资源简介

2 全等三角形
教学目标
课题 2 全等三角形 授课人
素养目标 1.学会辨认全等三角形的对应元素。2.掌握全等三角形的概念和性质。3.通过动手操作，认真观察全等三角形，丰富学生对全等三角形的认识，培养学生的观察和动手能力，发展学生的几何直观。
教学重点 探究全等三角形的性质。
教学难点 全等三角形的性质的应用。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境引入】1.观察下列图形，它们的形状、大小有什么关系？形状大小都相同。2.观察这些图片，你能找出形状、大小完全一样的几何图形吗？3.操作并交流：将两张纸重叠在一起，剪出两张三角形，观察它们的特征，你有何发现？学习完今天这节课，你就能找到答案了！ 【教学建议】教学中可让学生列举生活中的例子，并试着用一个名词概括这些例子的特征。
设计意图
通过图形和问题容易引起学生的注意，使他们能很快地投入学习的情境中同时引出本节要讨论的内容。
活动二：实践探究，获取新知 探究点 全等三角形的概念与性质问题1 在活动一第3点中，我们剪出了两张能重叠在一起的三角形，那么如何定义这样的三角形呢？概念引入：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 【教学建议】教师提示：“能够完全重合”这一点跟图形的位置没有关系。
设计意图
全等三角形的对应
教学步骤 师生活动
边和对应角的识别既是重点，也是难点，同时也是后续学习中探索三角形全等条件的关键。本环节通过问题启发式活动，让学生练习寻找全等三角形的对应边和对应角的方法，及时地巩固了新知，再通过学生交流得出全等三角形的性质，操作探究全等三角形内其他线段的关系，归纳总结规律，使学生掌握新知。 示例：图中△ABC与△DEF能够完全重合，它们是 全等三角形 。其中，顶点A与顶点D重合，它们是对应顶点；边AB与边DE重合，它们是对应边；∠A与∠D重合，它们是对应角。问题2 你还能在上图中找出其他的对应顶点、对应边和对应角吗？问题3 由此，你可以归纳出全等三角形的性质吗？由学生交流，学生代表回答。教师归纳：全等三角形的对应边相等、对应角相等。问题4 全等三角形如何表示呢？△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。全等三角形的性质用几何语言表述：师：下面大家将活动一中剪出的重叠的三角形纸片拿出来，画出两个三角形纸片对应边的高。问题5 全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线呢？对应的角平分线呢？学生依次操作后归纳：全等三角形对应边的高相等、对应边的中线相等、对应的角平分线相等。 【教学建议】教师提示：当用符号“≌”表示两个三角形全等时，对应顶点、对应边和对应角即可确定。（即根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角。举例：△ABC≌△DEFAB与DE是对应边，BC与EF是对应边，AC与DF是对应边。∠A与∠D是对应角，∠B与∠E是对应角，∠C与∠F是对应角。
教学步骤 师生活动
例 ［教材P95操作·交流（2）］如图①，已知△ABC≌△A′B′C′，点D，E分别在BC边、AB边上，请在△A′B′C′中画出与线段DE相对应的线段。图中有哪些相等的线段、相等的角？与同伴进行交流。教师注意：让学生自己动手画线段，教师请学生代表在黑板上面画，然后分组交流讨论图中相等的线段、相等的角。解：画图如图②。【对应训练】教材P96随堂练习第1，2题。 【教学建议】教师提示：在△A′B′C′中画出与点D，E相对应的点D′，E′，然后连接D′E′，这里应鼓励学生根据全等图形的概念，用是否重合来验证。
活动三：操作交流，升华提高 例 (教材P96尝试·交流）准备一张等边三角形纸片，你能用折纸的办法把它分成两个全等三角形吗？能把它分成三个全等三角形吗？能把它分成四个全等三角形吗？与同伴进行交流。解：分成两个全等三角形：【对应训练】如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出三种不同的设计方案。 【教学建议】此处应鼓励学生根据全等三角形的有关概念和性质，通过观察、尝试，找到分割的方法，并用分出来的图形是否重合来验证所得的结论。
设计意图
目的是使学生在操作过程中进一步理解全等三角形的有关概念，发展空间观念。
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.全等三角形的概念和表示方法是什么？2.如何确定全等三角形的对应元素？3.全等三角形的性质是什么？4.全等三角形对应边的高相等吗？对应边的中线相等吗？对应的角平分线相等吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P97习题4.2第1～3题。2.相应课时训练。
板书设计 2 全等三角形1.全等三角形的定义。2.全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。3.全等三角形的表示。
教学步骤 师生活动
教学反思 本节课在教学中调动了学生学习的积极性，学生能够在老师的启发和引导下积极地去探索、思考、归纳总结，合作交流完成学习目标，充分发挥了学生的主体作用，加深了学生对知识的理解和掌握，培养了学生的逻辑思维能力和综合论证能力。
解题大招一 确定全等三角形对应边、对应角的方法
(1)字母顺序法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
(2)图形特征法：①最长边对应最长边，最短边对应最短边；②最大角对应最大角，最小角对应最小角。
(3)位置关系法：①公共角或对顶角为对应角，公共边为对应边；②对应角所对的边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边；③对应边所对的角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
例1 如图，若△BOD≌△COE，∠B=∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角。
解：△BOD与△COE的对应边为：
BO与CO，OD与OE，BD与CE。
△ADO与△AEO的对应角为：∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，∠AOD与∠AOE。
解题大招二 利用全等三角形的性质求角或线段的值
(1)当求线段长时，应用全等三角形的对应边相等，可以考虑用等式的性质进行转化，先找到所求线段
与已知线段之间的关系，再求解。
(2)当求角的度数时，常利用三角形内角和定理，全等三角形的对应角相等等。
例2 如图，△ACF≌△DBE，其中点A，B，C，D在同一条直线上。
(1)若BE⊥AD，∠F=63°，求∠A的度数；
(2)若AD=11cm，BC=5cm，求AB的长。
解：(1)因为BE⊥AD，所以∠EBD=90°。
因为△ACF≌△DBE，所以∠FCA=∠EBD=90°，所以∠A=90°-∠F=90°-63°=27°。
(2)因为△ACF≌△DBE，所以CA=BD，所以CA-CB=BD-BC，即AB=CD。
因为AD=11cm，BC=5cm，所以AB+CD=11-5=6(cm)，所以AB=3cm。
例3 （教材P97第3题变式题）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，求∠ABD的度数。
解：因为△ADB≌△EDB≌△EDC，
所以∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C。
因为∠BED+∠CED=180°，所以∠BED=∠CED=90°，
所以∠A=90°，所以∠ABC+∠C=90°，所以3∠ABD=90°，所以∠ABD=30°。
培优点 与全等三角形的性质有关的探究
例 如图，已知在△ABC中，∠B=∠C，AB=10cm，BC=8cm，D为AB的中点。点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动。同时，点Q在线段CA上以相同的速度由点C向点A运动，一个点到达终点后另一个点也停止运动。当点P运动多长时间时，△BPD与△CQP全等
解：因为D为AB的中点，AB=10cm，所以BD=AD=5cm。
设点P运动的时间是x s，则BP=CQ=3xcm，CP=(8-3x)cm。
分两种情况讨论：①若BD与CQ是对应边，则BD=CQ，所以5=3x，解得x=,
此时BP=5cm，CP=3cm，BP≠CP，故舍去。
②若BD与CP是对应边，则BD=CP，所以5=8-3x，解得x=1，此时BP=3cm，CQ=3cm，符合题意。
综上所述，当点P运动1s时，△BPD与△CQP全等。
易错提醒：用符号“≌”表示两个三角形全等时，对应顶点已经明确，但用语言描述两个三角形全等时，却没有明确对应顶点，因此要分类讨论，同时要注意讨论结果的取舍。本题中的全等关系是用语言表述的，不要因忽略CP的对应边也可能是BP而考虑不全面。

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