分数+负的分数=47.
学生3答：胜的场数=负的场数×4+2.
教师总结如下：
（1）胜的场数+平的场数+负的场数=22.
（2）胜的分数+平的分数+负的分数=47.
（）胜的场数=负的场数×4+2.
教师问：你能利用表格表示上面的数量关系吗？
学生答：如下表所示.
比赛结果 场数 分数
胜 x 3x
平 y y
负 z 0
合计 22 47
注 胜的场数比负的场数的4倍多2，即x=4z+2
教师问：观察上表，你能得到几个方程呢？
师生共同解答.
在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y， z，根据题意,可以得到下列三个方程:x+y+z=22,3x+y=47,x=4z+2.
教师问：根据等量关系你能列出方程组吗？
学生答：对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成
教师问：这个方程组含有几个未知数呢？
学生答：这个方程组中含有3个未知数.
教师问：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是几呢？
学生答：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是1.
教师问：仿照前面学习的二元一次方程组的定义，你能给这个方程组下定义吗？
学生答：含有三个一次方程并且有三个一次未知数的方程组，叫作三元一次方程组.
总结点拨：（出示课件8）
由此，我们得出三元一次方程组的定义
含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
考点1：三元一次方程组的判断
下列是三元一次方程组的是( )（出示课件9）
A. B.
C. D.
学生独立思考后，师生共同解答.
解析：A选项中，方程x +y＝7中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中不是整式，故B选项不是；C选项中,方程xyz＝1中含未知数的项的次数为3，不符合三元一次方程组的定义，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
答案：D
总结点拨：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.
2.出示课件11，探究三元一次方程组的解法
教师问：类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 怎样解三元一次方程组呢
例如：
学生答：通过消元转化一元一次方程来解答.
教师问：能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
学生答：可以的，利用代入法和加减法把“三元”化成“二元”，再像以前解二元一方程组一样，通过消元转化为一元一次方程来解答即可.
考点2：三元一次方程组的解法
解三元一次方程组（出示课件12-13）
学生独立思考后，师生共同解答.
分析：方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一个只含x, z的方程, 与方程①组成一个二元一次方程组.
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④
与④组成方程组
解这个方程组，得
把 x＝5，z＝-2 代入②，得y=.
因此，三元一次方程组的解为
总结点拨：（出示课件14）
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
出示课件15-18，学生自主练习后口答，教师订正.
考点3：利用三元一次方程组求字母的值
在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5
时，y=60，求a，b，c的值.（出示课件19-20）
学生独立思考后，师生共同解答.
解:根据题意，得三元一次方程组
－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 a＝3，b＝-2 代入①，得c=.
因此a,b,c的值分别为3，-2，-5.
出示课件21-22，学生自主练习，教师给出答案.
考点4：三元一次方程组的应用
一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 .如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.（出示课件23）
学生独立思考后，师生共同解答.
分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组.
解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.（出示课件24）
根据题意,得
解这个方程组，得
因此这个三位数是473.
出示课件25-27，学生自主练习，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.
（三）课堂练习（出示课件28-33）
练习课件第28-33页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件34）
三元一次方程组 三元一次方程组的概念 含有三个未知数 含有未知数的式子都是整式 每个方程中含未知数的项的次数都是1 一共有三个方程
三元一次方程组的解法 通过代入消元法或加减消元法转化为二元一次方程组
三元一次方程组的应用
（五）课前预习
预习下节课11.1.1的相关内容.
知道不等式、不等式的解、解集、解不等式的定义
课后作业
1、教材第111页习题10.4.
2、七彩课堂第279页习题.
板书设计
1.知识梳理
三元一次方程组
2.考点讲解
考点1 考点2 考点3 考点4
教学反思
成功之处：本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力.
不足之处：解三元一次方程组，运算量大，变化较多，学生需要首先预判消去哪个未知数，所以在实际解题时容易出现消元选错未知数，重新消元，消元时出现符号错误，这些都是需要多练习多讲解的地方，还需要学生在课下多探究多找规律才能掌握.
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