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第3课时 完全平方公式的认识
教学目标
课题 第3课时 完全平方公式的认识 授课人
素养目标 1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号意识和推理能力。2.理解乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2，能利用公式进行简单的计算。3.了解乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的几何背景，能利用公式进行简单的推理，发展几何直观感知能力。
教学重点 运用完全平方公式进行简单的计算。
教学难点 完全平方公式的推导过程，通过图形拼接验证完全平方公式。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，问题导入 【问题引入】问题1 多项式与多项式相乘的运算法则是什么？多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。问题2 由下面的两个图形你能得到哪个公式？平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。问题3 平方差公式的结构特点是什么？左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差。 【教学建议】本节课的教学环节和形式与平方差公式类似，引导学生复习旧知利于类比开展关于完全平方公式的几何解释与公式结构方面的探讨。组织学生代表回答问题，在进入正课前务必对旧知领悟透彻，不留盲区。
设计意图
利用旧知铺垫，类比平方差公式的学习为进入新课做好理论准备。
活动二：交流合作，探究新知 探究点 完全平方公式问题1 说说你将如何计算下列各式，然后计算它们的结果：(1)(m+3)2；(2)(2+3x)2。用多项式与多项式相乘的运算法则进行计算：（1）原式=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+2·3m+9=m2+6m+9；（2）原式=(2+3x)(2+3x)=22+2·3x+2·3x+9x2=4+2·2·3x+9x2=4+12x+9x2。问题2 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？用自己的语言叙述一下。两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。 【教学建议】完全平方公式是多项式乘法运算的一种特殊情况，与引入平方差公式的想法一样，对比等式两边代数式的结构，得到一般性的结论。引导学生分析
设计意图
让学生经历完全平方公式的推导过程，通过观察、对
教学步骤 师生活动
比、分析得到公式的结构特征，归纳出完全平方公式，再借助几何图形对公式进行验证，最后通过例题训练学生正确应用公式进行计算。 问题3 你能用字母表示你发现的规律吗？并验证。(a+b)2=a2+2ab+b2。验证：(a+b)2=（a+b）(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。问题4你能用右图解释你之前发现的规律吗？大正方形的面积为（a+b）2，两个小正方形的面积分别为a2，b2，两个小长方形的面积相等，均为ab，根据大正方形的面积=两个小正方形的面积和+两个小长方形的面积和，可得（a+b）2=a2+2ab+b2。问题5 如何计算（a-b）2？并用你自己的语言叙述一下得到的式子。(a-b)2=（a-b）(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。问题6 请你仿照问题4，设计一个图形解释你在问题5得到的式子。如图，大正方形的面积为a2，左上角小正方形的面积为（a-b）2，右上角小长方形的面积为b（a-b），下方大长方形的面积为ab，根据左上角小正方形的面积=大正方形的面积-右上方小长方形的面积-下方大长方形的面积，可得（a-b）2=a2-b（a-b）-ab=a2-2ab+b2。例1 （教材P21例5）利用完全平方公式计算：(1)(2x-3)2；（2）(4x+5y)2； 其结构特征：（1）公式有两个，左边都是二项式的平方，仅就中间的符号不同；（2)积为二次三项式；（3）积中的两项为两数的平方；（4）另一项是两数积的2倍，且与原式中间的符号相同；（5）公式中的字母a，b可以表示单项式和多项式。【教学建议】在学习(a-b)2=a2-2ab+b2时，要类比“两数和”的情况，让学生从代数运算和几何图形两个角度来进行推导，从而让学生经历代数运算到几何解释的过程，使学生的数形结合意识得以培养。
教学步骤 师生活动
(3)(mn-a)2。解：(mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2。问题7 回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟？借助几何图形解释验证平方差公式和完全平方公式，是数形结合思想的直观体现，说明代数运算可以具备几何背景，另一方面研究图形也隐含了代数运算，两者相辅相成，能够相互转化。数形结合可以更加了解本质特征，在今后的学习中应更多从这两个方面着手，类比学习。【对应训练】教材P21随堂练习第1，2题。 【教学建议】教师通过例题使学生理解公式的结构特征，a和b分别表示什么？经过思考和讨论让学生探究并建构自己的知识结构，学会运用公式。
活动三：变式训练，巩固提升 例 已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值。解：因为x+y=8，xy=12，所以x2+y2=(x+y)2-2xy=82-2×12=64-24=40。【对应训练】已知ab=3，a-b=4，求2a2+7ab+2b2的值。解：a2+b2=(a-b)2+2ab=42+2×3=22，2a2+7ab+2b2=2(a2+b2)+7ab=2×22+7×3=44+21=65。 【教学建议】完全平方公式有一些常见变形：如a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab等等，遇到求值类问题时常需要进行此类变形，再代入运算。
设计意图
巩固对完全平方公式的理解和加强公式的运用。
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.你能用字母表达完全平方公式吗？能用它进行简单的计算吗？2.通过这节课你了解完全平方公式的几何背景了吗？能用图形拼接的方法验证完全平方公式吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P25习题1.3第3，4，9，11，13题。2.相应课时训练。
教学步骤 师生活动
板书设计 第3课时 完全平方公式的认识1.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，语言描述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。2.利用图形验证完全平方公式：原理——面积相等。
教学反思 本节课是整章中的重点，它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算。学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度。在教学过程中，应注重引导学生归纳公式的等号两边的结构特征，同时跟学生强调在运用公式过程中容易出现的问题和需注意的细节，通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用，为下节课的实际应用和提高应用做好充分的准备。
解题大招一 利用完全平方公式进行计算
利用完全平方公式进行整式计算的基本步骤：①确定公式中的a，b；②确定和差关系；③选择公式；④计算结果。
由于公式中的a，b可以是多项式，所以求三项或更多项式的平方时需注意利用整体思想求解。
解题大招二 利用拼图法进行代数推理
利用图形来推导验证等式的关键是将同一部分图形的面积用不同的方法表示，由于拼接前后的图形形状不一致，所以面积会有不同的求法，但无论形状如何变化，面积是不变的。
例2 如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图②的正方形。
培优点 与完全平方公式有关的规律探究题
对于探索规律型问题，一般先从题目所给的几个等式入手，观察其中的规律，再得到一般性的结论，必要的时候需要验证其正确性。

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