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3 探索三角形全等的条件
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
教学目标
课题 第1课时 利用“边边边”判定三角形全等 授课人
素养目标 1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用画图、操作、归纳获得数学结论的过程，初步形成解决问题的基本策略。2.掌握三角形全等的“边边边”条件，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。3.了解三角形的稳定性，体会几何在生活中的应用。
教学重点 三角形全等条件的探索过程和利用“边边边”说明两个三角形全等。
教学难点 利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：回顾导入，引出新课 【回顾引入】1.什么叫全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。2.全等三角形有什么性质 对应边相等，对应角相等。①AB=DE ②BC=EF ③CA=FD ④∠A=∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C=∠F一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条件中，有些条件是相关的。能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？本节课我们就来讨论这个问题。 【教学建议】教师注意引导学生思考和回顾。
设计意图
回顾旧知，为讲解新知识做铺垫。
活动二：实践探究，获取新知 探究点1 利用“边边边”判定三角形全等【情境】要画一个三角形与小明画的三角形全等，你会怎么画呢？问题1 要画一个与已知三角形全等的三角形，至少需要几个与边或角的大小有关的条件？由学生交流作答。问题1 你能从图中找出几个不同的三角形吗？由学生作答。问题2 只给一个条件（一条边或一个角）可以吗？
设计意图
通过操作与提问的探究活动，不仅
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得出了确定三角形全等的结论，还渗透了分类的思想和方法，让学生进一步感受通过举反例否定结论的方法。 结论：我们发现只有一个条件相等不能保证所画出的三角形一定全等。问题3 给出两个条件画三角形时，有哪几种可能的情况？每种情况下画出的三角形一定全等吗？请你试一试，并与同伴进行交流。给出两个条件，有三种情况：结论：我们发现只有两个条件相等不能保证所画出的三角形一定全等。总结：只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等。问题4 给出三个条件画三角形时，有哪几种可能的情况？与同伴进行交流。学生独立思考后，互相交流。有4种可能的情况。（1）下面我们来看看第1种情况“给三个角”：已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？学生画三角形后与同伴讨论。可举以下例子说明。 【教学建议】给出两个条件时，教师注意数学方法的渗透：一是体会分类的思想和方法，两个条件可分为两个角、两条边、一条边一个角三种情况；二是进一步感受通过举反例否定结论的方法。
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结论：三个内角分别相等的两个三角形不一定全等。（2）接下来我们来看看第2种情况“给三条边”：①已知一个三角形的三条边分别为4cm，5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？我们发现它们是全等的。②小组合作，选择三条线段作为三角形的三条边，并用尺规作出这个三角形。把你作的三角形与同伴作的进行比较，它们一定全等吗？我们发现它们是全等的。于是我们得到了两个三角形全等的判定方法：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。用法：在△ABC和△DEF中，因为AB=DE,BC=EF,AC=DF，根据三角形全等的判定条件“SSS”，所以△ABC≌△DEF。通过刚才的探究过程，我们可以总结出“已知三角形的三边，用尺规作这个三角形”的方法和步骤。如图，已知线段a,b,c，用尺规作△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。作法与示范： 【教学建议】(1)对于已知三个内角的情况，学生能比较容易地举出反例。(2)已知三边画三角形时，可以利用量角器、直尺、三角尺等一切工具。画完后，将同学们画出的三角形进行比较，通过它们都能重合这个事实，使学生认可“SSS”的条件。必要时可以改变三边的长度重复以上操作。学生在按照要求画三角形时，如果出现困难，可允许他们用相应长度的细纸条或木棒实际摆一摆。
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例1 如图，C是BF的中点，AB=DC，AC=DF。试说明：△ABC≌△DCF。解：因为C是BF的中点，所以BC=CF。在△ABC和△DCF中，AB=DC，AC=DF，BC=CF，根据三角形全等的判定条件“SSS”，所以△ABC≌△DCF。【对应训练】教材P100随堂练习第1题。
设计意图 探究点2 三角形的稳定性师：由上面的结论可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了。问题1 下面我们来做一个试验，取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，你所得到的框架的形状固定吗 用四根木条钉成的框架的形状固定吗 用三根木条钉成的三角形框架是固定的，用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的。概念引入：如图①是用木条钉成的一个三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性。如图②是用四根木条钉成的一个框架，它的形状是可以改变的，因此，四边形具有不稳定性。问题2 在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子(如图)。你还能举出一些其他的例子吗？例2 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条。为什么要这样做呢？解：四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性。 【教学建议】教科书中给出了生活中利用三角形稳定性的两个例子，在现实生活中这样的例子还有很多，教师可以再举一些例子，并鼓励学生自己找出实例，感受数学在生活中的应用。
通过摆弄木条体会三角形稳定性的相关知识，并让学生列举生活中的实例说明，体会数学在生活中无处不在，同时培养学生的应用意识。
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【对应训练】人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是 三角形具有稳定性 。
活动三：典例精讲，升华提高 例 已知：如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，试说明：△ABC≌△AED。解：因为BD=CE，所以BD-CD=CE-CD,即BC=ED。在△ABC和△AED中，因为AC=AD，AB=AE，BC=ED，根据三角形全等的判定条件“SSS”，所以△ABC≌△AED。【对应训练】如图，在△ABC和△EFD中，AD=FC，AB=FE，BC=ED。试说明∠B=∠E。解：因为AD=FC，所以AD+DC=FC+DC，即AC=FD。在△ABC和△FED中，因为AC=FD，AB=FE，BC=ED，根据三角形全等的判定条件“SSS”，所以△ABC≌△FED，所以∠B=∠E。 【教学建议】教师要引导学生找对应边并用如图的样式进行标记。当遇到两条线段相等，且有公共部分时，可考虑用线段的加、减得出所需的相等线段。
设计意图
通过例题告诉学生当用“边边边”判定两个三角形全等，边的条件没有直接给出时，可以通过线段的和差进行转化。
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.说一说如何探索三角形全等的条件。2.通过三条边判定三角形全等的定理是什么？3.已知三角形的三条边如何用尺规作这个三角形？4.什么是三角形的稳定性？四边形具有稳定性吗？你能举出生活中的实例吗？【知识结构】
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【作业布置】1.教材P106～109习题4.3第1，8，9，12，13题。2.相应课时训练。
板书设计 3 探索三角形全等的条件第1课时 利用“边边边”判定三角形全等1.探究三角形全等的条件 (1)一个条件；(2)两个条件；(3)三个条件：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。2.三角形的稳定性。
教学反思 有效的数学学习不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学习数学的重要方式。本节课在教学中一方面引导学生动手去画，另一方面鼓励学生合作交流，既让学生获得知识，培养学生的合作意识，调动学生的主观能动性，使学生积极主动地参与教学活动，对只有一个或两个条件得不到三角形全等，发现三角形全等的条件有更直观的认识，又让学生获得方法，为后继的学习积累经验。
解题大招一 利用“SSS”解决三角形全等需要添加的条件问题
解此类题关键是要分清判断的是哪两个三角形全等，利用的是什么定理，把已知条件代入，即可看出所缺的条件。
例1 如图，已知AB=AC，AE=AD，点B，D，E，C在同一条直线上，要利用“SSS”推理得出△ABE≌△ACD，还需要添加的一个条件是 BD=CE（答案不唯一） 。
解题大招二 利用“SSS”判定三角形全等
除已知的边相等外，找等边还有以下几种方法：①中点(或三角形的中线);②公共边；③一部分相等，另一部分是公共的，可利用等边加(或减)等边，其和(或差)仍相等；④全等三角形的对应边相等。
例2 如图，AD=BC，AC=BD。试说明：∠C=∠D。
解：如图，连接AB。在△ABD和△BAC中，
因为AD=BC,BD=AC,AB=BA，
根据三角形全等的判定条件“SSS”，所以△ABD≌△BAC，所以∠D=∠C。
培优点 利用“SSS”判定三角形全等的实际应用
例 如图是雨伞开闭过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC。当O沿AD滑动时，雨伞开闭。雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？请说明理由。
解：∠BAD=∠CAD。理由：
因为AB=AC，AE=AB，AF=AC，所以AE=AF。
在△AEO和△AFO中，因为AE=AF，AO=AO，OE=OF，
根据三角形全等的判定条件“SSS”，所以△AEO≌△AFO，所以∠BAD=∠CAD。

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