资源简介

2 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形的性质
教学目标
课题 第1课时 等腰三角形的性质 授课人
素养目标 经历探索等腰三角形的轴对称性的过程，了解等腰三角形的轴对称性，进一步理解轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念。
教学重点 等腰三角形的性质。
教学难点 等腰三角形的性质及其探究过程。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 【情境引入】请同学们观察下面几幅生活中的图片，你能从图中找出所熟悉的三角形吗？它的形状有什么特别之处呢？等腰三角形。等腰三角形是生活中常见的图形。今天我们要通过对等腰三角形的有关特征的学习，进一步加强对轴对称的性质的理解。大家准备好了吗？ 【教学建议】用实际生活中的景物导入，吸引学生的注意力的同时，感悟数学知识在实际生活中的应用。
设计意图
让学生欣赏生活中等腰三角形的图片，激发学习兴趣。
活动二：交流合作，探究新知 探究点1 等腰三角形的性质问题1 如图，等腰三角形中包含哪些元素？一个顶角、两个底角、两条腰、一条底边。操作 把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把它展开，得到的△ABC有什么特点？△ABC的两条边AB与AC相等，它是等腰三角形。问题2 上面的△ABC是轴对称图形吗？如果是，沿它的对称轴折叠，你能发现哪些相等的线段和相等的角？△ABC是轴对称图形，折痕AD即是它的对称轴。 【教学建议】学生已经学习过等腰三角形的概念，可以先引导学生回顾这一概念，再通过问题引导学生探索等腰三角形的轴对称性及其相关性质。教学时，可以让学生动手折纸、裁剪辅助思考，对于学生回答问题时
设计意图
探索等腰三角形的轴对称性及其有关特征，让学生动手折一折等腰三角形纸片，发
教学步骤 师生活动
现结论并由此归纳等腰三角形的有关特征，然后利用这些特征解题。 问题3 等腰三角形的对称轴是一条怎样的直线？你是如何描述的？沿对称轴折叠，可以把等腰三角形变为两个全等的直角三角形，对称轴既平分等腰三角形的顶角，也是等腰三角形底边上的中线或高所在的直线。问题4 你认为等腰三角形有哪些特征？归纳总结：等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线是等腰三角形的对称轴。等腰三角形的两个底角相等。例1 （教材P127例1）已知一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，求它的各个内角的度数。解：设这个等腰三角形顶角的度数为x°，则底角的度数为2x°。根据“三角形三个内角的和等于180°”，得x+2x+2x=180。解得x=36。2×36=72。所以，这个三角形的三个内角分别是36°，72°，72°。思考 如图，△ABC是一个等腰三角形，直线l是它的对称轴。请在△ABC中画出以直线l为对称轴的一组对应点、一组对应线段、一组对应角，你能发现哪些相等的线段、相等的角，以及形状、大小完全相同的图形？【对应训练】教材P128随堂练习第2题。 的差异性，教师可进一步提问，由此引发思考，从而进一步进行归纳总结。如问题3中对于对称轴的描述，可能回答是顶角的平分线所在的直线，也可能有其他回答，于是教师可以提问：“你们所说的是同一条线吗 ”【教学建议】通过折叠操作学生容易发现等腰三角形的对称轴即为折痕，而折叠可得全等三角形，能进一步通过全等说明等腰三角形的“三线合一”“两底角相等”的性质，教师可让学生自行探索写出验证过程，加深学生的理解，利于培养学生的动手能力、数学表达能力、团队合作意识。
教学步骤 师生活动
设计意图 探究点2 等边三角形的性质问题1 当等腰三角形的腰与底边相等时，它是什么三角形？等边三角形。问题2 动手试一试，将一张等边三角形纸片对折，并使得折痕两旁的部分能完全重合，你能找到几条这样的折痕？这说明了什么？三条，说明了等边三角形有3条对称轴。问题3 你能发现等边三角形的哪些特征？归纳总结：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，它们是等边三角形三条角平分线所在的直线，也是三条中线和三条高所在的直线。等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。例2 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，求∠ACE的度数。解：在等边三角形ABC中，∠ACB=60°。因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。又因为DE=DE，所以△BDE≌△CDE（SAS），所以∠EBD=∠ECD=45°，所以∠ACE=∠ACB-∠ECD=15°。【对应训练】教材P128随堂练习第1题。 【教学建议】教师应鼓励学生通过操作和思考分析等边三角形的轴对称性，并尽可能多地探索它的特征。这里通过折纸的方法来进行认识，也可让学生利用学具画图寻找对称轴。在找寻等边三角形的特征时，除了借助之前的折叠操作观察，也可以通过等边三角形的特殊性来推测，由于学生之前已经知道等边三角形具备等腰三角形的一切特性，所以可以让学生自己归纳，最后教师总结点评。
探索等边三角形的轴对称性及其有关特征，让学生动手折一折等边三角形纸片，发现结论并由此归纳等边三角形的有关特征，然后利用这些特征解题。
活动三：综合演练，巩固提升 例 如图，AB=AC，点D，E均在BC上，若AD=AE，试说明：BD=CE。解：如图，过点A作AG⊥BC于点G。由AB=AC，AD=AE，可知△ABC，△ADE均是等腰三角形。因为AG⊥BC，所以BG=CG，DG=EG，所以BG-DG=CG-EG，即BD=CE。【对应训练】如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AM⊥CD，垂足为M。试说明：CM=DM。解：如图，连接AC，AD。在△ABC和△AED中，因为AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，所以△ABC≌△AED(SAS)。所以AC=AD，所以△ACD是等腰三角形。又因为AM⊥CD，所以CM=DM。 【教学建议】在一些论述线段相等或角相等的题目中，若存在等腰三角形，有时需要添加辅助线，以其顶角平分线（底边上的高或中线）最为常见；若不存在等腰三角形，则可能需添加辅助线构造等腰三角形，从而利用“三线合一”的性质解题。
设计意图
通过边相等识别等腰三角形，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题，巩固本节课所学。
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.等腰三角形具备哪些性质？2.等边三角形具备哪些性质？【知识结构】【作业布置】1.教材P133～135习题5.2第1，5，6，7，11，12题。2.相应课时训练。
板书设计 2 简单的轴对称图形第1课时 等腰三角形的性质
教学反思 本节课开始主要认识简单的轴对称图形，由于等腰三角形的轴对称性是最直观、最易于被认知的，所以先从等腰三角形开始学习。本节课是在学生掌握了一般三角形和轴对称的知识，具有初步的推理能力的基础上进行的，而“等腰三角形两个底角相等”和“三线合一”的性质是今后论证两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直的重要依据，担负着进一步帮助学生学会分析、推理的任务，在培养学生的思维能力和推理能力等方面有重要的作用。
解题大招一 等腰（边）三角形中的角度计算
利用等腰三角形的两个底角相等求角度，常常需结合三角形的内角和等于180°来解答；而等边三角形的三个内角都是60°，从而在题干中未给出度数条件时获取关于角度的信息，再进一步根据题目要求综合“三线合一”的性质进行解题。
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E。若∠E=32°，则∠BAC的度数是（ B ）
A.32° B.52° C.64° D.68°
例2 如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使DB=DE。求∠BDE的度数。
解：由DB=DE，可得△BDE是等腰三角形，所以∠E=∠DBE。
因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°。
因为BD是AC边上的高，所以BD平分∠ABC，∠BDC=90°，
所以∠E=∠DBE=∠ABC=30°。
又因为∠DCE=180°-∠ACB=120°，所以∠CDE=180°-∠E-∠DCE=30°。
所以∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°。
解题大招二 等腰三角形中的分类讨论思想
由于等腰三角形的顶角不确定，当题目未给出图形而要求某个内角的度数时，常常需要分类讨论求解。
类似地还有腰不确定时也需分类探讨，但要注意三边长要满足构成三角形这一前提条件。
例3 已知△ABC是等腰三角形，且∠A+∠B=132°，求∠A的度数。
解：分三种情况讨论：
①当∠A为顶角时，∠B=∠C。因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=132°，所以∠B=∠C=48°，所以∠A=84°。
②当∠C为顶角时，∠A=∠B。因为∠A+∠B=132°，所以∠A=66°。
③当∠B为顶角时，∠A=∠C。因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=132°，所以∠A=∠C=48°。
综上所述，∠A的度数为84°或66°或48°。
培优点 等腰三角形中的类比探究题
例 已知在△ABC中，AB=AC。
（1）如图①，若∠BAD=30°，AD是BC边上的高，AD=AE，则∠EDC的度数为 15° 。
（2）如图②，若∠BAD=40°，AD是BC边上的高，AD=AE，则∠EDC的度数为 20° 。
（3）思考：通过（1）（2），你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？说明理由。
分析：（1）由等腰三角形的“三线合一”，可知∠DAE=30°；由等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理，可知∠ADE=∠AED=75°，于是进一步得∠EDC=15°。
（2）同（1）中思路得∠EDC=20°。
（3）通过（1）（2）题的结果发现∠BAD的度数是∠EDC度数的2倍，即∠BAD=2∠EDC。
解：∠BAD=2∠EDC。理由如下：
因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。
因为AD是BC边上的高，所以∠ADC=90°，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。
因为AD=AE，所以△ADE是等腰三角形。
所以∠ADE=∠AED。
由三角形内角和定理，可知∠CAD=180°-∠ADE-∠AED=180°-2∠ADE。
又因为∠ADE=∠ADC-∠EDC=90°-∠EDC，所以∠BAD=180°-2（90°-∠EDC）=2∠EDC。

展开更多......

收起↑