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第二章 相交线和平行线
2.1两条直线的位置关系（1）
生活中的“线”
导入新知
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
相交线
平行线
若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.
在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
知识点1 平行线和相交线
探究新知
如图，直线AB与CD相交于O.观察图中的∠1与∠2的位置有什么关系
位置关系：
1.∠1和∠2有公共顶点O；
2.∠1和∠2的两边互为反向延长线.
知识点2 对顶角的定义及性质
探究新知
对顶角的定义：
有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.
∠1和∠2
∠3和∠4
图中的对顶角有：
探究新知
如图所示的四个图形中,∠1和∠2是对顶角的是 ( 　)
探究新知
B
对顶角的性质：对顶角相等.
∠1和∠2有什么数量关系？
∠1=∠2
验证：
因为∠AOB=∠COD=180°，
所以∠2+∠3=180°，
∠1+∠3=180°.
所以∠1=∠2.
所以∠2=180°-∠3，
∠1=180°-∠3.
探究新知
探究新知
理解对顶角需要注意的两点
1.对顶角是两条直线相交形成的，它们成对出现，不能单独说一个角是对顶角。
2.对顶角既反映两角之间的位置关系，又反映两角之间的数量关系。
知识点3 补角、余角
观察图中的∠1与∠3，∠2与∠4的数量有什么关系
∠1+∠3=180
∠2+∠4=180
探究新知
如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角（简称互补）.
互余、互补只与数量有关，与位置无关。
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角（简称互余）.
如图,ON与DC交于点O,∠DON=∠CON=90°,且∠1=∠2.在图中:
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
(1)有哪些角互为补角 有哪些角互为余角
(2)∠3与∠4有什么关系 为什么
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系 为什么
探究新知
如图，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=90 ，∠1=∠2.
（1）有哪些角互为补角？有哪些角互为余角？
探究新知
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
如图，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=90 ，∠1=∠2.
（2）∠3与∠4有什么关系？为什么？
理由：因为 ∠DON=∠CON=90 ，
结论：∠3=∠4
所以 ∠3=90 -∠1，∠4=90 -∠2.
因为∠1=∠2，
所以∠3=∠4.
性质：同角或等角的余角相等.
探究新知
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
如图，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=90 ，∠1=∠2.
（3）∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
理由：因为 ∠DOC=180 ，
结论：∠AOC=∠BOD
所以 ∠AOC=180 -∠1，
因为 ∠1=∠2，
所以 ∠AOC=∠BOD.
∠BOD=180 -∠2.
性质：同角或等角的补角相等.
探究新知
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
1.下列说法正确是（ ）
A.在同一平面内，不相交的两条射线是平行线
B.在同一平面内，两条直线不相交就重合
C.在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D.不相交的两条直线是平行线
直线
平行
在同一平面内
C
课堂检测
2.下列说法正确的有 ___________（填序号）
①已知∠A=40°，则∠A的余角等于50°.
②若∠1+∠2=180°，则∠1和∠2互为补角.
③若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3互补.
互补和互余指的都是两个角！

课堂检测
3.如图,点A,O,B在同一直线上,且∠AOC=∠BOC=∠EOF=90°,则∠AOE的余角有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
课堂检测
课堂检测
4.如图,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOD=160°,则∠BOC的大小为 (　　)
A.20° B.60° C.70° D.160°
D
1.相交线与平行线
2.对顶角
3.余角和补角
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种.
定义：有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做
对顶角.
性质：对顶角相等.
定义：如果两个角的和是180 ，那么称这两个角互为补角.
如果两个角的和是90 ，那么称这两个角互为余角.
性质：同角或等角的补角相等，
同角或等角的余角相等.
课堂小结
作业
内容
正式作业
课后习题2.1：1，3，4
家庭作业
绩优学案：核心解读、基础过关（必做）
能力提升、素养拓展（选做）
课后作业两条直线的位置关系 教学设计
教材分析
本节内容首先介绍平行线、相交线,在初中数学中起到承上启下的作用。在小学,学生已对平行、相交有了初步的了解，已经在形象上知晓了,本节内容在学生已有的基础上让学生自行探索平行、相交的概念，为即将要学习的“探索直线平行的条件”、“探索平行线的性质”等打基础.本课又是继“角”及“角的大小比较”之后的内容，是进一步认识角，并认识两角之间的关系,并为寻找角之间的数量关系打下基础，同时也为以后的学习做好铺垫。从知识的准备上，学生已认识了角，有了这个基础,对于本课认识做好好了铺垫；从难度上，难度不大，学生也能学会；从知识呈现体系，也是很恰当地；从应用上，学生主经常找角的数量关系,应用价值很大。
二、教学目标
1. 通过观察、操作、推理、交流等过程,进一步培养空间观念、推理能力和表达能力。
2.在具体情境中,了解余角、补角、对顶角,掌握同角或等角的余(补)角相等,对顶角相等,并能解决一些实际问题。
三、教学重难点
【重点】了解对顶角、余角、补角的概念及应用有关性质解决实际问题。
【难点】应用对顶角、余角、补角的性质解决实际问题。
四、教学准备
教师准备：多媒体、课件、练习题
学生准备：课本、练习本、三角尺、量角器
教学方法
引导-探究-发现法
六、教学过程
1.新课导入
我们在生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁……在这些大自然的杰作和人类的创造物中,蕴含着大量的直线、射线、线段，下面我们就来欣赏一组生活中的图片。
[处理方式]同学们观察图片,并与同伴交流观察几幅图片后的发现,得出图中的线有些是平行的，有些是相交的，由其中一个小组作展示,其余同学作补充，教师引入课题:本节课我们就共同学习与两条直线的位置关系相关的知识。
新知构建
探究活动1　两条直线的位置关系
我们在七年级上册学习了直线和直线的表示方法,请同学们在纸上画两条直线,并用字母表示。(教师展示部分学生所画的图)
师:以上这些同学所画直线的位置关系可以分为几类
生:可以分为两类，分别为相交和平行。
师:但是我们所展示的图形中有三种情况,如何解释呢
生:因为直线是无限延伸的,图(1)中把直线a和b画长点就变成了两条相交的直线。
师:这位同学解释得非常好!这就是我们这节课要研究的两条直线的位置关系。
师:通过大家的画图我们知道了两条直线的位置关系有相交和平行两种，但是在说两条直线的位置关系时,我们应强调什么问题呢
生:必须在同一平面内。
师:很好!也就是说平面内两条直线的位置关系有两种:平行和相交.那么什么是相交线和平行线呢
生:若两条直线只有一个公共点,我们称这两条直线为相交线。
生:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
师:下面请同学们欣赏几幅生活中的图片,并指出图片中的相交线和平行线.(课件展示图片,找学生指出图片中的相交线和平行线)
师:你还能举出生活中有关相交线和平行线的例子吗 (学生举出例子有窗户、黑板、学校的推拉门、教室的墙等等)
[设计意图]让学生观察图片,不但可以体会到几何来源于生活,激发学生学习的兴趣,还可以更进一步地理解平行线、相交线的概念。
探究活动2　对顶角的定义与性质
【活动内容】　观察下面图形,思考问题。
问题1：观察上面图中的∠1与∠2、∠3与∠4的位置有什么关系
[处理方式]回忆角的定义，从顶点和边两个要素入手，学生观察总结之后,教师予以补充确定，得到对顶角的概念。
【归纳总结】如图①所示,直线AB和CD相交于点O,∠1和∠2有公共点O,它们的两边互为反向延长线,具有这种位置关系的两个角叫对顶角。
【即时练习】(多媒体显示)
1.下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是 ( )
问题2：∠1与∠2的数量有什么关系？
[处理方式]第一种方法用量角器测量，第二种方法利用数学推理。学生观察总结之后,教师予以补充确定，得到对顶角的性质：对顶角相等。
【归纳总结】
理解对顶角需要注意的两点：
1.对顶角是两条直线相交形成的，它们成对出现，不能单独说一个角是对顶角。
2.对顶角既反映两角之间的位置关系，又反映两角之间的数量关系。
探究活动3　补角、余角的定义及性质
1.补角和余角的定义。
问题：在右图中,∠1与∠3有什么数量关系
【归纳总结】
补角定义:如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角。
余角定义:如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角。
2.补角和余角的性质。
如图(1)所示,打台球时,选择适当的方向,用白球击打红球,反弹后的红球会直接入袋,此时∠1=∠2,将图(1)抽象成图(2),ON与DC交于点O,∠DON=∠CON=90°,且∠1=∠2.在图(2)中:
(1)有哪些角互为补角 有哪些角互为余角
(2)∠3与∠4有什么关系 为什么
(3)∠AOC与∠BOD有什么关系 为什么
[处理方式]小组讨论，让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟,自己能够主动地去探究问题的实质,体验成功的喜悦；教师要充分发散学生的思维,鼓励学生各抒己见进一步培养学生的推理能力。
【归纳总结】同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等。
[设计意图]先给出台球桌面的实景图,再给出由实景图抽象出的几何图形,引导学生了解抽象的必要性和抽象的过程,并通过问题串,引导学生探索出“同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等”的结论。
3.课堂检测
1.下列说法正确是（ ）
A.在同一平面内，不相交的两条射线是平行线。
B.在同一平面内，两条直线不相交就重合。
C.在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线。
D.不相交的两条直线是平行线。
2.下列说法正确的有 ___________（填序号）
①已知∠A=40°，则∠A的余角等于50°。
②若∠1+∠2=180°，则∠1和∠2互为补角。
③若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3互补。
3.如图,点A,O,B在同一直线上,且∠AOC=∠BOC=∠EOF=90°,则∠AOE的余角有 (　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOD=160°,则∠BOC的大小为 (　　)
A.20° B.60° C.70° D.160°
4.课堂小结
(1)两条直线的位置关系。
(2)平行线、相交线的定义。
(3)对顶角的定义及性质。
(4)余角、补角的定义及性质。
板书设计
两条直线位置关系
相交线与平行线
在同一平面
对顶角
定义：有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。
性质：对顶角相等。
余角、补角
定义：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角（简称互补）。
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角（简称互余）。
性质：同角或等角的余角相等。
同角或等角的补角相等。
作业布置
①课后习题2.1：1，3，4
②绩优学案：核心解读、基础过关（必做）能力提升、素养拓展（选做）
七、教学反思
首先从反映生活中存在的两条直线位置关系的图片的观察入手,提出两条直线的两种位置关系(相交与平行),接着介绍对顶角的概念及其性质,然后学习补角、余角,使学生在直观情境中,认识相交线所成的角的概念及其性质。
本课时注重创设“开放”的教学环境,引导学生从身边熟悉的情境出发,使学生经历从现实生活中抽象出数学模型的过程,体会知识的重要性和在生活中的广泛应用。通过课堂开放,让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学,同时也为学生搭建了一个充分展示自我的舞台,在活动中提高与他人合作交流的能力,激发了学生的潜能,使学生成为课堂的主人,提高了学生分析问题、解决问题的能力。
不足之处：
讨论时,应该留给学生充分的独立思考的时间,不能让一些思维活跃的学生 的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问。
在讲述补角、余角定义时可以让学生画出两个角,使它们的和为90°；画出两个角,使它们的和为180°。选择有代表性的图形,使所画两角在位置关系上都不同,但是它们在数量上两角的和都是90°或180°。让学生理解互余与互补是指两个角之间的数量关系,与它们的位置无关。而不是老师直接提出互补、互余与位置无关。
应注重学生几何语言的培养,对课堂生成的问题,应予以重视。

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