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第六章 变量之间的关系
1 现实中的变量
教学目标
课题 1 现实中的变量 授课人
素养目标 1.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展学生的符号意识。2.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量、常量，并能举出反映变量之间关系的例子。
教学重点 通过具体情境理解变量、自变量、因变量和常量的概念。
教学难点 用变量之间变化的思想描述我们生活中的变化。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：情境导入，引出新课 【情境引入】我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化。从数学的角度研究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助于我们更好地了解自己，认识世界和预测未来。今天这节课我们将一起研究生活中变化的量以及它们之间的关系。 【教学建议】教师可让学生列举一些类似的例子。
设计意图
激发学生学习兴趣，为新课做铺垫。
活动二：实践探究，获取新知 探究点 变量、自变量、因变量、常量【情境1】汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离。问题1 这个情境中有哪些量？制动初速度，制动距离。问题2 随着车辆制动初速度的变化，其他量会发生变化吗？会。 【教学建议】教师可让学生体会“此时字母表示的是变量”，以进一步发展学生对“字母表示”的理解。
设计意图
让学生结合实际情境理解变量、自变量、因变量、常量等概念，并初步体会变量之
教学步骤 师生活动
间的相依关系。 问题3 下表呈现了一辆汽车在某种路面情况下的部分刹车实验数据，你能描述制动距离随制动初速度的变化而变化的情况吗 制动距离随制动初速度的增加而增大。【情境2】 某海域海水的压强p(单位：Pa)与水深h(单位：m)之间的关系满足：p=9.8ρh(其中ρ为海水的密度，通常为1.03×103kg/m3)。问题1这个情境中有哪些量？海水的压强p，水深h。问题2随着水深h的变化，其他量会发生变化吗？会。【情境3】下图反映了一个蔬菜大棚某日18：00到次日18:00棚内温度和棚外温度的变化情况。问题1 这个情境中有哪些量？棚内温度，棚外温度，时间。问题2 你能描述这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化而变化的情况吗 棚外温度呢 棚内温度随时间增加先降低，后升高，然后又降低。棚外温度随时间增加先降低，后升高，然后又降低。问题3 你还有哪些发现？与同伴进行交流。由学生自由作答。师：在一个过程中既有不变的量，也有变化的量，而在变化的量中，由于其中一个量变化，造成另外一个量变化，因此我们把这些量给予适当的名称。师：以上面的情境为例，我们知道，【情境1】制动距离随制动初速度的变化而变化。【情境2】海水的压强随水深的变化而变化。【情境3】棚内温度、棚外温度随时间的变化而变化。追问1 变量、自变量和因变量之间有什么关系呢？ 【教学建议】教师可以总结：以上三个情境分别用了表格、关系式和图象表示变量之间的关系，让学生有个整体的印象。【教学建议】教师提示：主动引起变化的量是自变量，被动引起变化的量是因变量，始终没有变化的量是常量，在变化过程中起主导作用的那个变量是自变量。
教学步骤 师生活动
追问2 哪些是不变的量？不变的量叫什么呢？如【情境2】：一定海域内，在海水的压强随水深变化而变化的过程中，海水的密度保持不变。像这种在变化过程中数值始终不变的量称为常量。【对应训练】教材P146随堂练习第1题。
活动三：典例精讲，升华提高 例 随着人们生活质量的提高和健康观念的转变，越来越多的人开始注重体型，健身减肥也成为了热门话题。体重110kg的小颖做了一个可行的“瘦身规划”，计划平均每天减掉0.5kg，x天(x＜30)后的体重为ykg，可表示为y=110-0.5x。（1）情境中有哪些变量？有哪些常量？（2）15天后，小颖的体重是多少千克？解：（1）变量有天数和小颖瘦身后的体重，常量有小颖的初始体重和计划每天减掉的千克数。（2）把x=15代入y=110-0.5x，得y=110-0.5×15=102.5（kg）。所以15天后，小颖的体重是102.5kg。【对应训练】某健身达人每天在健身房的跑步机上跑步的时间和路程的变化情况如下表：（1）在这个变化过程中，自变量是 跑步的时间 ，因变量是 跑步的路程 ；（2）根据表中的数据，请你简单说一说他跑步的路程是怎样随着时间的变化而变化的。解：他跑步的路程随着时间的增加而增加。 【教学建议】教师可适当复习代数式求值的相关内容。
设计意图
通过具体的例子进一步体会变量、常量、自变量和因变量之间的关系，学会正确运用数学的语言、方法、知识去理解、刻画现实世界中的变化规律。
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是变量？什么是自变量？什么是因变量？什么是常量？你能举例说说吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P147～148习题6.1第1，2题。2.相应课时训练。
板书设计 1 现实中的变量1.变量：自变量，因变量。2.常量。
教学步骤 师生活动
教学反思 本节课是第六章变量之间的关系的起始课，初步呈现了表示变量之间关系的三种方式：表格法、关系式法和图象法。本节课作为研究变量之间关系的第一次尝试，着重让学生感受和体会到了生活中的“变量”，让学生感受数学和日常生活的密切联系。同时，通过本节课的学习让学生初步了解自变量和因变量变化的规律，为以后过渡到函数的学习打下了良好的基础。
解题大招一 识别变量和常量
数值发生变化的量是变量，数值始终不变的量是常量。但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母，如匀速运动中的v，半径r等等。
例1 一粒石子落入湖面，形成一个如圆周样的涟漪，圆周长C与半径r的关系可表示为C=2πr，其中变量是 C，r ，常量是 2π 。
解题大招二 区分自变量和因变量
自变量和因变量的区分方法：
1.看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因变量是后发生变化的量；
2.看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变量是一个被动变化的量；
3.看因果关系，自变量是起因，因变量是结果。
例2 (1）在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温会随着太阳照射时间的长短而变化，在这个变化过程中，自变量是 太阳照射时间的长短 。
（2）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，汽车到达下一个车站，乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶。在上述变化过程中，因变量是 汽车的速度 。
培优点 现实中变量的综合
例 图①中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度(单位：m)与旋转时间(单位：min)之间的关系如图②所示。
（1）如图反映的两个变量中，哪个是自变量，哪个是因变量？
（2）你能描述在3min到9min之间，摩天轮上一点离地面的高度随着时间的变化而变化的情况吗？
解：（1）旋转时间是自变量，摩天轮上一点离地面的高度是因变量。
（2）在3min到9min之间，随着时间的增加，摩天轮上一点离地面的高度先减小后增加。

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