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第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、补角和余角
教学目标
课题 第1课时对顶角、补角和余角 授课人
素养目标 1.初步理解平行线、对顶角、补角、余角的概念。2.会根据平行线、对顶角、补角、余角的概念去识别相应的图形。3.探索并掌握对顶角、补角和余角的性质，并能运用它们解决简单的实际问题。
教学重点 对顶角、补角和余角的概念和性质。
教学难点 通过简单的推理，归纳出补角、余角的性质，并能用规范的语言描述其性质。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】1.双杠的两个握杠给我们什么印象？哪些地方也给我们这种印象？2.墙上的挂钩和剪刀给我们什么印象？哪些地方也给我们这种印象？下面就让我们一起进入今天这节课的学习！ 【教学建议】教师让学生同桌之间互相交流，然后请学生代表发言。
设计意图
借助生活中常见之物，让学生形成平行和相交的印象，从而引出新课。
活动二：实践探究，获取新知 探究点1 相交线和平行线问题1 观察活动一图片中老师所描的直线，同学们有什么发现 这些线有些是平行的，还有些是相交的。问题2 我们在七年级上学期学习了直线和直线的表示方法，请在纸上画两条直线，并用字母表示。并与同伴交流你们画的两条直线有什么样的位置关系。（可请几位同学在黑板上面画） 【教学建议】教师注意提醒学生：平行线的定义包含三层意思：（1）“在同一平面内”是前提条件；（2）“不相交”就是说两条直线没有
设计意图
通过让学生自己操作，在自主探究的过程中获取新知。
教学步骤 师生活动
问题3 以上这些同学所画直线的位置关系可以分为几类 下图中的直线a，b真的是既不相交，又不平行吗 由学生交流，学生代表回答。教师总结：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。概念引入：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。例 下列哪些说法是正确的？①两条不相交的直线一定相互平行；②在同一平面内，两条不平行的直线一定相交；③在同一平面内，两条不相交的线段一定平行；④在同一平面内，两条不相交的射线互相平行。分析：解：②是正确的。【对应训练】下列说法中，正确的有 （2）（4） 。（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交 交点；（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段。
设计意图 探究点2 三角形内角和如图，直线AB与CD相交于点O。问题1∠1和∠2的位置有什么关系？（1）∠1和∠2有公共顶点O；（2）它们两边互为反向延长线。概念引入：有公共顶点，两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。问题2 猜想∠1和∠2的大小有什么关系？你能说明理由吗？∠1=∠2。理由：直线AB与CD相交于点O，由平角的定义，可得∠1+∠3=180°， 【教学建议】这里对顶角的定义只要学生能用自己的语言表述就行，如果有学生不明白“反向延长线”的意思，教师可以结合具体图形加以说明。
引导学生通过位置关系和数量关系两方面探究对顶角。
教学步骤 师生活动
设计意图 ∠2+∠3=180°，所以∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3，所以∠1=∠2。师生共同归纳对顶角的性质：对顶角相等。问题3 上图中还有其他的角也构成对顶角吗？如果有，它们之间的大小关系如何？还有∠3和∠4，∠3=∠4。【对应训练】1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是图（ D ）。2.教材P36随堂练习。 【教学建议】教师可提示学生：1.形成对顶角的前提是两直线相交。2.对顶角是成对出现的，不能说一个角是对顶角。3.对顶角不仅反映两角相等的数量关系，还反映两角的位置关系。
使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程，为今后的几何证明打下基础。
设计意图 探究点3 补角和余角的概念和性质思考1 下图中，AB与CD相交于点O，则∠1与∠3有什么数量关系？∠1+∠3=180°。概念引入：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。如图①中，我们可说∠1是∠3的补角或∠3是∠1的补角。追问 思考1图中还有其他的角也构成互为补角的关系吗？∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4也构成互为补角的关系。思考2 下图中∠1与∠2有什么数量关系？∠1+∠2=90°。概念引入：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 【教学建议】教师提醒：1.补角与余角是针对两个角而言，并且是相互的。2.互为补角、互为余角的两个角，只与它们的大小有关，与它们的位置无关。3.同一个角的补角比它的余角大90°。4.互为余角的两个角必须是两个锐角，而互为补角的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角。
由学生观察图形引出补角和余角的概念，再用例题检验学生对概念的掌握，并进一步让学生经历补角和余角性质的推导过程，加深对知识的理解，培养学生的演绎推理能力。让学生用自己的语言表达性质，培养学生的归纳能
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力，最后渗透对几何语言的应用，培养学生的推理能力。 如思考2图中，我们可说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。例 （教材P35思考·交流）如图①，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2。将图①简化为图②，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。（1）请在图②中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。（2）∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？你能说明理由吗？与同伴进行交流。理由由学生来说。同理，我们也可以得到同角的余角相等，同角的补角相等。教师归纳余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。【对应训练】1.若∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，则∠A=∠C，理由是 同角的补角相等 。2.已知∠1=40°，∠2是∠1的余角，∠3是∠2的补角，则∠3的度数为 130°。
活动三：典例精讲，升华提高 例 如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2=80°，求∠3的度数。解：因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2。因为∠1+∠2=80°，所以∠1=∠2=40°。因为∠1+∠3=180°，所以∠3=180°-40°=140°。
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设计意图 【对应训练】如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1=40°，∠BOC=110°，求∠2的度数。答案：∠2的度数为70°。 【教学建议】这类计算一般不难，可由学生代表回答解题思路，教师予以引导。
对对顶角性质的巩固和应用。
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是相交线？什么是平行线？2.什么是对顶角？对顶角有什么性质？3.补角和余角的概念和性质分别是什么？【知识结构】【作业布置】1.教材P39～40习题2.1第1，4，9题。2.相应课时训练。
板书设计 1 两条直线的位置关系第1课时 对顶角、补角和余角1.相交线与平行线。2.对顶角。
教学反思 本节课上打破以往单纯的复习旧知的惯例，而以生活中常见的图片引入，通过观察图片引导学生从实物中抽象出几何模型，并让学生独立思考，动手操作，从中渗透了猜想、验证、归纳等数学思想方法，使学生在探究过程中了解问题解决的过程和方法，在有意义的数学活动中，建构数学知识，理解数学思想方法，学会数学思考。
解题大招一 三角尺中的互余
例1 将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆法中∠α与∠β互余的是（ A ）
解析：A摆法中∠α+∠β=180°-90°=90°，所以∠α与∠β互余。B摆法中∠α=∠β，∠α与∠β不一定互余。C摆法中∠α=90°，∠β大于90°，∠α与∠β不互余。D摆法中∠α，∠β都大于90°，∠α与∠β不互余。故选A。
解题大招二 互余和互补的角关系的综合
解此类题的关键是找准等量关系，直接设未知数，列一元一次方程求解。
培优点 对顶角与角平分线的综合应用
例 （一题多解）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠DOB，若∠AOC=70°，求∠EOC的度数。
分析：∠EOC=∠DOC-∠DOE或∠EOC=∠BOC+∠EOB，故有两种方法求解。
解法一：因为∠DOB与∠AOC是对顶角，
所以∠DOB=∠AOC=70°（对顶角相等）。
又因为OE平分∠DOB，所以∠1=∠DOB=×70°=35°（角平分线的定义）。
所以∠EOC=∠DOC-∠1=180°-35°=145°（平角的定义）。
解法二：因为∠DOB与∠AOC是对顶角，所以∠DOB=∠AOC=70°（对顶角相等）。
又因为OE平分∠DOB，
所以∠2=∠DOB=×70°=35°（角平分线的定义）。
又因为∠3=∠AOB-∠AOC=180°-70°=110°（平角的定义），
所以∠EOC=∠2+∠3=35°+110°=145°。
方法总结 在图形中识别对顶角，利用对顶角相等，角平分线分得的两个角相等，平角及角的和、差关系找到角的等量关系，然后利用已知条件和图形语言把角相互转化，从而得到解题的方法。

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