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7.3定义、命题、定理 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第七章“相交线与平行线”7.3定义、命题、定理，内容包括：通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义；结合具体实例，会区分命题的题设和结论；知道证明的意义和证明的必要性；会用综合法的证明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
2.内容解析
本节课从以往的学习内容出发，指出了数学对象的定义和命题的概念，包括命题的结构和命题的真假；再从真命题出发，指出了定理和证明的概念，并以“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，呈现了一个完整的用符号语言表述的证明过程，来说明什么是证明．并结合一个反例，说明“相等的角是对顶角”是假命题，让学生理解通过反例判断假命题的方法．
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：对命题结构的认识和理解证明要步步有据.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义；结合具体实例，会区分命题的题设和结论.
（2）知道证明的意义和证明的必要性；知道数学思维要合乎逻辑；会用综合法的证明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
（3）经历几何命题的证明过程，增强推理能力，会用数学的思维思考现实世界；经历确立几何命题的过程，体会数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，会用数学的语言表达现实世界．
2.目标解析
（1）从学生以往的学习内容出发，引导学生观察、分析，归纳出定义和命题的特征，通过对不同命题的分析，让学生准确指出题设和结论，加深对命题结构的理解，为后续学习命题的真假判断和证明奠定基础.
（2）以简单的几何命题证明为例，详细讲解综合法的证明格式，从题设出发，一步步推导出结论，使学生理解证明的逻辑过程和书写规范.同时，通过给出一些假命题，让学生寻找反例，明白反例在判断命题真假中的作用，培养学生严谨的思维习惯.
（3）通过巩固练习让学生经历完整的证明过程，从已知条件出发，运用已学的定理、定义进行推理，逐步提升学生的逻辑推理能力.在命题的提出和证明过程中，引导学生用准确、精炼的数学语言进行表述，强化学生数学语言表达能力，体会数学与现实世界的联系，学会用数学思维解决实际问题.
三、教学问题诊断分析
1.证明思路的构建：在证明过程中，学生往往难以从已知条件出发，找到合适的定理和方法来推导结论，缺乏逻辑推理的方向感.尤其是对于较为复杂的几何图形，学生可能无法准确识别图形中的隐含条件和等量关系，导致证明过程中断.
2.反例的构造：对于假命题，学生可能不知道如何快速、有效地构造反例，缺乏对反例本质的理解，即找到满足题设但不满足结论的具体情况.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：掌握综合法证明的逻辑顺序和方法，能够清晰、严谨地进行书面证明表达.
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题 根据以往学过的内容填空.
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
（2）使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解；
（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个角的平分线；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.
这样的描述称为数学对象的定义.它揭示了数学对象的本质特征.
追问 你能再举出一些学过的定义的例子吗？
（1）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值.
（2）求几个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂.
（3）由数或字母的积组成的代数式，叫作单项式.
（4）含有未知数的等式叫作方程.
（5）有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.
（6）两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线.
设计意图：让学生举出一些学过的定义的例子，能促使学生进一步理解定义所揭示的数学对象的本质属性，强化对定义概念的认识.同时，举例的过程是对已学知识的一次回顾和巩固.学生所举的例子也是教师了解学生对定义掌握程度的一个重要依据.
（二）合作探究
探究1 判断下列语句是否正确.
（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；（√）
（2）对顶角相等；（√）
（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（√）
（4）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（√）
（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.（×）
像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句叫作命题.
被判断为正确(或真)的命题叫作真命题，被判断为错误(或假)的命题叫作假命题.
追问1 判断下列语句是不是命题，如果是，请判断它们的真假.
（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.（真命题）
（2）取线段AB的中点C.（不是命题）
（3）如果两个角互补，那么它们是邻补角.（假命题）
（4）两点确定一条直线.（真命题）
（5）当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行.（假命题）
（6）过直线外一点作已知直线的垂线.（不是命题）
（7）对顶角相等吗？（不是命题）
追问2 你能再举出一些学过的真命题的例子吗？
（1）互为相反数的两个数相加得0.
（2）两点之间，线段最短.
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）同位角相等，两直线平行.
（5）两直线平行，内错角相等.
......
探究2 请同学们观察下列命题，并思考命题是由几部分组成的.与同伴交流.
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；
（3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（4）同位角相等，两直线平行.
（5）如果两个角互补，那么它们是邻补角.
数学中的命题常可以写成“如果......那么......”的形式.命题由题设和结论两部分组成.
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
探究2 你能将下列命题写成“如果+题设，那么+结论”的形式吗？
（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；
（2）对顶角相等；
（3）互为相反数的两个数的绝对值相等；
（4）绝对值相等的两个数互为相反数；
（5）两直线平行，内错角相等.
改写后：
（1）如果在一个等式的两边加上同一个数，那么所得的结果仍相等；（真命题）
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（真命题）
（3）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；（真命题）
（4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数；（假命题）
（5）如果两条直线平行，那么内错角相等.（真命题）
追问 从题设和结论的角度，如何理解真命题和假命题？
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是真命题.
如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是假命题.
巩固练习：指出下列命题的题设和结论.
（1）若a=b，则5a=5b.
（2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°.
（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.
（4）两直线平行，同位角相等.
探究3 下列真命题，它们的正确性是经过推理证实的吗？
（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（关于平行线的基本事实）
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（经过推理证实）
（3）同位角相等，两直线平行；（判定两条直线平行的基本事实）
（4）内错角相等，两直线平行.（经过推理证实）
(1)(3)的正确性是经过长期实践和验证，被公认为正确且无需证明的，这样的真命题叫作基本事实.基本事实是推理的原始依据.
(2)(4)的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.
追问 你能再举出一些学过的基本事实和定理的例子吗？
基本事实：
（1）等式两边可以交换.
（2）相等关系可以传递.
（3）两点确定一条直线.
（4）两点之间线段最短.
（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直.
......
定理：
（1）同角(等角)的余角相等.
（2）同角(等角)的补角相等.
（3）对顶角相等.
（4）同旁内角互补，两直线平行.
（5）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
......
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫作证明.
设计意图：理解命题的结构有助于学生搭建起推理证明的逻辑框架.题设为学生提供了推理的出发点和依据，结论则明确了推理的方向和终点，使学生在进行推理证明时能够有条不紊地组织思路，避免盲目猜测和无目的的尝试，从而更高效地完成证明过程.
（三）典例分析
例1 证明命题：“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”.
转化 自然语言→符号语言
如图，已知直线a⊥b，b∥c.求证a⊥c.
证明：∵a⊥b（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义），
∵b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=90°（等式的基本事实）.
∴a⊥c（垂直的定义）. 例1图 例2图
证明的每一步推理都要有依据，不能想当然. 依据是已知条件、定义、基本事实、定理等.
例2 判断命题“相等的角是对顶角”的真假，并说明理由.
解：“相等的角是对顶角”是假命题.
反例：如图，OC是∠AOB的平分线，
∠1=∠2，但它们不是对顶角.
判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
设计意图：推理证明的过程需要学生依据已知条件、定理、定义等，按照一定的逻辑顺序进行推导，得出结论.在这个过程中，学生的思维会变得更加严谨、有条理，并学会从复杂的问题中梳理出清晰的思路，分析问题和解决问题的能力也会得到提升.
（四）巩固练习
1. 在下面的括号内填上推理的依据.
如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°.
证明：∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
2. 命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由，如果不是，请举出反例.
解：“同位角相等”是错误的.
反例：如图，∠ABC和∠DEF是同位角，
但它们不相等.
3. 完成下面的证明.
（1）如图（1），AB∥CD，BC∥ED.求证∠B+∠D=180°.
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C (两直线平行，内错角相等)，
∵BC∥ED，
∴∠C+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠B+∠D=180°.
（2）如图（2），∠ABC=∠A’B’C’，BD，B’D’分别是∠ABC，∠A’B’C’的平分线. 求证∠1=∠2.
证明：∵BD，B’D’分别是∠ABC，∠A’B’C’的平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠A’B’C’(角平分线的定义).
又 ∠ABC=∠A’B’C’，
∴∠ABC=∠A’B’C’，
∴∠1=∠2(等式的基本事实).
4. 完成下面的证明．
如图，AB∥EF，∠D＝∠E，∠B+∠D＝180°．求证：BC∥DE．
证明：∵∠D＝∠E(已知)；
∴CD∥EF(内错角相等，两直线平行)；
∵AB∥EF(已知)；
∴AB∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)；
∴∠B＝∠C(两直线平行，内错角相等)；
∵∠B+∠D＝180°(已知)；
∴∠C+∠D＝180°(等式的基本事实)；
∴BC∥DE(同旁内角互补，两直线平行)．
设计意图：以填空的形式引导学生书写几何证明题的过程，相比直接让学生写出完整的证明过程，具有降低难度，增强信心，引导思路，规范逻辑，及时反馈，突出重点，加深理解等优势.
归纳总结
感受中考
1.(2022 梧州、盘锦、绥化)下列命题中，假命题是①⑤.
①﹣2的绝对值是﹣2；
②对顶角相等；
③如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
⑤如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等.
2. (2021 金华)某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（C）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
3. （2019 常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（A）
A．﹣2 B．﹣1/2 C．0 D．1/2
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
设计意图：本节课知识点较多，在小结阶段加入思维导图，可以简洁明了地将本节课繁多的知识点进行整合，清晰地展示出各个知识点之间的层次关系、逻辑关系和内在联系，帮助学生将碎片化的知识构建成一个完整的知识体系，使他们对本节课的知识结构有更全面、更深入的理解.
另外，思维导图的可视化特点更符合大脑的记忆规律，能够给学生留下更深刻的视觉印象，便于学生更好的记忆和回顾知识.通过图形和线条的连接，学生可以更直观地看到知识的脉络，从而更容易在脑海中形成长期记忆.
（八）布置作业
1.必做题：习题7.3 第1题，第2题.
2.探究性作业：习题7.3 第4题.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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