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3 用关系式表示变量之间的关系
教学目标
课题 3 用关系式表示变量之间的关系 授课人
素养目标 1.经历探究某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号意识。2.能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想。3.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
教学重点 学会用关系式来表示变量之间的关系。
教学难点 根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境引入】你知道地球内部的温度有多高吗？地壳的厚度约为8～40km，在地表以下不太深的地方，温度可按y=35x+t计算，其中x（单位：km）是深度，t（单位：℃）是地球表面的温度，y（单位：℃）是所处深度的温度。我们根据这个公式就可以求出地球内部不同深度处的温度。大家是不是觉得很方便呢？那么怎么找到这个公式的呢？今天这节课就让我们一起探究用关系式表示变量之间的关系。 【教学建议】教师可复习代数式求值的内容，让学生动手算一算地壳某个深度对应的温度，使学生快速融入课堂。
设计意图
以学生感兴趣的地理知识引入本节课的内容，引起学生的好奇心，引出本节课的学习内容。
活动二：实践探究，获取新知 探究点 用关系式表示变量之间的关系例1 如图，△ABC底边BC上的高是6cm。当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化。问题1 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的？自变量： 三角形的底边长 ，因变量： 三角形的面积 。当底边长减小时，三角形的面积 减小 。问题2 如果三角形的底边长为x（单位：cm），那么三角形的面积y（单位：cm2）如何表示？ 【教学建议】教师不能忽视对问题1，2，3的讨论，应让学生独立想象整个的变化过程。教师还可以向学生演示这一变化过程或鼓励学生进行实践，
设计意图
经历这样的活动，使学生进一步体会变量之间
教学步骤 师生活动
的关系，并能从代数式表示的角度进一步感受自变量、因变量的对应思想，以及积累研究变量之间关系的经验。 根据三角形的面积公式，可得y=BC·AC=x×6=3x，即三角形的面积y=3x。问题2 在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积y的值能确定吗？与同伴进行交流。能。师：y=3x表示了图中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式。归纳：关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法。如图，利用关系式（如y=3x），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值。例2 如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化。问题1 你还记得圆锥的体积公式是什么吗？问题2 在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积。问题3 底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的？底面半径增大时，圆锥的体积增大。问题4 如果圆锥的底面半径为r（单位：cm），那么圆锥的体积V（单位：cm3）如何表示？根据问题1中我们回忆的圆锥的体积公式，结合题干中的已知条件，可得关系式：问题5 在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗？能。【对应训练】教材P154随堂练习第1题。 获得对变量关系的直观体验。对于感兴趣的学生，还可以鼓励他们进一步探索这个变化过程中的数量关系：当高一定时，三角形的面积是底边的正比例函数。教学中，建议同时关注学生对图形变化的想象力。【教学建议】教师引导学生给x赋值，并让他们与同伴交流自己的探究成果，让学生感受底边x确定了，面积y的值也就能确定。【教学建议】处理问题2，3时，教师也可通过课件拖动圆锥半径动态演示，让学生观察圆锥的体积变化，判断并指出在这个变化过程中哪个是自变量，哪个是因变量。
活动三：典例探究，升华提高 例 （教材P154尝试·交流）你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式。一些常见的二氧化碳排放量计算公式见下表：
教学步骤 师生活动
设计意图 （1）你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗 其中的字母表示什么 （2）随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的 与同伴进行交流。（3）当用电量为100kW·h时，二氧化碳排放量是多少 （4）小明家本月大约用电110kW·h、耗油75L、用天然气20m3、用自来水5 m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和。解：（1）假设y表示二氧化碳排放量，x表示用电量，则（2）随着用电量的增加，二氧化碳排放量也增加。（3）当用电量为100kW·h，即x=100时，y=0.785×100=78.5（kg）。即用电量为100kW·h时，二氧化碳排放量是78.5kg。（4）家居用电的二氧化碳排放量：110×0.785=86.35（kg）。开私家车的二氧化碳排放量：75×2.7=202.5（kg）。家用天然气的二氧化碳排放量：20×0.19=3.8（kg）。家用自来水的二氧化碳排放量：5×0.91=4.55（kg）。二氧化碳排放量总和：86.35+202.5+3.8+4.55=297.2（kg）。【对应训练】教材P154随堂练习第2题。反思：我们已经学了哪几种方式表示变量间的关系，各有什么优缺点？ 【教学建议】这个问题本身并不难，但由于是实际问题，设计的数量单位比较多，学生可能不熟悉。教学中教师要注意引导。另外第（1）问由学生自己选用字母进行表示，教师要给予肯定。
旨在发展学生数学表示的能力，如用字母表示变量、把语言表示转化为关系式等。同时也有关注发展学生社会责任感的目的。
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.到今天为止我们一共学了几种方法来表示自变量与因变量之间的关系？2.列表与列关系式表示变量之间的关系各有什么特点？
教学步骤 师生活动
【知识结构】【作业布置】1.教材P155习题6.3第1，2，3题。2.相应课时训练。
板书设计 3 用关系式表示变量之间的关系1.用关系式表示变量之间的关系。2.用关系式和用表格表示变量之间的关系的区别与联系。
教学反思 本节课是建立在学生已理解了变量、自变量、因变量的意义和体会到了因变量是随自变量变化而变化的基础上进行的。通过对三角形面积的变化问题和圆锥体积的变化问题探究变量间的变化规律可用关系式来表达，运用关系式可以描述自变量和因变量具体变化的情况。整个过程中渗透了函数的思想，让学生体会到变量与变量之间的相互依赖关系是生活中广泛存在的。
解题大招一 根据关系式求值
已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程。正确书写关系式并准确代入求值是解题的关键。
例1 根据如图所示的计算程序，若输入x的值为8，则输出y的值为 3 。
例2 如果用C(单位:℃)表示摄氏温度，F（单位：℉）表示华氏温度，那么C与F之间的关系式为C=（F-32），试分别求：
（1）当F=68℉和F=-4℉时，C的值；
（2）当C=10℃时，F的值。
解：（1）当F=68℉时，C=×（68-32）=20(℃)；当F=-4?时，C=×（-4-32）=-20(℃)。
（2）当C=10℃时，（F-32）=10，解得F=50℉。
解题大招二 用关系式表示变量之间的关系
写关系式的关键是找准两变量间的数量关系。
（1）利用公式写出变量之间的关系式，如三角形的面积公式；
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；
（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式。
例3 “五一”小长假期间，小天和父母一起开车到距家220km的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45L，当行驶了180km时，发现油箱余油量为27L（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）。
（1）求该车平均每千米的耗油量；
（2）写出油箱余油量Q（单位：L）与行驶路程x（单位：km）之间的关系式；
（3）当油箱中余油量低于3L时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前沿原路返回到家？请说明理由。
解：（1）（45-27）÷180=0.1（L/km）。
答：该车平均每千米耗油0.1L。
（2）Q=45-0.1x。
（3）不能。理由：来回的路程为220×2=440（km），由（2）知当x=440时，Q=45-0.1×440=1。因为1＜3，
所以他们不能在汽车报警前沿原路返回到家。
例4 如图，平行四边形ABCD底边BC上的高为6cm，当边DC向右平移时，平行四边形的面积发生了变化。
（1）这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果底边BC的长为x（单位：cm），那么平行四边形的面积y（单位：cm2）如何表示？
（3）当底边BC的长从12cm增加到20cm时，平行四边形ABCD的面积增加了多少？
解：（1）自变量是边BC的长，因变量是平行四边形的面积。
（2）y=6x。
（3）平行四边形ABCD的面积增加了6×（20-12）=48（cm2）。
培优点 根据规律列关系式解决问题
例 将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸按如图所示的方式黏合起来，黏合部分的宽为3cm。
（1）根据题意，将下面的表格补充完整：
（2）直接写出用x表示y的关系式： y=17x+3 。
（3）要使黏合后的总长度为1006cm，需用多少张这样的白纸
解：当y=1006时，17x+3=1006，解得x=59。
所以要使黏合后的总长度为1006cm，需用59张这样的白纸。

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