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第五章 图形的轴对称
1 轴对称及其性质
教学目标
课题 1 轴对称及其性质 授课人
素养目标 1.通过具体实例理解轴对称的概念，了解并探索轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念。2.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形。3.理解轴对称图形的概念，能指出轴对称图形的对称轴，认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
教学重点 认识轴对称图形的特征，识别简单的轴对称图形以及找、画、数对称轴，对称轴的性质。
教学难点 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别，灵活运用轴对称的性质解决实际问题。
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：图片展示，新课导入 【问题引入】这些是什么图形？你能说说这些图形的特点吗？ 【教学建议】教师用投影仪呈现各类具有轴对称特点的图案，让学生经历观察和分析，初步认识轴对称图形，并说说自己的感受。
设计意图
展示生活中具有轴对称特点的图片，方便引入新课。
活动二：交流合作，探究新知 探究点1 轴对称图形及两个图形成轴对称问题1 观察下面的图片和图形，它们有什么共同特点？①它们都是对称的；②它们沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分能互相重合。 【教学建议】教学时应尽可能提供能展现更多层面的图片并鼓励学生充分观察、操作，用自己的语言概括出这些图形的共同特征。
设计意图
从观察生活中的轴对称现象开始，逐步给出轴对称图形、对应点、对应线段、对
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应角、两个图形成轴对称的概念，以学生的观察、操作、交流性活动为主，在形成对轴对称图形基本认识的同时，发展空间观念和积累数学活动经验，最后引导学生归纳轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系。 概念引入：对应点、对应线段和对应角：如图是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点A与点A′重合，称点A关于对称轴的对应点是点A′。类似地，线段AB关于对称轴的对应线段是线段A′B′，∠B关于对称轴的对应角是∠B′。问题2 你还能在上图中找出其他的对应点、对应线段和对应角吗？点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C；线段BC的对应线段是线段B′C，线段AC的对应线段是线段A′C；∠BAC的对应角是∠B′A′C，∠ACB的对应角是∠A′CB′，等等。问题3 观察下图中的每组图案，你发现了什么？每组图案都由两个相同图形组成，都可以看作关于一条直线对称；也可将每组图案各自看作一个轴对称图形。概念引入：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴。问题4 如图，△ABC与△A1B1C1成轴对称，MN是它们的对称轴，你认为它们也具备类似轴对称图形中的对应点、对应线段、对应角吗？如果具备，请将它们找出来。具备。对应点：点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1；对应线段：AB与A1B1，BC与B1C1，AC与A1C1；对应角：∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1。 【教学建议】教师引导学生总结轴对称图形所具备的三要素：（1）一个平面图形；（2）存在一条直线(对称轴）；（3）沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合。另外还需提醒学生注意：一个轴对称图形中的对称轴可能不止一条，也可以有多条或无数条（如圆）。【教学建议】教师引导学生归纳：轴对称图形是“一个”具有特殊形状的图形，而两个图形成轴对称是“两个”图形之间的特殊位置关系，它们两者之间可以相互转化。如果把一个轴对称图形看成沿对称轴分成的两个图形，那么这两个图形
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【对应训练】教材P124随堂练习第1题。 关于这条直线成轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个图形，那么它就是一个轴对称图形。
设计意图 探究点2 轴对称的性质问题1 如图是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴。观察这个图形，回答下列问题：（1）在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有什么关系？为什么？（2）在图中任意选一组对应角，这两个角之间有什么关系？说说你的理由。（3）连接对应点A与A′，线段AA′与对称轴之间有什么关系？连接其他任意一组对应点再试一试。（1）任意选一组线段，如AB，A′B′，这两条线段相等，因为折叠后这两条线段重合。（2）任意选一组对应角，如∠A，∠A′，这两个角相等，因为折叠后这两个角重合。（3）对称轴垂直平分线段AA′。连接其他任意一组对应点，如连接对应点B与点B′，对称轴同样垂直平分线段BB′。问题2如图，将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出数字“14”，再将纸打开后铺平。 【教学建议】问题1是探究轴对称图形，问题2是探究成轴对称的两个图形，再进行比较与归纳，从而得到轴对称的性质。教学时注意引导学生自己动手操作进行探索是重中之重。对应线段和对应角的性质学生不难得到，而对应点的连线的性质在问题1里需要学生用刻度尺和量角器去度量，问题2则用“扎眼”的方式去直观分析，可以鼓励学生在方格纸上扎出“14”。
引导学生探究并得出轴对称的性质，并利用轴对称的性质画出简单平面图形经过轴对称后的图形。以学生的观察、操作、交流性活动为主，让学生在活动中进一步发展空间观念和积累数学活动经验。
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在铺平的图中：（1）两个“14”之间有什么关系？（2）对应线段之间有什么关系？对应角之间有什么关系？连接对应点的线段与对称轴l之间有什么关系？请举例说明。（1）关于直线l对称。（2）对应线段相等，如：AB=A′B′；对应角相等，如：∠D=∠D′；对称轴l垂直平分连接对应点的线段，如：连接CC′，l垂直平分CC′。归纳总结：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。例 （教材P123例题）如图①是一个轴对称图形的一半，直线MN是这个轴对称图形的对称轴，请画出这个图形的另一半。解：如图②，延长AO至A′，使OA′=OA；延长BN至B′，使NB′=NB；依次连接MA′，MB′，A′B′，A′P，B′P。这样画出的图形就是这个图形的另一半。【对应训练】教材P124随堂练习第2，3题。 【教学建议】教师可以引导学生总结补画轴对称图形的步骤：（1）找：确定原图形的关键点(端点、顶点或拐点)；（2）作：作出每个关键点关于对称轴的对应点；（3)连：按原图形的顺序依次连接相应的对应点。提醒学生注意：当点在对称轴上时，它关于对称轴的对称点就是它本身。
活动三：思维强化，巩固提升 例 如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上。（1）若ED=15，BF=9，求EF的长；（2）若∠B=35°，∠E=65°，∠BAE=16°，求∠EAC的度数。解：（1）因为△ABC和△ADE关于直线MN对称，ED=15，BF=9，所以DF=BF=9，所以EF=ED-DF=15-9=6。(2)因为△ABC和△ADE关于直线MN对称，所以∠C=∠E=65°，所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°。因为∠BAE=16°，所以∠EAC=∠BAC-∠BAE=80°-16°=64°。【对应训练】如图，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，△ABD与△AB′D关于直线AD对称。若∠B′AC=14°，求∠B的度数。解：因为∠BAC=90°，∠B′AC=14°，所以∠BAB′=∠BAC-∠B′AC=90°-14°=76°。因为△ABD与△AB′D关于直线AD对称，所以∠BAD=∠B′AD=12∠BAB′=38°。因为AD⊥BC，所以∠ADB=90°，所以∠B=180°-∠ADB-∠BAD=180°-90°-38°=52°。 【教学建议】本部分教学以练习为主，学生可互相交流完成习题的解答。题目设计以巩固基础为主，结合三角形的背景串联起学过的知识，重心在于利用轴对称的性质准确找到相等的线段或角，学生基本都能准确完成，使其在收获成功体验的同时加深对本节知识的理解。
设计意图
考查轴对称的性质，检验学生对本节课知识的掌握程度、理解能力和运用程度，提升学生解决问题的能力。
教学步骤 师生活动
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是轴对称图形？什么是两个图形成轴对称？它们有什么区别和联系？2.你能识别轴对称图形或成轴对称的两个图形中的对应点、对应线段、对应角吗？3.轴对称的性质是什么？你能运用它解决一些几何问题吗？4.你能画出对称轴吗？能画出关于给定对称轴对称的对称图形吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P125～126习题5.1第1，2，3，4，5，6题。2.相应课时训练。
板书设计 1 轴对称及其性质1.轴对称图形及两个图形成轴对称的概念。2.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
教学反思 本节主要内容是引入轴对称的概念，然后经历探究得出轴对称的性质，以学生的观察、操作、交流性活动为主，发展学生的空间观念、动手能力，以此促进学生对轴对称的理解。实际教学时应鼓励所有学生都亲自实践，体验活动的乐趣，必要时借助多媒体教学给学生创设宽松的学习氛围，使学生保持积极的学习热情，有利于创新能力培养。
解题大招一 识别轴对称图形及画对称轴
画对称轴的方法：
注意：有时候图形的对称轴可能不止一条，不要遗漏。
例1下列图形中，哪些是轴对称图形？如果是轴对称图形，请画出对称轴。
解：(1)(3)(4)(6)(8)(9)是轴对称图形。画对称轴如图。
解题大招二 利用轴对称的性质解决折叠问题
折叠问题的实质就是轴对称问题，折叠前后的两个图形关于折痕成轴对称，折痕所在直线就是对称轴。
例2 如图，在△ABC中，∠B=42°，点D，E分别是BA，BC边上的点，将△BDE沿DE所在直线折叠，得到△FDE。若∠ADF=134°，求∠CEF的度数。
解：由折叠可知，∠BDE=∠FDE=∠BDF，∠BED=∠FED。
因为∠ADF=134°，所以∠BDF=180°-∠ADF=46°，所以∠BDE=∠BDF=23°，
所以∠BED=∠FED=180°-∠B-∠BDE=115°，所以∠CED=180°-∠BED=65°，
所以∠CEF=∠FED-∠CED=50°。
培优点 与轴对称的性质相关的探究题
例 在△ABC中，D,E分别为边AC,AB上的点，将△ABC的顶角A沿直线DE折叠，点A的对应点为点A′，记∠CDA′为∠1，∠BEA′为∠2。
（1）如图①，当点A的对应点A′落在△ABC内部时，试探究∠1，∠2与∠A的数量关系，并说明理由。
（2）如图②，当点A的对应点A′落在△ABC外部时，∠1，∠2与∠A又有怎样的数量关系呢？说明理由。
分析：（1）结合平角的定义、三角形内角和定理及轴对称的性质得出结论；
（2）同（1）的思路即可得解，注意区别：（1）中∠AED+∠A′ED+∠2=180°，而（2）中∠AED+∠A′ED-∠2=180°。
解：（1）∠1+∠2=2∠A。理由如下：
因为∠1+∠ADE+∠A′DE=180°，∠2+∠AED+∠A′ED=180°，
所以（∠1+∠2）+（∠ADE+∠AED）+（∠A′DE+∠A′ED）=360°。
因为180°-∠A=∠ADE+∠AED，180°-∠A′=∠A′DE+∠A′ED，
所以（∠1+∠2）+（180°-∠A）+（180°-∠A′）=360°。
所以∠1+∠2=∠A+∠A′。
由折叠可知∠A=∠A′，所以∠1+∠2=2∠A。
（2）∠1-∠2=2∠A。理由如下：
因为∠1+∠ADE+∠A′DE=180°，∠AED+∠A′ED-∠2=180°，
所以（∠1-∠2）+（∠ADE+∠AED）+（∠A′DE+∠A′ED）=360°。
因为180°-∠A=∠ADE+∠AED，180°-∠A′=∠A′DE+∠A′ED，
所以（∠1-∠2）+（180°-∠A）+（180°-∠A′）=360°。所以∠1-∠2=∠A+∠A′。
由折叠可知∠A=∠A′，所以∠1-∠2=2∠A。

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