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第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
教学目标
课题 第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等 授课人
素养目标 1.经历探索三角形全等条件“两角一边”的过程，体会操作、归纳获得数学结论的过程。2.掌握判定三角形全等的“角边角”“角角边”条件。3.能够利用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等，解决实际问题，体会三角形全等条件在现实生活中的应用价值。
教学重点 掌握判定三角形全等的“ASA”和“AAS”条件。
教学难点 能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾导入，引出新课 【回顾引入】1.什么叫全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。2.我们已经学过了哪种判定两个三角形全等的方法 边边边(SSS)。3.由前面的讨论我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的。如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢 每种情况下得到的三角形都全等吗 这就是今天这节课我们将要探讨的问题！ 【教学建议】教师待学生思考后可请代表发言。
设计意图
通过设置富有阶梯性的问题，引导学生思考，为学习新课做铺垫。
活动二：实践探究，获取新知 探究点1 “角边角”判定三角形全等经过活动一中的讨论，我们知道了如果已知一个三角形的两角及一边，有以下几种情况：师：它们能判定两个三角形全等吗？师：我们先来看第①种情况（“两角及两角所夹的边分别相等”）会怎样呢？操作1教师将学生分为几个小组，由小组合作，选择两个角和一条线段作为三角形的两个内角及其夹边，并用尺规作出这个三角形。 【教学建议】教师在教学中注意引导学生利用量角器、直尺、三角尺等各种工具画图，作出△A′B′C′，并与△ABC进行比较，最终形成三角形全等的判定方法——“ASA”。
设计意图
通过实践操作，使学生经历猜想、验证、得出结论的过程。在交流合作中
教学步骤 师生活动
探索出三角形全等的条件——两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，让他们感受成功的喜悦。培养学生分析、探究问题的能力，提高他们归纳知识的能力、组织语言及表达的能力。 （以下示例供教师参考：比如三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm）问题1 你作的三角形与同伴作的一定全等吗？全等。操作2 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B(即两角和它们的夹边对应相等)。把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？全等。由此我们可以得出结论：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。用法：在△ABC和△A′B′C′中，因为∠A＝∠A′,AB＝A′B′，∠B＝∠B′，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABC≌△A′B′C′。问题2 回顾上述作图过程，你能总结出“已知三角形的两角及其夹边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤吗？如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。例1 如图，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，试说明：△ABC≌△DCB。解：在△ABC和△DCB中，因为∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABC≌△DCB。 【教学建议】教学中教师提示学生类比“SSS”归纳得到“ASA”。
教学步骤 师生活动
【对应训练】教材P102随堂练习第1题。
设计意图 探究点2 利用“角角边”判定三角形全等问题 第②种情况：如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，情况会怎样呢？你能将它转化为“探究点1”中的条件吗？与同伴进行交流。由三角形内角和定理可得出第三个角的度数也是相等的，这样便可以转化成已知两角及其夹边的情况，因此已知两角及一角的对边相等的两个三角形也是全等的。结论：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。用法：在△ABC和△A′B′C′中，因为∠A＝∠A′,∠B＝∠B′ ，AC=A′C ′，根据三角形全等的判定条件“AAS”，所以△ABC≌△A′B′C′。例2 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，试说明：AB=AD。解：因为AB⊥BC，AD⊥DC，所以∠B=∠D=90°。在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠B=∠D，AC=AC，根据三角形全等的判定条件“AAS”，所以△ABC≌△ADC，所以AB=AD。【对应训练】如图，AB∥CD，且AB=CD，AC与BD相交于点E，则△ABE≌△CDE的依据是（ D ）A.只能用ASAB.只能用SSSC.只能用AASD.用ASA或AAS 【教学建议】将“两角及其中一角的对边”转化为“两角及其夹边”的情况，体现转化和推理的思想。教学时，应鼓励学生用自己的语言表达思考过程，并与同伴进行交流。
进一步渗透分类和转化的数学思想，完善两角及一边的讨论，并用例题使学生能在具体题目中掌握三角形全等的条件“角角边(AAS)”的使用，并能运用相应的条件进行有条理的思考及简单的推理。
活动三：典例精讲，升华提高 例 如图，∠ACB=∠B=90°，点E在BC上，过点C作CF⊥AE于点F，延长CF交BD于点D，且CD=AE。试说明：AC=BC。解：因为∠ACB=90°，CF⊥AE，所以∠ACF+∠BCD=∠ACF+∠CAF=90°。所以∠BCD=∠CAF，即∠CAE=∠BCD。在△ACE和△CBD中，因为∠ACE=∠B，∠CAE=∠BCD，AE=CD，根据三角形全等的判定条件“AAS”，所以△ACE≌△CBD。所以AC=BC。 【教学建议】教师提示学生找等角的几种方式：①公共角相等；②对顶角相等；
设计意图
通过例题和对应训练进一步巩固新知，使学生掌握用垂直、互余、平行、等量代换等找等角的方法，再用两角一边判定两个三角形全等。 【对应训练】如图，AB∥DE，B，C，D三点在同一条直线上，∠A=90°，EC⊥BD，且AB=CD。试说明：AC=CE。解：因为AB∥DE，所以∠B=∠D。因为EC⊥BD，∠A=90°，所以∠DCE=∠A=90°。在△ABC和△CDE中，因为∠B=∠D，AB=CD，∠A=∠DCE，根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABC≌△CDE。所以AC=CE。 ③等角加(或减)等角，其和(或差)仍相等；④同角或等角的余(或补)角相等；⑤由角平分线的定义得出角相等；⑥由垂直的定义得出角相等；⑦由平行线得到同位角或内错角相等；⑧全等三角形的对应角相等。
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.通过两角及其夹边判定三角形全等的定理是什么？2.已知三角形的两角及其夹边，如何用尺规作这个三角形？3.通过两角及一角的对边判定三角形全等的定理是什么？它是如何通过转化得出的？【知识结构】【作业布置】1.教材P106～109习题4.3第2，3，4，7，14题。2.相应课时训练。
板书设计
教学反思 本节课充分发挥学生的积极性、主动性，学生通过动手操作、对比、讨论、合作学习等形式对全等三角形的条件“ASA”和“AAS”进行探究，时间充足，效果较好，能分辨出这两个定理的区别，在探究过程中，加深了学生对定理的理解和掌握。让学生大胆想象、探索、应用，使更多的同学获得锻炼的机会。
解题大招一 补充条件的开放性题目
方法指引：补充条件后，可根据已学过的判定三角形全等的方法SSS，ASA，AAS判定两个三角形全等。
例1 如图，AC，BD相交于点O，∠A=∠D，请你补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 OB=OC（答案不唯一） (填一个即可)。
例2 如图，已知点F，E分别在AB，AC上，且AE=AF，请你补充一个条件： ∠B=∠C(答案不唯一) ，使得△ABE≌△ACF。(只需填写一种情况即可)
解题大招二 三角形全等的判定
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
例3 如图，AB=AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD=∠ACE。试说明：BD=CE。
解：因为AB⊥AC，AD⊥AE，所以∠BAC=∠DAE=90°。
所以∠BAE+∠CAE=∠BAE+∠BAD。所以∠CAE=∠BAD。
在△ABD和△ACE中，
因为∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ABD=∠ACE，
根据三角形全等的判定条件“ASA”，所以△ABD≌△ACE。所以BD=CE。
培优点 全等三角形类比探究题
例 如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E。
(1)请问BD=CE+DE成立吗 为什么
(2)若直线AE绕点A旋转到如图②所示的位置(BD＜CE)，其余条件不变，则BD与DE，CE的关系如何 请说明理由。
解：(1)成立。理由如下：
因为BD⊥AE，CE⊥AE，所以∠ADB=∠AEC=90°。
因为∠BAC=90°，∠ADB=90°，
所以∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°，
所以∠ABD=∠CAE。
在△ABD和△CAE中，因为∠ADB=∠CEA，∠ABD=∠CAE，AB=CA，
所以△ABD≌△CAE(AAS)，所以BD=AE，AD=CE。
因为AE=AD+DE，所以BD=CE+DE。
(2)BD=DE-CE。理由如下：
因为BD⊥AE，CE⊥AE，所以∠ADB=∠AEC=90°。
又因为∠BAC=90°，所以∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°，所以∠ABD=∠CAE。
在△ABD和△CAE中，因为∠ADB=∠CEA，∠ABD=∠CAE,AB=CA，
所以△ABD≌△CAE(AAS)，所以BD=AE，AD=CE，所以BD=AE=DE-AD=DE-CE。

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