资源简介

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学 科 数学 年 级 七 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 下册第二章
课标要求 理解对顶角、余角、补角的概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的的余角相等、同角（等角）的的补角相等。理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。理解点到直线的距离的意义，能度量出点到直线的距离。掌握基本事实，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。认识同位角、内错角、同旁内角。理解平行线的概念，掌握基本事实，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，两直线平行，掌握基本事实，过一点有且只有一条直线与已知直线平行。掌握平行线的性质定理，两条直线平行被第三条直线所截，同位角相等，了解性质定理的证明。能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线，探索并证明平行线的判断定理，如果内错角相等（或同旁内角互补）那么两直线平行。了解平行于同一条直线的两条直线平行。
内容分析 本单元的教学内容为：相交线与平行线及其再现实生活中的运用，平面内两条直线的位置关系是‘空间与图形”所研究的基本问题，这些内容学生前两个阶段已经有所接触，本章在学生已有的知识和经验的基础上，继续研究平面内两条直线的位置关系，是学生开始接触几何逻辑推导法人初步，主要研究平面内两直线的位置关系，重点是垂直和平行的关系，难点是运用逻辑思维解决几何问题，以及对集合语言的组织与运用。主要教学内容包括：1、研究两直线相交的情景，探究两直线相交所成的角的位置大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念；垂直作为两直线相交的特殊情况，探索得出在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直…垂直线最短等概念，给出了点到直线的距离等概念。2、平行线的判断公理、判断定理、平行线的性质，理解判断定理的形成，判断定理的证法，学会运用平行线的性质，了解表达推理证明的方法，同位角，内错角同旁内角的概念，让学生知道公理与定理的区别，体验从实践中总结知识，从逻辑推理中扩展知识的过程。
学情分析 本单元的教学内容为在平面内两直线的位置关系：相交于平行，探究相交线的性质以及平行线的判断与性质。从整个初中看，本单元的知识是几何领域的基础知识。本章的知识是以前学习的直线和角的知识为解决问题的基本工具，又以小学学过的垂线的基本知识为基础，为以后学习三角形、四边形、多边形储备知识，所以本章知识是整个初中知识体系中空间与几何部分的必备的基础知识。
单元目标 教学目标知识与技能：学会相交线、平行线相关知识，并运用它解释、解决实际问题。过程与方法：经历相交线和平行线的运用过程，提高学生的数学运用意识。丰富对现实空间及图形的认知，建立初步的空间观念，发展形象思维。经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，的过程，发展合理的推理能力和初步的演泽推理能力情感态度与价值观：空间想象能力，让学生从识图开始，逐步培养学生识图，抽象，概括能力。逻辑推理能力，由初步掌握推理到逐步灵活运用各种推理方式的能力。思维能力，在文字语言，符合语言、图形语言之间进行相互转化，规范学生的演泽思想，归纳思想等经历合作学习，培养学生的合作交流的能力。（二）教学重点、难点重点是两直线垂直和两直线平行的关系的位置关系。难点是运用逻辑思维解决几何问题。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1两直线的位置关系（1）12两直线的位置关系（2）13两直线平行的条件（1）14两直线平行的条件（2）15用尺规作角16平行线的性质17平行线性质的运用18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务两直线的位置关系(1)1．知识与技能：在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。2．过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和初步的几何语言表达的能力。3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。1、观察图片，引导学生总结同一平面内两直线的位置关系：相交与平行。2、动手操作，思考四个问题。3、小组交流概括对顶角的概念和性质。4、动手操作，理解余角和补角的定义。5、两直线相交找出所有余角或补角。6、完成小试牛刀。7、验证同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。环节一：欣赏图片导入新课。环节二：探究对顶角定义及性质。环节三：探究余角、补角的定义与性质。两直线的位置关系(2) 1.知识与技能：(1)会用符号表示两直线垂直(2)能借助三角板、量角器、直尺和方格纸画垂线。(3)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的定义和有关性质，会进行简单的应用。2. 过程与方法：经历动手操作、观察交流、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。3．情感与态度：（1）从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理。（2）通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作、分享意识． 学生回忆旧知。2、学生观察图片，找出相交线.说说他们的共同特征。3、探究垂直的定义和书写方法。4、利用三角尺或量角器或方格纸画垂线。5、小组活动探究垂线的性质。6、了解点到直线的距离的实质就是垂线段。7、独立完成例题的学习，教师做必要的点拨。环节一：回顾旧知导入新课。环节二：探究两直线垂直的定义及性质。环节三：典例精析。探索两直线平行的条件（1）1、经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等判别直线平行的结论，并能解决一些问题。2、会识别由“三线八角”构成的同位角，会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。3、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。4、使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际生活的密切联系，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性。1、回顾知识，怎样验证两直线平行。2、认识三线八角，3、正确找出同位角。4、活动探究两直线平行的条件。5、活动探究平行线的性质1、2。6、完成例题的学习，注意答题的规范性和推理的严谨性。环节一：回顾旧知问题导入。环节二：探究同位角角相等两直线平行及性质。环节三：典例精析。探索两直线平行的条件（2）（一）教学知识点：1．会判断内错角、同旁内角。2．两直线平行的判断定理2、3。（二）能力训练要求：1．经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。2．经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些实际问题。（三）情感与价值观要求：创设情境，激发学生积极参与交流、学习，主动解决问题，鼓励其创造精神。1、回顾知识，2、探究内错角及内错角相等，两直线平行。3、探究同旁内角及同旁内角互补，两直线平行。4、小组活动，总结、归纳平行线的判断定理.5运用知识完成例题1、2的学习。环节一：回顾旧知问题导入。环节二：探究内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行。环节三：典例精析。用尺规作角1．能按照作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。2．能利用尺规作角的和、差、倍。3．在尺规作图过程当中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力。1、复习旧知，2、成课本44页观察与思考。3、用尺规作线段等于已知线段。4、用尺规作一个角等于已知角5、用尺规经过直线外一点作一条直线和已知直线平行。6、教师引导下完成例题1、2的学习。7、合作交流作图的根据是什么？环节一：回顾旧知问题导入。环节二：探究用尺规作角。环节三：典例精析。平行线性质知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。解决问题：通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神。复习旧知，完成4个习题，关键写出判断的根据是什么？2、动手量角。3、猜测平行线性质。4、验证平行线性质。5、小组讨论平行线的性质和平行线的判断的连线与区别。6、自学例题，培养学生有理有据的说理。环节一：回顾旧知环节二：探究用平行线的性质。环节三：典例精析。平行线性质的运用 1、知识目标：经历探索直线平行的性质的过程,掌握平行线的三条性质,并能用它们进行简单的推理和计算.
2、能力目标：经历观察、操作、想像、推理、交流等活动，进一步发展，推理能力和有条理表达能力。
3、情感目标：通过创设问题情境让学生主动参与，激发学生学习数学的热情和兴趣，增强学习数学的自信心。4、数学思考：人人学习有价值的数学。1、学生回顾旧知，注意语言叙述的完整性。如果……就……。2、结合例题，找到需要说明问题，再结合条件，得到解题思路，并书写过程。3、填写理由时不混淆平行线的判定和性质。4、体会添加辅助线对于解决的作用。环节一：回顾旧知环节二：典例精析。回顾与思考1．经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化,系统化。2．在丰富的情景中，抽象出平行线、相交线等基本几何模型，从而进一步熟悉和掌握几何语言,能用语言说明几何图形。锻炼学生的语言表达能力以及逻辑思维能力。3．通过多个角度去思考问题，既提高学生的识图能力，又可以开阔思维，提高分析问题、解决问题的能力。4．通过一题多变，一题多解，多解归一的练习，让学生学会挖掘题目资源，用发展的眼光看问题，观察运动中的异同， 揭示知识间内在联系1、展示预习作业。2、学生对各个模块在教师的引导下整理，并用知识解决实际问题。3、小组活动，探究用多种方法解决问题，发展学生思维，提高学习兴趣，增强信心。4、学生观察、思考，阐述推理过程。
《相交线与平行线》单元教学设计
活动一：欣赏图片导入新课
任务一：两直线的位置关系（1）
活动二：探究对顶角
活动三：探究余角和补角
活动一：知识回顾
活动二：探究两直线垂直的定义及性质
任务二：两直线的位置关系（2）
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探索内错角相等两直线平行及平行线的性质。
任务三：探索两直线平行的条件(1)（1）
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探索内错角相等两直线平行、同旁内角互补两平行线。
任务四：探索两直线平行的条件(2)（1）
相
交
线
与
平
行
线
活动三：典例精析
活动一：知识回顾导入新课
任务五：用尺规作角
活动二：用尺规作角。
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
活动二：探索平行线性质。
任务六：平行线的性质
活动三：典例精析
活动一：知识回顾
任务七：平行线的性质的运用
活动二：典例精析
活动一：知识架构
活动二：知识梳理。
任务八：回顾与思考
活动三：拓展提升。
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（北师大2024版）七年级
下
2.1两条直线的位置关系（2）
相交线与平行线
第二章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.知识与技能：
(1)会用符号表示两直线垂直
(2)能借助三角板、量角器、直尺和方格纸画垂线。
(3)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的定义和有关性质，会进行简单的应用。
2. 过程与方法：
经历动手操作、观察交流、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
3．情感与态度：
（1）从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心
和求知欲．激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理。
（2）通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维
的过程，培养大家的合作、分享意识．
知识回顾
（1）有一个公共顶点
（2）两个角的两条边都互为反向延长线
（1）有一个公共顶点（2）有一条公共边，另一边互为反向延长线
如果两个角的和是180 ° ，那么这两个 角互为补角。
同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。
对顶角：
邻补角：
如果两个角的和是90 °，那么这 两个角互为余角。
补 角：
余 角：
性 质：
知识回顾
同一平面上的两条直线有哪些位置关系
a
b
相交
a
b
平行
观察图2-5，你能找出相交线吗？他们有什么特殊的位置关系
新知讲解
新知讲解
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
2.垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直
b
O
α
a
新知讲解
3.垂直的书写形式：
A
B
C
D
O
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
基本推理：
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD（垂直的定义）
基本推理：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么∠AOD=90°。
∵ AB⊥CD （已知）
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
新知讲解
你能借助三角尺，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
你能借助量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
新知讲解
在方格纸上画垂线
新知讲解
你能用折纸的方法折出互相垂直的
直线吗，试试看吧！请说明理由。
新知讲解
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点p ,过P点作l的垂线.
4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
3移:移动三角板到已知点;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上
新知讲解
l
Q
P
则所画直线PQ是过点P的直线l的垂线.
新知讲解
如图，已知直线 l 和l上的一点P ,过P点作l的垂线.
P
Q
则所画直线PQ是过点P的直线l的垂线.
新知讲解
垂线的性质（1）:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
一点是指:直线外一点或直线上一点
注意:
过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
新知讲解
点P是直线m外一点，PO⊥m，O是垂足，A，B，C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
新知讲解
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成: 垂线段最短.
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。
垂线的性质（2）:
新知讲解
直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示
解:过P点作PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.
点到直线的距离：
P
l
A
l
P
A
典例精析
例1：如图：已知∠ACB＝90°若BC＝4cm， AC＝3cm，AB＝5cm， 1.点B到直线AC的距离等于
2.点A到直线BC的距离等于 。
3.A、B两点间的距离等于 。
4.你能求出点C到AB的距离吗？
你是怎样做的？小组合作交流.
4cm
3cm
5cm
∵AB×CD=AC×BC
∴5×CD=3×4
∴CD=2.4
点C到AB的距离2.4cm
新知讲解
例题2.如图，点M、N分别在直线AB、CD上，用三角板画图，
1)过M点画CD的垂线交CD于F点,
2)M点和N点的距离是线段____的长，
3)M点到CD的距离是线段____的长。
MN
MF
F
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D．54°
①②④
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若∠AOD=108°，则∠COB=
4．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由．
2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由．
解：（1）沿线段AB走，如图，理由：两点之间线段最短；
（2）沿垂线段BD走，如图，理由：垂线段最短
72°
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC =35°，OD平分∠BOE，OF平∠AOE．
（1）求∠FOE的度数；
（2）判断OF和OD的位置关系，并说明理由；
（3）请写出图中与∠AOD互补的角
55°
解：OF⊥OD,理由：
∠AOC=∠BOD=∠DOE=35°∠BOE=∠BOD+∠DOE=70°
∠AOE=180°-∠BOE=110° ∠EOF=100°÷2=55°
∠FOD=∠FOE+∠EOD=90°，∴OF⊥OD
（∠AOC，∠BOD，∠EOD）．
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6．如图，点O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠BOE=3∠COE,∠DOE=81°，求∠BOE，∠AOD的度数.
设∠COE=X 则∠BOE=3X
∠AOC=180°-4x ∠COD=90°-2x
∠DOE=∠DOC+∠COE即90°-2x+x=81°
解得X=9°∴∠BOE=27°，
∠AOC=180°-9°-27°=144°
∴∠AOD=144°÷2=72°．
综上可知∠BOE=27°，∠AOD=72°
课堂练习
7. 如图,点A,O,E在同一条直线上,OB,OC,OD都是射线,∠1=∠2,∠1与∠4互为余角.
(1)∠2与∠3有何关系 请说明理由.
(2)∠3与∠4有何关系 请说明理由.
(3)试说明:∠3与∠AOD互补.
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
课堂练习
解:(1)∠2与∠3互余.理由如下:
由点A,O,E在同一条直线上,知∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
由∠1与∠4互余,知∠1+∠4=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠2与∠3互余.
(2)∠3=∠4.理由如下:
由(1)知∠1+∠4=∠2+∠3,
∵∠1=∠2,所以∠3=∠4.
(3)由(2)知∠3=∠4,
∵等角的补角相等,∠4的补角是∠AOD,
∴∠3与∠AOD互补.
课堂总结
1、垂线的定义：
3、垂线的画法：1）放 2）靠 3）移4）画
5、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
2、垂线的表示： a⊥b或b⊥a
4、垂线的性质
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．
（1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB上分别画出P，Q两点的位置．
（2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出.
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
C
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
4．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
A
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
【连接AB交直线l与C，点C就是垃圾站的位置，理由两点之间线段最短】
作业布置
（2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路L上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置
（根据两点之间线段最短）
作业布置
（3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）

（先把B村向下平移河面宽个单位，得到C点，然后连接AC和河边的交点就是建桥的位置）
【综合拓展类作业】
作业布置
6.如图,直线EF与CD相交于点O,∠AOB=90°,OC平分∠AOF.
(1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度数;
(2)若∠AOE=30°,请直接写出∠BOD的度数;
(3)观察(1)(2)的结果,猜想∠AOE和∠BOD的数量关系,并说明理由.
作业布置
作业布置
作业布置
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
点到直线的距离=垂线段的长度
垂直线
Thanks!
2
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《相交线与平行线》分课时教学设计
第1课时两直线的位置关系（2）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 相交线和平行线在生活中随处可见，同时，它们又构成同一平面内两条直线位置的基本关系。本节课的教学内容两条直线互相垂直是相交线中的特殊情况，是学生学习平面几何的基础和重点之一，是学生学会运用几何语言的起步阶段，对养成学生良好而规范的几何语言表达能力有着举足轻重的作用，同时它也是数学学习中从一般到特殊的一个过程。本节课从观察生活中的图片入手，引出两条直线互相垂直的概念，给出两条直线互相垂直的符号表示，通过画、折等操作活动进一步丰富对两条直线互相垂直的认识，引导学生探索两条直线互相垂直的一些性质，给出点到直线的距离的概念，并介绍在实际生活中的应用。
学习者分析 1、七年级学生好奇心强，对新鲜事物特别敏感，但注意力容易分散，因此，教学过程中创设的问题情境应较生动活泼，直观形象，从而引起学生的有意注意。 2、在前面的学习中，学生已经认识了平行线、相交线、角；在七年级上册中，已经对两点确定一条直线、角及其分类有了一定的认识；上一节课又进一步学习了两直线的位置关系、两角互补、互余等概念，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。
教学目标 1.知识与技能： (1)会用符号表示两直线垂直 (2)能借助三角板、量角器、直尺和方格纸画垂线。 (3)通过折纸、动手操作等活动探究归纳垂直的定义和有关性质，会进行简单的应用。 2. 过程与方法： 经历动手操作、观察交流、简单说理等活动，进一步发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力。 3．情感与态度： （1）从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心 和求知欲．激发学生学习数学的兴趣，体会“数学来源于生活反之又服务于生活”的道理。 （2）通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维 的过程，培养大家的合作、分享意识．
教学重点 1、会用符号表示两直线垂直，并能借助三角板、直尺和方格纸画垂线； 2、能理解垂直的两个性质并会应用。
教学难点 初步尝试进行简单的推理
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 对顶角：（1）有一个公共顶点。 （2）两个角的两条边都互为反向延长线。 补角：如果两个角的和是180 ° ，那么这两个角互为补角。 余角：如果两个角的和是90 °，那么这 两个角互为余角。 性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 邻补角：（1）有一个公共顶点。（2）有一条公共边，另一边互为反向延长线。 同一平面上的两条直线有哪些位置关系 学生活动1： 学生回忆旧知 活动意图说明： 复习两条直线的位置关系，垂直概念是在相交的基础上得出的。环节二：探垂线定义及其性质教师活动2： 观察图2-5（课本），你能找出相交线吗？他们有什么特殊的位置关系？ 2、垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。 3、垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直 4、垂直的书写形式： 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时， AB⊥CD，垂足为O。 基本推理：∵∠AOD=90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么∠AOD=90°。 基本推理：∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 5、如何画垂线 ①你能借助三角尺，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ ②你能借助量角器，在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？ ③在方格纸上画垂线 ④你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。 垂线的画法： ①放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; ②靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上 ③移:移动三角板到已知点; ④画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线 如图，已知直线 l 和l外的一点p ,过P点作l的垂线 如图，已知直线 l 和l上的一点P ,过P点作l的垂线. 6、探究垂线的性质 垂线的性质（1）:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 一点是指:直线外一点或直线上一点 注意:过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线. 小组活动：点P是直线m外一点，PO⊥m，O是垂足，A，B，C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？ 垂线的性质（2）: 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成: 垂线段最短. 垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。 例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度叫做 点P到直线l的距离. 例：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示 解:过P点作PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.学生活动2： 学生观察图片，找出相交线.说说他们的共同特征。 探究垂直的定义和书写方法。 利用三角尺或量角器或方格纸画垂线。 小组活动探究垂线的性质。 了解点到直线的距离的实质就是垂线段。 活动意图说明：通过观察生活中的图片，引出两条直线互相垂直的概念。通过画、折的方法进一步加深学生对垂线的认识及理解。将生活中的图形抽象成数学图形，利于学生总结归纳出垂直性质的理解和掌握。环节三：典例精析教师活动3： 例1：如图：已知∠ACB＝90°若BC＝4cm， AC＝3cm，AB＝5cm， 1.点B到直线AC的距离等于4cm。 2.点A到直线BC的距离等于3cm。 3.A、B两点间的距离等于5cm。 4.你能求出点C到AB的距离吗？ 你是怎样做的？小组合作交流. ∵AB×CD=AC×BC ∴5×CD=3×4 ∴CD=2.4 点C到AB的距离2.4cm 例题2.如图，点M、N分别在直线AB、CD上，用三角板画图，
1)过M点画CD的垂线交CD于F点,
2)M点和N点的距离是线段MN的长，
3)M点到CD的距离是线段MP的长。学生活动3： 独立完成例题的学习，教师做必要的点拨。活动意图说明： 设计例题帮助学生巩固了垂直，点到直线的距离，垂直的表示等重点知识
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ B ） A．26° B．36° C．44° D．54° 2．如图，点C是射线OA上一点，过C作，垂足为D，作，垂足为C，交OB于点E．给出下列结论：①是的余角；②；③图中互余的角共有3对；④．其中正确结论有 ①②④． 第1题 第2题 第3题 3．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则 72°______． 4．如图所示，火车站，码头分别位于A，B两点，直线a，b分别表示铁路与河流． （1）从火车站到码头怎样走最近？请画图并说明理由． （2）从码头到铁路怎样走最近？请画图并说明理由． 解：（1）沿线段AB走，如图，理由：两点之线段最短； （2）沿垂线段BD走，如图，理由：垂线段最短 选做题： 5．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC =35°，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE． （1）求∠FOE的度数；(55°) （2）判断OF和OD的位置关系，并说明理由； 解：OF⊥OD,理由： ∠AOC=∠BOD=∠DOE=35°∠BOE=∠BOD+∠DOE=70° ∠AOE=180°-∠BOE=110° ∠EOF=100°÷2=55° ∠FOD=∠FOE+∠EOD=90°，∴OF⊥OD （3）请写出图中与∠AOD互补的角（∠AOC，∠BOD，∠EOD）． 6．如图，点是直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠BOE=3∠COE,∠DOE=81°，求∠BOE，∠AOD的度数. 解：设∠COE=X 则∠BOE=3X ∠AOC=180°-4x ∠COD=90°-2x ∠DOE=∠DOC+∠COE即90°-2x+x=81° 解得X=9°∴∠BOE=27°， ∠AOC=180°-9°-27°=144° ∴∠AOD=144°÷2=72°． 综上可知∠BOE=27°，∠AOD=72° 【综合拓展类作业】 7. 如图,点A,O,E在同一条直线上,OB,OC,OD都是射线,∠1=∠2,∠1与∠4互为余角. (1)∠2与∠3有何关系 请说明理由. (2)∠3与∠4有何关系 请说明理由. (3)试说明:∠3与∠AOD互补. 解:(1)∠2与∠3互余.理由如下: 由点A,O,E在同一条直线上,知∠1+∠2+∠3+∠4=180°. 由∠1与∠4互余,知∠1+∠4=90°, ∴∠2+∠3=90°, ∴∠2与∠3互余. (2)∠3=∠4.理由如下: 由(1)知∠1+∠4=∠2+∠3, ∵∠1=∠2,所以∠3=∠4. (3)由(2)知∠3=∠4, ∵等角的补角相等,∠4的补角是∠AOD, ∴∠3与∠AOD互补.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄． （1）设汽车行驶到P点位置时，离村庄M最近，行驶到Q点位置时，离村庄N最近，请你在AB上分别画出P，Q两点的位置． （2）设汽车行驶到R点位置时，离村庄M与村庄N的距离和最短，请你在AB上分别画出. 2．在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为（C ） A． B． C．或 D．或 3．如图，直线AB、CD相交于点O，，若，则等于（ C ） A． B． C． D． 4．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ A ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 选做题： 5．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题入手进行探索 【回顾】 （1）如图①，、是公路两侧的两个村庄.现要在公路上修建一个垃圾站，使它到、两村庄的路程之和最小，请在图中画出点的位置，并说明理由 【连接AB交直线l与C，点C就是垃圾站的位置，理由两点之间线段最短】 【探索】 （2）如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路L上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置 （根据两点之间线段最短） （3）如图③，A、B是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到B村的总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹） 【综合拓展类作业】 6.如图,直线EF与CD相交于点O,∠AOB=90°,OC平分∠AOF. (1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度数; (2)若∠AOE=30°,请直接写出∠BOD的度数; (3)观察(1)(2)的结果,猜想∠AOE和∠BOD的数量关系,并说明理由. 解:(1)因为∠AOE+∠AOF=180°,∠AOE=40°, ∴∠AOF=180°-∠AOE=140°. ∵OC平分∠AOF, ∴∠AOC=∠AOF=×140°=70°. ∵∠BOD+∠AOB+∠AOC=180°,∠AOB=90°, ∴∠BOD=180°-∠AOC-∠AOB=180°-70°-90°=20°. (2)∠BOD=15°. (3)猜想:∠BOD=∠AOE.理由如下: ∵OC平分∠AOF,所以∠AOC=∠AOF. ∵∠AOE+∠AOF=180°, ∴∠AOF=180°-∠AOE. ∵∠BOD+∠AOB+∠AOC=180°,∠AOB=90°, ∴∠BOD+90°+∠AOF=180°, ∴∠BOD=180°-90°-∠AOF =90°-∠AOF=90°-(180°-∠AOE) =90°-90°+∠AOE=∠AOE.
教学反思
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