资源简介

第2课时 垂直
教学目标
课题 第2课时 垂直 授课人
素养目标 1.理解垂线、垂线段的概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线、垂线段。2.掌握垂直的概念，能根据垂直求出角的度数。3.掌握垂线、垂线段的性质，理解点到直线的距离，会判断图形中点到直线的距离，并会利用所学知识进行简单的推理。
教学重点 垂线的性质及点到直线的距离的定义。
教学难点 应用垂线的性质解决实际问题。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾导入，引出新课 【回顾引入】问题1 同一平面内的两条直线有哪些位置关系 你能找到生活中的一些实例吗 平行或相交。如图。问题2 同一平面内的两条直线相交，一条直线不动，另一条直线转动时，观察特殊的位置关系。转到这里两条直线是什么关系呢？下面就让我们一起进入今天这节课—垂直的学习！ 【教学建议】问题1由学生思考后与同伴交流，教师可请学生代表发言。问题2教师可通过课件或学具动态研究两直线相交成一定角度直到垂直的过程，从而给学生直观的印象。
设计意图
通过回顾同一平面内的两条直线的位置关系，得出相交时两直线的特殊关系——垂直，从而引出新课。
活动二：操作探究，获取新知 探究点1 垂直的定义及表示问题1 观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？学生自由回答。 【教学建议】教师需提醒学生注意：1.两条线段互相垂直是指这两条线段所在
设计意图
从观察生活中的图片入手，引出两条
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直线互相垂直的符号表示，再用例题和对应训练强化对垂直定义的理解。 概念引入：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。问题2 如何表示两条直线互相垂直呢？通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。如图①，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD。其中，点O是垂足。如图②，直线l与直线m垂直，记作l⊥m。其中，点O是垂足。追问 将图①中的信息转化为几何语言是什么呢？所以，垂直的定义既是垂直的性质也是垂直的判定。例 （教材P37思考·交流）（1）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗 为什么 （2）以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗 你知道她每一步的依据吗 与同伴进行交流。（3）如果OC⊥AB那么∠AOC=∠BOC吗 为什么 与同伴进行交流。解：（1）由学生自由作答。（2）小颖的思考过程是正确的。由∠AOC=∠BOC（已知），且∠AOC+∠BOC=180°（平角的定义），可得∠AOC=∠BOC=90°（等量代换），所以OC⊥AB（垂直的定义）。（3）因为OC⊥AB，所以∠AOC=90°，∠BOC=90°（垂直的定义）。所以∠AOC=∠BOC。 的直线互相垂直。2.问题2图①的两条互相垂直的直线，一条是水平的，另一条是铅直的，而图②中的两条互相垂直的直线，既没有水平的也没有铅直的，目的是突出两条直线互相垂直概念中“相交成直角”这个关键，避免学生对垂直的位置关系的认识产生误解。另外，①②两幅图分别对应直线的两种表示方法（大写字母与小写字母）。【教学建议】教师可总结：判断两直线（线段、射线所在直线）互相垂直，主要依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四个角中有一个角是直角即可。
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【对应训练】如图，AB⊥CD，垂足为O，∠COF=56°，求∠AOE的度数。解：因为AB⊥CD（已知），所以∠COB=90°（垂直的定义）。所以∠BOF=∠COB-∠COF=90°-56°=34°。所以∠AOE=∠BOF=34°（对顶角相等）。
设计意图 探究点2 垂线的画法问题1 问题1你能用折叠的方法折出互相垂直的直线吗？试试看。由学生分小组讨论，自由发挥。教师提供参考方法。用下面的方法可以折出互相垂直的线。问题2 如果只用直尺，你能画出图方格纸上已知直线的垂线吗？你还能再画出两条互相垂直的直线吗？由学生思考后，教师请代表在黑板上画。【对应训练】教材P39随堂练习第2题。 【教学建议】有两点需要注意：一是折痕要清晰；二是要保证①中折出的折痕在第②步中相互重合，以确保把平角二等分为两个直角，得到相互垂直的两条折痕。在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验。
通过折、画等活动，进一步丰富对两条直线互相垂直的认识。让学生经历思考、实践、猜想、动手验证等过程，不仅加深对“垂直”的理解，而且感受到“做数学”的乐趣，从而享受到成功的喜悦。
设计意图 探究点3 垂线段的性质及点到直线的距离Ⅰ. 垂线段的性质问题1 如图，点A在直线l上，你能用三角尺过点A画直线l的垂线吗？
通过操作活动，探索并了解
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有关两条直线互相垂直的一些性质以及点到直线的距离。 追问 你能画出多少条？一条。问题2 如果点A在直线l外呢？你是怎样做的？与同伴进行交流。追问 你能画出多少条？一条。师生共同总结：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。Ⅱ.点到直线的距离问题3 如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足。点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？学生有可能会拿尺量线段之后比较线段的大小，教师可追问：①线段PO，PA，PB，PC谁最短？线段PO最短。②你能用一句话表示这个结论吗？直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。概念引入：如图，过点A作直线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离。问题4 在问题3中，哪条线段的长度可以表示点P到直线l的距离？线段PO。【对应训练】教材P38～39随堂练习第1，3题。 【教学建议】教师需先让学生思考，在纸上操作后再与同伴交流。教师讲解的时候可边演示边提示画法：一放、二靠、三移、四画。
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活动三：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是两条直线互相垂直？垂足是什么？2.数学中如何表示两条直线互相垂直？3.网格图中如何画两条互相垂直的直线？4.如何过一点画已知直线的垂线？垂线的性质有哪些？5.什么是点到直线的距离？【知识结构】【作业布置】1.教材P39～40习题2.1第2，3，5，6，7，8题。2.相应课时训练。
板书设计 第2课时 垂直1.认识生活中的垂直。2.垂直有关概念。3.垂线的画法。4.垂线的性质。5.点到直线的距离。
教学反思 本节课通过复习两条直线的位置关系，为学习直线的垂直做铺垫。设置了动手操作的探究活动，在活动中让学生感知两条直线相互垂直的位置关系，让学生在轻松、愉快中自然地得到垂直的定义。教学中鼓励学生大胆探索新颖独特的解题思路和解题方法，提倡解题方法的多样性，并引导学生在与他人的交流中比较解题方法的异同，有利于提高学生的逻辑思维水平。
解题大招一 判断两直线的位置关系
若两直线相交，只需要求这两条直线相交所成的角的度数为90°，即可判断这两条直线垂直。
例1 如图，O为直线AB上一点，∠AOD∶∠BOD=3∶1，OD平分∠BOC，试判断AB与OC的位置关系。
分析：由∠AOD∶∠BOD=3∶1，可得∠BOD=45°。又由OD平分∠BOC，可得∠BOC=2∠BOD=90°，故OC⊥AB。
解：因为∠AOD∶∠BOD=3∶1，∠AOD+∠BOD=180°，
所以∠BOD=×180°=45°。
因为OD平分∠BOC，
所以∠BOC=2∠BOD=90°，
所以OC⊥AB。
解题大招二 利用垂直的定义求角的度数
当题目中出现两条直线垂直时，要注意这两条直线相交所成的四个角都是直角。
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD，垂足为O，且OF平分∠AOE。若∠BOD=20°，求∠EOF的大小。
分析：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，根据垂直求出∠AOF的度数，根据角平分线的定义即可求出答案。
解：因为∠BOD=20°，所以∠AOC=∠BOD=20°。
因为OF⊥CD，所以∠COF=90°。
所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-20°=70°。
因为OF平分∠AOE，所以∠EOF=∠AOF=70°。
培优点 垂线性质的应用
例 如图，一辆汽车在直线公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄。
（1）设汽车行驶到公路AB上点P的位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近。请在图中的公路AB上分别作出点P和点Q。
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近 在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远 （分别用文字表述你的结论）
分析：根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，分别过点M，N作直线AB的垂线段，垂足即为P，Q。把汽车看做一点（它是一个动点），汽车与点M的距离，汽车与点N的距离就是两点间的距离。
解：（1）过点M作MP⊥AB，垂足为P，过点N作NQ⊥AB，垂足为Q，点P，Q就是要作的两点（如图所示）。
（2）当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上时，汽车距离M,N两村庄都越来越近；在PQ这段路上时，汽车距离村庄N越来越近，距离村庄M越来越远。

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