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(共36张PPT)
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
人教版 数学 七年级 下册
新疆是我国棉花的主要产地之一，近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
导入新知
导入新知
那么怎样解这个二元一次方程组呢？
（1）如果设租用了x台大型采棉机，那么就租用了
(6-x)台小型采棉机.
可得一元一次方程2x+(6-x)=8.
（2）如果设租用了x台大型采棉机，租用了y台小型采棉机.
可得二元一次方程组
1.掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤.
2.了解解二元一次方程组的基本思路.
学习目标
3.初步体会化归思想在数学学习中的运用.
一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g？
探究新知
知识点1
代入消元法解二元一次方程组
+
＝200
x
y
＝
+ 10
x
y
+10
+
＝200
x
x
探究新知
x + y = 200
y = x + 10
(x+10)
x +( x +10) = 200
①
②
x = 95
y = 105
∴方程组 的解是
y = x + 10，
x + y = 200
x = 95，
y =105.
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想.
转化
探究新知
求方程组解的过程叫作解方程组.
解二元一次方程组的基本思路“消元”
二元一次方程组
一元一次方程
消元
转化
用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.
探究新知
解方程组
2x+3y=16， ①
x+4y=13 .②
解：由② ，得x=13 - 4y. ③
将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16.
解这个方程，得 y=2.
把y=2代入③ ，得x=5.
所以这个方程组的解是
x=5，
y=2.
探究新知
考点 1
利用代入消元法解较简单的二元一次方程组
探究新知
归纳总结
解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
巩固练习
（1）
①
②
用代入法解下列方程组：
解：
由①，得 ③
把③代入②，得
解这个方程，得
把 代入③，得
所以这个方程组的解是
巩固练习
（2）
①
②
用代入法解下列方程组：
解：
由② ，得 ③
把③代入①，得
解这个方程，得
把 代入③，得
所以这个方程组的解是
巩固练习
（3）
①
②
用代入法解下列方程组：
解：
由② ，得 ③
把③代入①，得
解这个方程，得
把 代入③，得
所以这个方程组的解是
巩固练习
（4）
①
②
用代入法解下列方程组：
解：
由① ，得 ③
把③代入②，得
解这个方程，得
把 代入③，得
所以这个方程组的解是
解方程组
2x-5y=-11， ①
9x+7y=39 . ②
分析：方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②.
探究新知
考点 2
利用代入消元法解较复杂的二元一次方程组
探究新知
二元一次方程组
消去
一元一次方程
变形
代入
解得
解得
3
y
=
代入消元法的思路
2x-5y=-11，
9x+7y=39 .
2x-5y=-11
9x+7y=39
用
代替
，消去未知数
解方程组
2x-5y=-11， ①
9x+7y=39 . ②
解：由① ，得 . ③
将③代入② ，得 .
解这个方程，得 y=3.
把y=3代入③ ，得x=2.所以这个方程组的解是
x=2，
y=3.
探究新知
解这个方程组时，可以先消去y吗？
探究新知
方法点拨
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
巩固练习
（1）
①
②
用代入法解下列方程组：
解：
由① ，得 ③
把③代入②，得
解这个方程，得
把 代入③，得
所以这个方程组的解是
巩固练习
（2）
①
②
用代入法解下列方程组：
解：
由① ，得 ③
把③代入②，得
解这个方程，得
把 代入③，得
所以这个方程组的解是
快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
探究新知
列二元一次方程组解决实际问题
等量关系：送120件的报酬+揽45件的报酬=270，
送90件的报酬+揽25件的报酬=185.
知识点 2
解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元.
把③代入①，得
解这个方程，得x=1.5.
把x=1.5代入③，得y=2.
答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.
探究新知
根据题意，可列方程组
①
②

í
ì
120x+45y=270,
90x+25y=185.
由②，得
所以这个方程组的解是
探究新知
归纳总结
利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是：
（1）依题意，找________；
（2）根据等量关系设_______；
（3）列__________；
（4）解__________；
（5）检验并作答.
等量关系
未知数
方程组
方程组
累死我了
真的 !
他们各驮多少包裹
巩固练习
根据对话解答问题.
你还累 这么大的个才比我多驮两个.
哼,我从你背上拿来一个,我的包裹数就是你的2倍!
解：设马驼了x个包裹，牛驼了y个包裹.由题意得
解得
答：马驼了5个包裹，牛驼了7个包裹.
巩固练习
巩固练习
2.一种商品分装在大、小两种包装盒内，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶.大、小包装盒每盒各装多少瓶？
解：设大包装盒每盒装x瓶，小包装盒每盒装y瓶.
根据题意，得
解得
答：大包装盒每盒装20瓶，小包装盒每盒装12瓶.
解：
由①，得x＝4-y . ③
把③代入②，得2(4-y)-y=5.解这个方程，得y＝1.
把y=1代入③，得x=3.
解方程组：
链接中考
所以这个方程组的解是
1.二元一次方程组 的解是（ ）
D
课堂检测
基础巩固题
A．
C．
B．
D.
2.下列是用代入法解方程组
①
②
的开始
步骤，其中最简单、正确的是（ ）
A.由①，得y=3x-2 ③，把③代入②，得3x=11-2(3x-2).
B.由①，得 ③，把③代入②，得 .
C.由②，得 ③，把③代入①，得 .
D.把②代入 ①，得11-2y-y=2，(把3x看作一个整体)
D
课堂检测
3.把下列方程分别用含x的式子表示y，含y的式子表示x：
（1）2x－y＝3;　　　　（2）3x＋2y＝1.
课堂检测
解:
（1）
（2）
4.解方程组
3x+2y=14，①
x-y=3. ②
所以原方程组的解是
x=4，
y=1 .
解：由②，得x=y+3.③
将③代入① ，得3（y+3）+2y=14.
将y=1代入②，得 x=4 .
解这个方程，得y=1 .
课堂检测
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部20场比赛中得到35分，那么这个队胜、负场数分别是多少？
解：设胜的场数是x，负的场数是y.可列方程组
由①得y=20-x . ③
将③代入②,得 2x+20-x=35 .
解这个方程，得x=15.
将 x=15代入③，得y=5.所以这个方程组的解是
答：这个队胜15场、负5场.
①
②
能力提升题
课堂检测
李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
解: 设李大叔去年甲种蔬菜种植了x亩，乙种蔬菜种植了y亩.
根据题意，得
x+y=10, ①
2000x+1500y=18000. ②
拓广探索题
课堂检测
由①得y=10-x . ③
将③代入②,得 2000x+1500(10-x)=18000 .
解这个方程，得 x=6.
将x=6代入③，得y=4.
所以这个方程组的解是
答：李大叔去年甲种蔬菜种植了6亩，乙种蔬菜种植了4亩.
拓广探索题
课堂检测
代入消元法解二元一次方程组
基本思路“消元”
代入法解二元一次方程组的一般步骤
课堂小结
列二元一次方程组解决实际问题
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习10.2.1 代入消元法
一、教学目标
【知识与技能】
1. 掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤.
2. 了解解二元一次方程组的基本思路.
3. 初步体会化归思想在数学学习中的运用.
【过程与方法】
通过观察、验证、讨论、交流的学习方式经历代入法的消元的过程，体会到转化的作用，发展学生的抽象思维的能力，培养学生的表达能力和交流能力.
【情感态度与价值观】
1.了解消元思想和化未知为已知的化归思想，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信心.
2.培养学生的合作交流，自主探索的良好习惯.
3.在用方程组解决实际问题的过程中，体会数学的实用性.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
用代入法解二元一次方程组.
【教学难点】
探索如何用代入法将“二元”化为“一元”的消元过程.
五、课前准备
教师：课件.
学生：铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课（出示课件2-3）
新疆是我国棉花的主要产地之一，近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1h就完成了8棉田的采摘.如果大型采棉机1h完成2棉田的采摘，小型采棉机1h完成1棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
（1）如果设租用了x台大型采棉机，那么就租用了(6-x)台小型采棉机.
可得一元一次方程2x+(6-x)=8.
（2）如果设租用了x台大型采棉机，租用了y台小型采棉机.
可得二元一次方程组
那么怎样解这个二元一次方程组呢？
（二）探索新知
1.出示课件5-8，探究代入消元法解二元一次方程组
教师问：一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g？
学生答：根据下图,列式如下：把①带入②从而得到x+（x+10）=200.
教师问：你知道如何解吗？
学生答：解的步骤如下：
教师问：观察上面的解答过程，你发现了什么？
学生答：化未知为已知，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解答.
教师总结并提问：将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作消元思想.你能写出方程组的解答过程吗？
师生共同解答.
解：
把①代入②，得x+(x+10)=200③,解③得x=95，把x=95带入①得y=105，∴方程组的解是
教师问：前面我们学过求方程的解的过程叫作解方程，上面的过程叫做什么呢？
学生答：求方程组解的过程叫作解方程组.
教师总结：
解二元一次方程组的基本思路“消元”
二元一次方程组 一元一次方程
定义：用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.
考点1：利用代入消元法解较简单的二元一次方程组
解方程组 （出示课件9）
学生独立思考后，师生共同解答.
解：由② ，得x=13 - 4y. ③
将③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16，
解这个方程，得 y=2.
将y=2代入③ ，得x=5.
所以原方程组的解是
归纳总结：（出示课件10）
解二元一次方程组的步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
出示课件11-14，学生自主练习，教师给出答案.
考点2：利用代入消元法解较复杂的二元一次方程组
解方程组（出示课件15）
学生独立思考后，师生共同分析.
方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②.
代入消元法的思路：（出示课件16）
教师问：解这个方程组时，可以先消去y吗？（出示课件17）
学生答：解：由①，得③
将③代入② ，得
解这个方程，得
把代入③，得
所以这个方程组的解是
方法点拨：（出示课件18）
用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取未知数系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.
出示课件19-20，学生自主练习，教师给出答案.
2.出示课件21-22，探究列二元一次方程组解决实际问题
教师出示问题：快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元.如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
教师问：题目中有哪些等量关系？
学生1答：送120件的报酬+揽45件的报酬=270，
学生2答：送90件的报酬+揽25件的报酬=185.
教师总结如下：
等量关系：(1) 送120件的报酬+揽45件的报酬=270，
（2）送90件的报酬+揽25件的报酬=185.
教师问：你会解答这个问题吗？
学生独立思考后，师生共同解答.
解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元.
根据题意，可列方程组
由②，得
把③代入①，得
解这个方程，得
把代入③，得
所以这个方程组的解是
答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元.
归纳总结：（出示课件23）
利用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤是：
（1）依题意，找等量关系；
（2）根据等量关系设未知数；
（3）列方程组；
（4）解方程组；
（5）检验并作答.
出示课件24-26，学生自主练习，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.
（三）课堂练习（出示课件27-34）
练习课件第27-34页题目，约用时20分钟.
（四）课堂小结（出示课件35）
代入消元法解二元一次方程组 基本思路“消元”
代入法解二元一次方程组的一般步骤
列二元一次方程组解决实际问题
（五）课前预习
预习下节课10.2.2的相关内容.
知道加减消元法的定义和会用加减消元法解二元一次方程组.
课后作业
1、教材第99-100页习题10.2第1,2,4,5,8,9,12题.
2、七彩课堂第276页习题.
板书设计
1.知识梳理
代入法解二元一次方程组
2.考点讲解
考点1 考点2
教学反思
成功之处：回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力.
不足之处：对于未知数的系数都不是1的方程，在系数化为1时，学生不易掌握，移项时容易出符号的错误，这些都是需要加强的地方.
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