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第四章 三角形
1 认识三角形
第1课时 三角形与三角形的内角和
教学目标
课题 第1课时 三角形与三角形的内角和 授课人
素养目标 1.理解并掌握三角形的概念，会用符号表示三角形。2.通过剪拼、平移等操作，掌握三角形内角和定理，并会利用三角形内角和定理解决简单问题。发展学生的空间观念、推理能力和有条理的表达能力。3.会根据三角形内角的大小将三角形分类，并掌握直角三角形的相关性质。
教学重点 了解三角形的概念，会用符号语言表示三角形，能从图形中识别三角形。
教学难点 探求三角形的内角和为180°以及按照三角形的内角的大小对三角形进行分类。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾导入，引出新课 【情境导入】1.在小学，我们学习了三角形，仔细观察下面的图片，找出你熟悉的三角形。2.我们已经学习了关于三角形的哪些知识？你能把这些知识归纳一下吗？ 【教学建议】如果学生回答困难，教师可以细化问题，提示学生：①画图并用语言说明怎样的图形是三角形。②三角形如何分类？③三角形的角和边有什么特征？
设计意图
通过简单的提问，帮助学生回顾旧知，为学习新课做好准备。
活动二：实践探究，获取新知 探究点1 三角形的相关概念观察下图，回答下列问题：问题1 你能从图中找出几个不同的三角形吗？由学生作答。 【教学建议】学生动手操作测量各个角的度数，再由教师带领学生将4个角两两配对，探究它们的位置和数量关系，最终得出邻补角和对顶角的概
设计意图
通过学生的自主学习及回答问题，引导学生归
教学步骤 师生活动
纳三角形的概念、基本要素(边、角、顶点)等基础知识，体会用符号表示三角形的必要性，培养了学生自学、观察、分析及归纳总结的能力。 问题2 这些三角形有什么共同的特点？由学生作答。如我们发现这些三角形的共同特点：①有三条（边）线段②三条线段不在同一条直线上③这三条线段首尾顺次相接④有三个内角⑤有三个顶点……问题3 究竟什么是三角形呢？概念引入：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。问题4 三角形有几条边？几个内角？几个顶点？三角形有三条边，三个内角，三个顶点。问题5 如何表示三角形呢？“三角形”可以用符号“△”表示，如图②是从图①抽象出来的图形，顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”。通过这样表示之后，大家是不是很容易跟同伴说出你找到的三角形了呢！教师归纳：三角形的基本元素及表示方法：例1 如图所示： 念与性质.【教学建议】教师也可从当地实际出发，因地制宜，创设其他情境。【教学建议】关于三角形的定义，可结合图形，引导学生认识到定义中“不在同一直线上”和“首尾顺次相接”的重要性即可。【教学建议】学生为了交流各自找到的三角形，需要用符号来表示三角形，由此可以体会用符号表示三角形的必要性。但是三角形的符号表示是一种规定，直接讲授即可，不必让学生讨论。
【对应训练】下面是小强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念的是（ C ）
设计意图 探究点2 三角形内角和问题1 在小学的时候，我们用把三角形的三个角撕下来拼在一起的方法验证了“三角形三个内角的和等于180°”的结论，大家还记得我们是怎么操作的吗？依据是什么呢？依据的是平角的定义。师：现在，我们只撕下三角形的一个角，同样可以得到这个结论，请你仔细看看小明的做法：如图①，剪一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3。将∠1撕下，按图②所示进行摆放，其中∠1的顶点与∠2的顶点重合，它的一条边与∠2的一条边重合。问题2 利用图②，小明说明了三角形三个内角的和为180°。你知道他是如何说明的吗？说说你的想法，并与同伴进行交流。例2 如图，按规定，一块模板中AB，CD的延长线应相交成85°的角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC=32°，∠DCA=65°，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定 为什么 解：不符合规定。如图，设AB与CD的延长线相交于点O，由三角形三个内角的和等于180°，可得∠AOC=180°-∠BAC-∠DCA=180°-32°-65°=83°≠85°，所以不符合规定。 【教学建议】教学时，教师应注意只要求学生口头说明理由，不要求书面的证明。实际教学中，学生完全有可能不按照教材提供的思路，对于学生想到的思路，教师都应给予鼓励。
使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程，为今后的几何证明打下基础。
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【对应训练】（长沙中考）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC，则∠1的度数为（ C ）A.50° B.60°C.70° D.80°
设计意图 探究点3 三角形的分类及直角三角形的性质Ⅰ.三角形的分类问题1 下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢 试着说明理由。小颖、小明所拿三角形露出的角分别是直角和钝角，由“三角形三个内角的和等于180°”可以得到两人拿的三角形中，被遮住的两个内角都是锐角。问题2 图中小亮所拿三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果与问题1的结果进行比较，并与同伴进行交流。两个角中至少有一个锐角可能两个都是锐角；可能一个锐角，一个直角；可能一个锐角，一个钝角。问题3 我们按三角形内角的大小可以把三角形分为几类呢？可分为三类，如表：Ⅱ.直角三角形的性质下面我们来看看直角三角形的有关概念： 【教学建议】在学生说出自己的判断之后，应鼓励学生说明自己的理由。如果必要，可以反问：如果两个角不都是锐角，会怎么样？注意对“不都是”的理解。【教学建议】当露出的一个角是锐角时，同样引导学生尝试着将另两个角的所有可能情况列出，再用反证法的思想进行说明。
让学生从游戏中体会按照三角形内角的大小可以把三角形分成三类。当三角形只露出一个内角为锐角时，引导学生发现其他两个内角三种情况都是可以的，即两个锐角，一个锐角一个直角，一个钝角一个锐角，从而使学生初步体会分类的思想，有助于培养学生有条理的思维能力。
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由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+90°=180°，所以∠A+∠B=90°。问题 由此，你可以得到直角三角形的两个锐角之间有什么关系呢？直角三角形的两个锐角互余。例3 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，试判断△ABC的形状，并说明理由。解：△ABC是直角三角形。理由如下：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以可设∠A，∠B，∠C的度数分别为x°，2x°，3x°。因为∠A+∠B+∠C=180°，所以x+2x+3x=180，解得x=30。所以∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。所以△ABC是直角三角形。【对应训练】教材P87随堂练习第1，2题。
活动三：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是三角形？如何表示三角形、三角形的顶点、三角形的角及三角形的边？2.三角形的内角和定理是什么？3.按三角形内角的大小如何进行三角形的分类？4.直角三角形如何表示？什么是斜边？什么是直角边？5.直角三角形的两个锐角有什么性质？【知识结构】【作业布置】1.教材P92～94习题4.1第1，2，3，4，9，10题。2.相应课时训练。
板书设计 1 认识三角形第1课时 三角形与三角形的内角和1.三角形的概念、表示。2.三角形的内角和。3.三角形的分类。4.认识直角三角形。
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教学反思 本节课一开始设置了三角形图片，体现数学来源于生活，使学生能从生活中抽象出几何图形，让学生在轻松愉快的氛围中自然地得到三角形的定义及相关概念。然后通过动手操作剪拼的环节探讨三角形的内角和，通过小组讨论、直观教具演示等手段，激发了学生学习的兴趣，了解特殊三角形的性质与其形状有关——直角三角形的两个锐角互余。通过对三角形分类的学习，使学生了解数学分类的基本思想。
解题大招一 三角形内角和与平行线
由平行线的性质把已知角与三角形的内角相联系，进而利用三角形内角和等于180°求有关角的度数。
例1 如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE。若∠CAD=25°，∠EBC=80°，求∠ACB的度数。
解：因为AD∥BE，
所以∠ADC=∠EBC=80°，
由三角形的内角和等于180°可知，∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°。
又因为∠CAD=25°，
所以∠ACB=180°-∠CAD-∠ADC=180°-25°-80°=75°。
解题大招二 用直角三角形的性质解题
掌握直角三角形的两个锐角互余及同角的余角相等是解题关键。
例2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，F是AC延长线上一点，FD⊥AB，垂足为D，FD与BC相交于点E，∠BED=55°。求∠A的度数。
解：因为FD⊥AB于点D，
所以在Rt△BDE中，∠BED+∠B=90°。
因为∠ACB=90°，所以在Rt△ACB中，∠A+∠B=90°，
所以∠A=∠BED=55°。
培优点 三角形内角和等于180°的推理

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