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第2课时 线段垂直平分线的性质
教学目标
课题 第2课时 线段垂直平分线的性质 授课人
素养目标 1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念。2.理解线段垂直平分线的概念，探索并说明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，发展逻辑推理能力。3.能用尺规作图作一条线段的垂直平分线，发展动手操作及画图能力。
教学重点 线段垂直平分线的性质定理。
教学难点 线段垂直平分线的性质定理的探索与应用。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：旧知回顾，新课导入 【问题引入】1.什么样的图形叫作轴对称图形？如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴。2.下列各图中，可看作轴对称图形的是（ B ）3.线段是轴对称图形吗？ 【教学建议】引导学生回顾轴对称图形的知识，使这几节课内容更加具有连贯性，再提问线段是否为轴对称图形，为研究线段的轴对称性，以及引出线段垂直平分线的概念做铺垫。
设计意图
通过复习旧知，并设问直接引出本节课的学习内容，激发学生的求知欲。
活动二：交流合作，探究新知 探究点1 线段的垂直平分线的性质操作1 如图，在纸片上画一条线段AB，然后对折AB，使A，B两点重合，设折痕与AB的交点为O。问题1 （1）点O是线段AB的中点吗？折痕与线段AB垂直吗？点O是线段AB的中点，折痕与线段AB垂直。（2）线段AB是轴对称图形吗？请描述它的对称轴的特点。归纳总结：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。(3)如何定义线段的这条对称轴呢？概念引入：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 【教学建议】通过折纸活动，使学生在充分实践及思考的基础上，来学习线段的垂直平分线的概念，教学和评价时，教师可以让学生回顾这一操作过程，并说明自己在操作过程中获得的
设计意图
通过折纸活动使学生认识到线段的对称性，从而引入线段的垂直平分线的
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概念，并在此基础上探索其性质，再通过例题运用这一性质巩固所学，使知识在传授的过程中达到层层深入、循序渐进的教育教学效果。 操作2 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以直线l为对称轴的一组对应点D和D′，连接CD和CD′。问题2 （1）你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由。CD=CD′。可以通过说明三角形全等，再利用其对应边相等的性质得到CD=CD′。（2）特别地，当点D与点A重合时，点D′位于什么位置？此时，线段CD和CD′之间还有（1）中的关系吗？由此你能得到什么结论？点D′与点B重合。线段CD和CD′之间还有（1）中的关系，即CD=CD′。例1 如图，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，求△BDC的周长。解：因为边AB的垂直平分线交AC于点D，所以AD=BD。所以△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=6+4=10。【对应训练】教材P130随堂练习第1题。 结论以及所得结论的理由（可以从线段重合、三角形全等或是测量的角度去阐述）。事实上，线段还有另外一条对称轴，即线段所在的直线，但不要求学生掌握。【教学建议】在探索线段垂直平分线的性质定理时，学生说明线段相等的理由可能有多种，这里也可以采用折纸的方式，也可以采用多次选点然后用刻度尺测量的方式，然后让学生自己总结得出的结论。教学时鼓励学生进行讨论与交流，也可以利用多媒体演示，以加强对线段垂直平分线的性质的理解。
设计意图 探究点2 线段的垂直平分线的作法如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线？假设线段AB的垂直平分线已作出，请回答下列问题：问题1 这条直线有什么特征？这条直线与AB的交点是AB的中点，且与AB垂直，任取直线上一点，到点A，B的距离相等。问题2 如何确定这条直线上的两个点？用三角尺、量角器、圆规等工具试一试。如果只用尺规呢？ 【教学建议】尺规作图不要求学生写作法，但学生应能说明其中的道理，即以操作和理解为主，提高学生语言表达能力。线段的垂直平分线的作
引入线段的垂直平分线的尺规作图方法，锻炼学生作图能力。
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用三角尺确定AB的中点，再用量角器在A，B处于AB的同一侧作同样大小的角，交点即为另一个点，或是用圆规分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径在AB的同一侧作弧，交点即为另一个点。如果只用尺规也可以。例2 （教材P129例2）如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线。作法：1.分别以点A和点B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D（如图）；2.作直线CD。直线CD就是线段AB的垂直平分线。思考 如图，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P？能说明你的作法的道理吗？作法：1.以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B（如图）；2.分别以点A和点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；3.作直线CP。直线CP就是l的垂线。这种作法的道理实际上是作以P为中点的线段AB的垂直平分线。【对应训练】教材P130随堂练习第2题。 法的道理实质是等腰三角形的“三线合一”性质，由垂直平分线的性质就可以直接得到等腰三角形，从而简化了过程（相对三角形全等），所以用圆规取等长的半径来找寻等腰三角形。需要注意的是必须以大于AB的长为半径作弧，可让学生尝试分别以小于AB的长或等于AB的长来作弧，会发现一种没交点，另一种交点不明显。
活动三：综合运用，巩固提升 例 如图，在△ABC中，MP，NQ分别垂直平分AB，AC。（1）若△APQ的周长为12，求BC的长；（2）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度数。解：（1）因为MP，NQ分别垂直平分AB，AC，所以AP=BP，AQ=CQ。所以△APQ的周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC。因为△APQ的周长为12，所以BC=12。（2）因为AP=BP，AQ=CQ，所以△ABP与△ACQ都是等腰三角形，所以∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ。因为∠BAC=105°，所以∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-105°=75°，所以∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=105°-75°=30°。 【教学建议】由于线段的垂直平分线的性质可以得到线段的等量关系，既可以用于论述推理，也可以用于计算，所以将这种出题形式混合呈现给学生，加深学生的直观感受。教师通过对例题的讲解，进一步规范学生的解题方法及步骤，
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利用线段的垂直平分线的性质，综合其他知识点如平行线、三角形的内角和、“三线合一”等出题，巩固学生对
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于新知的理解和运用，强化解题能力。 【对应训练】如图，AD是△ABC的高，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F。（1）若∠B=40°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠B=∠AED。解：（1）因为EF是AD的垂直平分线，所以EF⊥AD。因为AD是△ABC的高，所以BC⊥AD，所以易得EF∥BC，所以∠AEF=∠B=40°。（2）因为EF是AD的垂直平分线，所以EA=ED，所以△ADE是等腰三角形。又因为EF⊥AD，所以EF平分∠AED，所以∠AEF=∠AED。由（1）可知，∠AEF=∠B，所以∠B=∠AED。 重点是让学生能理解和应用线段的垂直平分线的性质，掌握解题的方法和步骤，提高学生的应用能力，然后让学生尝试自主完成对应的习题，最后集中点评。
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴有什么特点？2.什么是线段的垂直平分线？它具有什么性质？你能用它的性质解决相关问题吗？3.怎么用尺规作一条线段的垂直平分线？能解决相关作图的实际应用题吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P133～135习题5.2第2，3，8，13题。2.相应课时训练。
板书设计 第2课时 线段垂直平分线的性质1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。2.线段的垂直平分线的概念：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线。3.线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。4.线段的垂直平分线的作法。
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教学反思 本节课的内容是学习线段的垂直平分线的性质，这在以后的学习中经常用到，是后续学习的基础，是在认识了轴对称及轴对称性质的基础上进行的，也是今后说明线段相等和直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。教学时应从实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流的方式去获取数学知识，使课堂气氛变得生动活泼的同时，培养他们解决实际问题的能力。
解题大招一 利用线段的垂直平分线的性质进行推理
利用垂直平分线的性质可得到相等的线段，有时候还需要利用等腰三角形的性质再次转化线段的等量关系，或由线段的等量关系得到角的等量关系。
例1 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，点E在AC的垂直平分线上。试说明：AB+BD=CD。
解：由AB=AE可知△ABE是等腰三角形。
因为AD⊥BC，所以BD=DE。
因为点E在AC的垂直平分线上，所以AE=CE，所以AB=CE。
所以AB+BD=CE+DE=CD。
解题大招二 线段的垂直平分线作图的实际应用
实际问题中找寻某个位置使其到另两个位置的距离相等，实质上就是线段相等，根据线段的垂直平分线的性质可知，要求作的就是线段的垂直平分线与某直线的交点。
例2 某乡镇准备为三个村庄A，B，C(其位置如图所示)修建一口水井，要求水井到三个村庄的距离相等，水井应该修在什么地方呢，你能找到吗？
解：如图，连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，交于点P，则点P就是水井的位置。
培优点 线段的垂直平分线的性质与全等三角形的综合运用
例 如图，AC垂直平分BD交BD于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F。
（1）试说明：∠ABC=∠ADC；
（2）若AB=13，DF=6，求AE的长。
分析：（1）利用线段的垂直平分线的性质得AB=AD，CB=CD，进而利用“SSS”说明△ABC≌△ADC，即可说明∠ABC=∠ADC；
（2）由（1）得AB=AD=13，则AF=7，由全等三角形的性质得到∠BAC=∠DAC，再说明△AEO≌△AFO，即可得到AE=AF=7。
解：（1）因为AC垂直平分BD，所以AB=AD，CB=CD。
在△ABC和△ADC中，因为AB=AD，BC=DC，AC=AC，
所以△ABC≌△ADC(SSS)，所以∠ABC=∠ADC。
（2）由（1）得AB=AD=13，△ABC≌△ADC，
所以∠BAC=∠DAC，AF=AD-DF=13-6=7。
因为OE⊥AB，OF⊥AD，所以∠AEO=∠AFO=90°。
在△AEO和△AFO中，因为∠AEO=∠AFO，∠EAO=∠FAO，AO=AO，
所以△AEO≌△AFO(AAS)，所以AE=AF=7。

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