资源简介

第3课时 角平分线的性质
教学目标
课题 第3课时 角平分线的性质 授课人
素养目标 1.经历探索角的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念。2.探索并说明角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，发展逻辑推理能力。3.能用尺规作图作一个角的平分线，发展动手操作及作图能力。
教学重点 角平分线的性质定理。
教学难点 角平分线的性质定理的探索与应用。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 【情境引入】上节课我们学习了基本图形“线段”是轴对称图形，这节课我们来学习另一个基本图形——“角”。我们知道角是生活中常见的图形，那它是轴对称图形吗？ 【教学建议】通过提问引起关于角的对称性的探讨，吸引学生注意力的同时感悟数学知识在实际生活中的应用。
设计意图
用实物导入，铺垫新课。
活动二：交流合作，探究新知 探究点1 角的平分线的性质操作1 在一张纸上任意画一个角，沿角的两边将角剪下，并将这个角对折，使角的两边重合，再打开纸片。问题1 （1）折痕与这个角有什么关系？折痕是这个角的平分线。（2）角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？归纳总结：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。操作2 如图①，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点。在∠AOB的两边上画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′。 【教学建议】教学中应让学生充分经历这一活动过程，并把活动和思考结合起来，以加深对角的轴对称性的理解，同时积累数学活动经验。不同于线段的对称轴，角的对称轴有且仅有一条。
设计意图
通过折纸活动使学生认识到角的对称性，在此基础上探索角的平分线的性质，使知识在传授的过程中
教学步骤 师生活动
达到层层深入、循序渐进的教育教学效果。 问题2 （1）你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由。CD=CD′。可以通过说明三角形全等，再利用其对应边相等的性质得到CD=CD′。（2）特别地，当CD⊥OA时（如图②），CD′与OB有怎样的位置关系？为什么？此时，线段CD和CD′之间还有（1）中的关系吗？由此你能得到什么结论？CD′⊥OB。因为角具有轴对称性。线段CD和CD′之间还有（1）中的关系，即CD=CD′。归纳总结：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（3）请用推理说明（2）中线段CD和CD′之间的关系。因为CD⊥OA，CD′⊥OB，所以∠ODC=∠OD′C=90°。因为OP是∠AOB的平分线，所以∠COD=∠COD′。又因为OC=OC，所以△COD≌△COD′（AAS）。所以CD=CD′。问题3 回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法？积累了哪些经验？运用了折纸的方法，积累了动手操作的经验。【对应训练】教材P133随堂练习第1题。 【教学建议】在探索角平分线的性质定理时，学生说明线段相等的理由可能有多种，这里也可以采用折纸的方式，也可以采用刻度尺测量的方式，然后让学生自己总结得出的结论。教学时鼓励学生讨论交流，也可以利用多媒体演示，以加强对角平分线的性质定理的理解。
设计意图 探究点2 角的平分线的作法如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线？假设∠AOB的平分线已作出，请回答下列问题：问题1 这条射线有什么特征？这条射线在∠AOB内部，端点是O，在这条射线上任取一点（非点O），这一点到边OA，OB的距离相等。问题2 如何确定这条射线上除端点之外的一个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢？用量角器量取∠AOB的大小，利用量角器以OA或OB为边、度数为∠AOB的一半，在∠AOB内部作一条射线即为角平分线，射线上任一点均可。如果只用尺规也可以。例1 （教材P132例3）如图，已知∠AOB，请用尺规作∠AOB的平分线。作法：1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE（如图）。2.分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点C。3.作射线OC。射线OC就是∠AOB的平分线。 【教学建议】尺规作图不要求学生写作法，但学生应能说明其中的道理，即以操作和理解为主，提高学生语言表达能力。角的平分线的作法的道理是用“SSS”证明三角形全等，需要注意的是必须以大于AB的长为半径作弧，其原因与作线段的垂直平分线中以大于AB的长为半径作弧的原因一致。
引入角的平分线的尺规作图方法，锻炼学生作图能力。
教学步骤 师生活动
问题3 过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点？ 已知：如图，平角∠AOB。求作：平角∠AOB的平分线。作法：1.以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交角的两边于点A，B（如图）。2.分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径在角的同一侧作弧，两弧的交点为C。3.作直线OC。射线OC就是平角∠AOB的平分线。作一个平角的平分线的方法就是过直线上一点作已知直线的垂线的方法，只是前者最后是作射线，而后者最后是作直线。【对应训练】教材P130随堂练习第2题。
活动三：强化运用，巩固提升 例 如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于点E，且PE=3，求AD与BC之间的距离。解：如图，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N。因为AD∥BC，所以MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离。因为AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，所以PM=PE。同理，PN=PE。所以PM=PN=PE=3。所以MN=PM+PN=6，即AD与BC之间的距离为6。【对应训练】如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E。（1）若∠B=40°，∠C=76°，求∠EDA的度数；（2）若AB=10，AC=8，DE=3，求△ABC的面积。解：（1）因为∠B=40°，∠C=76°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=64°。因为AD是△ABC的角平分线，所以∠DAE=∠BAC=32°。因为DE⊥AB，所以∠AED=90°，所以∠EDA=180°-∠AED-∠DAE=58°。（2）如图，过点D作DF⊥AC于点F。因为AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF=3。因为AB=10，AC=8，所以S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DF=×10×3+×8×3=27。 【教学建议】利用角平分线的性质解决问题的关键是找到角平分线上的点到角两边的垂线段：(1）若已知条件存在这两条垂线段，则直接考虑垂线段相等；（2）若已知条件存在一条垂线段，则考虑通过作辅助线作出另一条垂线段；（3）若已知条件不存在垂线段，则考虑通过作辅助线作出两条垂线段。
设计意图
构造垂线段利用角的平分线的性质解题，强化关于性质定理的运用，巩固本节课所学。
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.角是轴对称图形吗？它的对称轴有什么特点？2.角的平分线的性质是什么？你能用它解决相关问题吗？3.怎么用尺规作一个角的平分线？能解决相关作图的实际应用题吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P133～135习题5.2第4，9，10，14题。2.相应课时训练。
板书设计 第3课时 角平分线的性质1.角的轴对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。2.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。3.角的平分线的作法。
教学反思 本节课探究内容包括角的轴对称性、角平分线的性质、角平分线的作法及简单的实际应用，较好地体现了“教为主导，学为主体，探索为主线，思维为核心”的教学理念：学生通过自己动手动脑，得到不同的折叠、剪纸、验证的办法，拓展了探究思路，在验证自己结论的同时培养了反思、修正、归纳的能力；在描述探究结果的过程中，学生通过有条理的语言表达，进一步提高了数学语言的运用能力，为今后的推理和严格证明打下坚实基础。
解题大招一 利用角平分线的性质定理进行计算或推理
两条线段之间的关系有位置关系和数量关系两种，位置关系包括垂直、平行等，数量关系包括相等、和差倍分等。运用角平分线的性质可得线段相等，是说明两条线段相等的又一思路，有时还会结合全等三角形进行推理说明。
例1 如图，AC平分∠DAB，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于点E，CF⊥AB交AB的延长线于点F。试说明：CD=CB。
解：因为AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB，所以CE=CF，∠DEC=∠BFC=90°。
因为∠D+∠ABC=180°，∠CBF+∠ABC=180°，所以∠D=∠CBF。
在△CDE和△CBF中，因为∠D=∠CBF，∠DEC=∠BFC，CE=CF，
所以△CDE≌△CBF(AAS)，所以CD=CB。
计算三角形的周长时一般有两种方法，一是直接计算出三角形的三边长进行求解，二是“分散表示，替换重组”，即先把周长表示成三边和，然后利用转化思想把三边用相等线段进行替换，重新组合成其他线段的和进行求解。
例2 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E。若BC＝17cm，求△CDE的周长。
解：因为BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A＝90°，所以∠ABD＝∠EBD，AD＝DE。在△ABD和△EBD中，因为∠BAD＝∠BED=90°，∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，所以△ABD≌△EBD(AAS)。所以AB＝EB。所以△CDE的周长＝DE+CD+CE＝AD+CD+CE＝AC+CE＝AB+CE＝BE+CE＝BC。因为BC＝17cm，所以△CDE的周长是17cm。
解题大招二 角平分线的作图的实际应用
实际问题中找某个点使其到另两条直线的距离相等，实际上这个点就在角的平分线（或反向延长线）上，再根据其他限制条件确定这个点，有时候也会与求作线段的垂直平分线综合考查。
例3 如图，AO，BO是两条相交的公路，M，N是两家物流公司，现在要建一个货物中转站，要求中转站到两条公路的距离也相等，且到两家物流公司的距离也相等，请在图中找出符合要求的点。
解：如图，作∠AOB的平分线OH，∠AOE的平分线OF，连接MN，作线段MN的垂直平分线，交OH于点C,交OF于点D。点C和点D即为符合要求的货物中转站的位置。
培优点 与角平分线的性质有关的三角形面积问题
例 已知在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连接AD。
（1）如图①，当D是BC边的中点时，S△ABD∶S△ACD= 1∶1 。
（2）如图②，当AD平分∠BAC时，若AB=m，AC=n，求S△ABD∶S△ACD的值（用含m，n的式子表示）。
（3）如图③，AD平分∠BAC，延长AD到点E，使得AD=DE，连接BE。若AC=3，AB=5，S△BDE=10，求S△ABC的值。
解：（2）如图②，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
因为AD为∠BAC的平分线，所以DE=DF。
因为AB=m，AC=n，所以S△ABD∶S△ACD=(AB·DE)∶(AC·DF)=m∶n。
（3）因为AD=DE，所以由（1）知S△ABD∶S△EBD=1∶1。因为S△BDE=10，所以S△ABD=10。
因为AC=3，AB=5，AD平分∠CAB，所以由（2）知S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=5∶3，所以S△ACD=6，
所以S△ABC=S△ABD+S△ACD=10+6=16。

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