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第10章 相交线、平行线与平移
10.1 相交线
第1课时 对顶角
1.了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角的概念.
2.理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的证明和计算.
3.了解对顶角的概念，通过探索对顶角性质的过程，进一步培养学生的识图能力.
4.有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养学生观察、分析、推理的能力，体会数学这与现实生活的紧密联系.
【教学重点】
对顶角的性质及运用.
【教学难点】
对顶角性质的探索.
情境导入，初步认识
问题：观察剪刀剪东西的过程，可以将剪刀的两片刀刃边沿看作是两条相交直线，如图（1）中虚线所示.把这两条相交直线用图（2）表示，在剪东西的过程中，∠AOC与∠BOD这两个角的位置和大小始终保持怎样的关系？
【教学说明】教师提出问题，学生独立思考，然后相互交流，发表各自的见解，初步感知相交线与对顶角.
二、思考探究，获取新知
1.对顶角的概念问：在图（2）中，∠1和∠3有何位置关系？
【教学说明】教师提出问题，学生观察图片，归纳对顶角的概念.
【归纳结论】在图（2）中，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边分别互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.
2.对顶角的性质
探究：在图（2）中，∠1与∠3的大小有什么关系？你能说明具有这样关系的道理吗？
【教学说明】教师提出问题，学生观察图形，尝试进行推理论证，感受数学的严密性和逻辑性.
∵∠1+∠2=180°
∠3+∠2=180°
∴∠1=∠3
【归纳结论】对顶角相等.
三、典例精析，掌握新知
例1 如图所示，直线AB和CD相交于点O，OE是一条射线.
（1）∠AOC的邻补角是
(2)∠AOD的对顶角是
（3）∠BOD的对顶角是
【解】 （1）∠AOD,∠BOC
(2)∠BOC
(3)∠AOC
例2 如图，直线a,b相交，∠1=40°,求∠2、∠3、∠4.
【解】∵∠1=40°
∴∠3=∠1=40°
∴∠2=180°-∠1=180°-40°=140°
∴∠4=∠2=140°.
例3 如图所示，直线AB、DF交于点C，CE是一条射线，∠2=2∠1、
∠ECD=120°.求∠ACF.
【解】∵∠ECD=120°
∴∠1+∠2=60°
又∠2=2∠1
∴∠2=40°
∴∠ACF=∠2=40°.
例4 如图，∠AOC与∠BOD为对顶角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.请求出∠EOF的度数，你有什么发现？能用一句简洁的语句描述你的发现吗？
【解】∵∠AOC与∠BOD为对顶角
∴C、O、D在同一条直线上.
又OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.
∴∠COE= AOC,∠DOF=∠BOD.
又∠AOC=∠BOD
∴∠COE=∠DOF.
∴∠EOF=∠COE+∠COF=∠DOF+∠COF=∠COD=180°.
发现：对顶角的角平分线在同一条直线上.
【教学说明】教师给出例题，学生独立自主完成，教师可让几个学生上台展示自己的答案，交流各自的心得，积累解决问题的经验与方法.
四、运用新知，深化理解
1.下列说法正确的是（ ）
A.相等的角是对顶角；
B.若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；
C.若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
D.有公共顶点且相等的两个角是对顶角.
2.判断下列各图中∠1与∠2是否为对顶角，并说明理由.
3.如图，两条直线相交，∠1=35°,求∠2和∠3的度数.
4.如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOD.若∠3∶∠2=8∶1，求∠AOC的度数.
【教学说明】教师给出习题，学生尝试独立完成，教师巡视，对解题过程中出现的问题及时予以指正，对有困难的学生进行点拨.
【答案】1.B 2.（1）不是对顶角，∠1与∠2没有公共顶点;
（2）不是对顶角，∠1与∠2的两边不是分别互为反向延长线；
（3）不是对顶角，理由同（2）;
（4）不是对顶角，∠1与∠2是邻补角;
（5）是对顶角;
（6）不是对顶角，理由同（1）.
3.∠2=∠1=35°
∠3=180°-∠1=145°.
4.∵OE平分∠BOD∴∠1=∠2
又∠3∶∠2=8∶1 ∴∠3=8∠2.
又∠1+∠2+∠3=180° ∴10∠2=180°,
∴∠2=18°
∴∠AOC=∠BOD=2∠2=36°.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.
【教学说明】学生相互交流，回顾对顶角的概念与性质，加深对所学知识的理解和运用.
完成练习册中本课时练习.
从生活实际引出对顶角，再探究对顶角的性质，学生积极主动，在合作交流中体会成功的喜悦，增强学好数学的信心.
第2课时 垂线
1.了解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
2.了解垂线段，点到直线的距离的概念.
3.掌握垂直公理和垂线段的性质，会进行简单的推理.
4.通过动手操作与合作交流，体会数学知识的严密性和逻辑性.
5.有意识地引导学生积极参与数学活动，培养学生合作交流意识，激发学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
垂直公理和垂线段的性质.
【教学难点】
几何语言的准确叙述.
一、情境导入，初步认识
问题将十字街口的两条道路看作两条直线，如图（2）中的AB和CD，它们相交于点O，形成4个角，如果∠AOC=90°，那么其他3个角的度数各是多少？为什么？
【教学说明】教师提出问题，学生独立思考然后相互交流，初步感受生活中的垂直.
二、思考探究，获取新知
问题 在上面的问题中，AB与CD有怎样的位置关系？
【教学说明】教师提出问题，学生很容易想到小学所学知识，激发学生继续学习的兴趣.
【归纳结论】在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O叫做垂足.
垂直公理
操作：（1）用三角尺画垂线.
仿照下面图的画图办法，过已知直线l上（或外）的一点P画直线,使它与直线l垂直.
用折纸方法画垂线.
仿照图所示的方法，折出经过点P与直线l垂直的折痕，用直尺沿折痕画出直线.
问题：通过上面的操作，你知道过一点画已知直线的垂线，能画几条吗？
【教学说明】教师提出问题，学生观察，实际操作，很容易得出结论，学生共同归纳，体会数学语言的严密性.
【归纳结论】过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
3.垂线段
（1）如图，点P在直线l外，在直线l上任意取一些点A，B，C，O，把这些点分别与点P连接，得到线段PA，PB，PC，PO，其中PO⊥l.
观察这些线段，比较它们的长短，其中哪一条线段最短？
（2）点P在直线l外，把一根细绳的一端用图钉固定在点P处，拉紧细绳，按图所示步骤进行操作.
观察细绳上的标记点O（垂直拉紧时的垂足）位置的变化，你有什么发现？
【教学说明】学生通过观察，实际操作，并归纳结论.
【归纳结论】在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段（连接直线线外一点与垂足形成的线段）最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
三、典例精析，掌握新知
例 如图所示，已知OB⊥OD,∠1=∠2,试判断OA与OC的位置关系，并说明理由.
【解】OA⊥OC.理由如下：
∵OB⊥OD
∴∠2+∠BOC=90°
又∠1=∠2
∴∠1+∠BOC=90°
即∠AOC=90°
∴OA⊥OC.
【教学说明】教师给出例题，学生独立完成，教师可选几个同学上台展示自己的答案，交流各自的心得，积累解决问题的经验.
四、运用新知，深化理解
1.如图，在三角形ABC中，D是BC中点，连接AD，请分别画出自点B，C向AD所作的垂线（垂足为E，F）.
2.（1）如图，用三角尺画出点A到直线BC的垂线段；
（2）画出点B到直线AC的垂线段.
3.如图，直线l表示一条公路，点P是一所学校所在的位置.要修一条从学校到公路的道路，如何修才能使道路最短？画出所修道路的示意图.
【教学说明】教师给出习题，学生独立完成，教师巡视，指导学生规范作图.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.
【教学说明】学生相互交流，回顾垂线、点到直线的距离等概念，理解“垂直公理”和“垂线段最短”等性质.
完成练习册中本课时 练习.
从生活中的实际例子引出垂线、点到直线的距离等概念，再探究垂直公理和垂线的性质，学生积极主动参与到教学活动中来.

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