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9.1.1平面直角坐标系的概念 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第九章“平面直角坐标系”9.1.1平面直角坐标系的概念，内容包括：理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标．
2.内容解析
本节课在学生已有知识和生活经验的基础上，从生活实例中的“点位”和数轴上点的坐标出发，引导学生观察、分析从而抽象出平面直角坐标系的概念，然后通过绘制平面直角坐标系和根据坐标描点、由点写坐标的过程加深理解.平面直角坐标系在初中数学中地位关键，它是数形结合的重要工具，是在数轴基础上的拓展.同时，它还为后续学习函数图象和几何图形的位置关系等内容奠定了基础．
基于以上分析，确定本节课的学习重点为：理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标.
（2）经历动手操作、观察、猜想、验证等过程，培养归纳总结和逻辑推理的能力，感悟由特殊到一般和数形结合的思想．
（3）感悟通过几何建立直观、通过代数得到数学表达的过程，培养数学抽象、几何直观和空间观念等核心素养．
2.目标解析
（1）平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，学生需要清晰掌握横轴（x轴）、纵轴（y轴）、原点、单位长度等基本要素的定义和作用. 在给定的平面直角坐标系中，学生能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标，这一正一反的操作，是对平面直角坐标系核心功能的直接运用，强化了学生对数与形对应关系的理解.
（2）在学习平面直角坐标系时，学生通过动手绘制坐标系、在坐标系中描点等操作，观察不同点的坐标特征以及它们在坐标系中的分布规律. 在这个过程中，学生从具体的操作和观察出发，经过合理的猜想和严谨的验证，得出一般性的结论，锻炼了归纳总结能力，培养了逻辑推理能力.
由特殊到一般的数学思想体现在从研究特殊位置的点（如坐标轴上的点、象限角平分线上的点）的坐标规律，推广到整个平面直角坐标系中任意点的坐标特征. 通过对特殊点的深入研究，总结出普遍适用的规律，让学生体会从局部到整体、从特殊到一般的数学研究方法. 数形结合思想贯穿始终，平面直角坐标系将抽象的数（坐标）与直观的形（点的位置）紧密联系起来. 通过坐标能直观看到点在平面中的位置，从点的位置又能抽象出对应的坐标数值，这种相互转化帮助学生更好地理解了数学问题，为他们今后解决更复杂的数学问题提供了有力的工具和思路.
（3）学生在构建和理解平面直角坐标系的过程中，将生活中确定位置的实际问题抽象为数学中的坐标表示，把具体的点和图形在平面上的位置关系抽象为坐标数值之间的关系. 平面直角坐标系为学生提供了一个直观的几何模型，学生可以通过观察坐标系中的点、线、图形等，直观地理解它们的位置关系. 这有助于培养学生的数学抽象、几何直观和空间观念等核心素养，为后续学习图形的平移、旋转、对称等变换在坐标系中的表示，理解空间中物体的位置关系和运动变化奠定了思维基础.
三、教学问题诊断分析
1.概念理解偏差：学生可能混淆坐标轴与数轴的概念，不能充分理解平面直角坐标系中两坐标轴的相应特征，特别是在绘制平面直角坐标系时出现正方向标注错误. 同时，对于象限的划分及边界归属理解模糊，误将坐标轴上的点归为某一象限.
2.坐标读写出错：在读写点的坐标时，容易颠倒横、纵坐标的顺序. 对于坐标中正负号的确定也存在困难，尤其是第二象限和第四象限内的点的坐标. 另外，在处理含分数、小数的坐标时，会出现读数或书写错误.
基于上述教学问题诊断分析，本节课的学习难点如下：深入理解平面直角坐标系的有关概念；能够熟练且准确地读写点的坐标.
四、教学过程设计
（一）情境引入
问题 在庆祝中华人民共和国成立70周年联欢活动中，天安门广场上出现了 “祖国万岁”等壮观的图案，你知道它们是怎么组成的吗？
视频播放
表演现场设置了由有序数对标识的点位，3000多名表演者手举光影屏，根据预先编排的流程，不停地变换所在的点位，就拼出了不同的图案．
点位是用小学学过的有序数对表示的，它刻画了天安门广场表演区内点的位置. 本节我们继续学习刻画平面内点的位置的方法．
我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标．反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了．
设计意图：结合生活实例，激发兴趣：播放庆祝中华人民共和国成立70周年联欢活动视频，用宏大且具有视觉冲击力的场景吸引学生注意力，激发他们的好奇心和探索欲.从演员依点位表演引出有序数对和平面直角坐标系概念，将抽象的数学知识与生活实际紧密相连，让学生意识到数学在生活中的广泛应用，明白数学是解决实际问题的有力工具，提升学生对数学实用性的认知.
建立新旧知识联系，降低理解难度：通过回顾数轴上点与实数一一对应，以及点的坐标即该点表示的实数，自然过渡到平面直角坐标系的概念.以学生已掌握的数轴知识为基础，类比引出新知识，利用知识的迁移规律，帮助学生理解平面直角坐标系的概念，降低了学生对新知识的理解门槛，符合学生的认知发展规律.
（二）合作探究
探究1 类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内的点的位置呢 （例如图中A，B，C，D，E各点）？
我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置．
建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限．坐标轴上的点不属于任何象限.
探究2 原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？各个象限内的点的坐标有什么特点？
设计意图：强化知识迁移，深化概念理解：引导学生类比数轴确定直线上点的位置的方法，探寻利用平面内有序数对确定平面内点的位置，能让学生在已有知识经验基础上构建新知识体系.通过类比，学生可以清晰看到从一维数轴到二维平面直角坐标系的拓展，理解有序数对是确定平面内点的位置的关键要素，进一步理解平面直角坐标系的本质.
借助动态演示，突破学习难点：运用几何画板进行动态演示，将抽象的点的坐标变化与点在坐标平面内位置的变化直观呈现.学生可以清晰观察到坐标数值改变如何引起点的移动，以及点在不同位置时坐标的相应特征.这种可视化的教学方式，帮助学生克服了抽象思维障碍，突破了理解难点，增强了对知识的感性认识，进而上升到理性认知，提高了学习效率和质量.
（三）典例分析
例1 写出图中点A，B，C，D，E的坐标.
例2 在平面直角坐标系中描出下列各点： A(4，5)，B(-2，3)，C(-2.5，-2)，D(4，-2)，E(0，-4)．
解：先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A．类似地，可在图中描出点B，C，D，E．
设计意图：通过典型例题的分析，加深学生对平面直角坐标系核心知识的理解与运用，强化坐标与点的对应关系.这两类例题从正反两个角度考察学生对平面直角坐标系知识的掌握情况，通过学生的解题过程和结果，能及时发现学生在概念理解、坐标读写、找点绘图等方面存在的问题，以便针对性地进行指导和强化训练，帮助学生查缺补漏，巩固所学知识.
（四）巩固练习
1. 写出图中点A，B，C，D，E，F的坐标.
解：点A的坐标是(-2，-2)；点B的坐标是(-5，4)；点C的坐标是(5，-4)；
点D的坐标是(0，-3)；点E的坐标是(2，5)；点F的坐标是(-3，0).
在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点： L(-5，3)，M(4，0)，N(-6，2)，P(5，-3.5)，Q(0，5)，R(6，2).
3. 根据点所在的位置，用 “＋”“－”填表．
4. 在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点，标出它们的位置，看一看它们在第几象限或在哪条坐标轴上：
(1)点P（x，y）的坐标满足xy＞0；
(2)点P（x，y）的坐标满足xy＜0；
(3)点P（x，y）的坐标满足xy＝0.
解： (1)点P在第一象限或第三象限；
(2)点P在第二象限或第四象限；
(3)点P在x轴或y轴上.
5. 如图，在所给的平面直角坐标系中描出点A(-4，-4)，B(-2，-2)，C(3，3)，D(5，5)，E(-3，-3)，F(0，0)．这些点有什么关系？你能再找出一些类似的点吗？
解：这些点在同一条直线上. 类似的点有(1，1)，(2，2)，(-1，-1)...
6. 建立一个平面直角坐标系，描出点A(-2，4)，B(3，4)，画出直线AB．
若点C为直线AB上的任意一点，则点C的纵坐标是什么？想一想：
(1)如果一些点在平行于x轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特点？
(2)如果一些点在平行于y轴的直线上，那么这些点的横坐标有什么特点？
猜想：点C的纵坐标是4；
(1)这些点的纵坐标相等；
(2)这些点的横坐标相等.
验证：几何画板动态演示.
设计意图：通过让学生写出平面直角坐标系中点的坐标以及根据坐标描点，再次强化学生对坐标与点的位置相互转化这一核心技能的掌握，巩固平面直角坐标系的基础知识.根据点所在位置归纳点的坐标特征，有助于培养学生的观察、分析、归纳能力，掌握数学研究的基本方法.
运用几何画板进行动态演示，将抽象的点的位置变化以及各类线上点的特征直观地呈现给学生.几何画板的动态效果能够吸引学生的注意力，帮助学生更清晰地观察到随着点的移动坐标的变化规律，以及特殊位置上点的坐标共性.这种可视化教学方式有助于学生突破思维难点，深化对抽象数学知识的理解，增强学生的学习兴趣和积极性.
归纳总结
感受中考
1.（2024 广西）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为（2，1），则点Q的坐标为（C）
A．（3，0） B．（0，2） C．（3，2） D．（1，2）
2.（2023 大庆）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（D）
A．（a，b） B．（-a，b） C．（-a，-b） D．（a，-b）
第1题图 第2题图 第3题图
3.（2022 宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为（1，3）．若小丽的座位为（3，2），以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（C）
A．（1，3） B．（3，4） C．（4，2） D．（2，4）
4.（2024 宿迁）点P(a2+1，-3)在第 四 象限．
解：∵a2+1≥1，-3＜0，
∴点P(a2+1，-3)在第四象限．
5.（2024 甘南州）若点P(3m+1，2-m)在x轴上，则点P的坐标是 (7，0) ．
解：∵点P(3m+1，2-m)在x轴上，
∴2-m＝0，解得：m＝2，
∴3m+1＝3×2+1＝7，
∴点P的坐标是(7，0).
6.（2024 甘南州）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A2020的坐标为 (1010，0)　．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
设计意图：思维导图以直观的图形结构，帮助学生梳理知识脉络，明确各知识点的关联，让学生从整体上把握本节课内容，在脑海中构建完整的知识框架，避免知识碎片化，加深对平面直角坐标系的系统性理解.
（八）布置作业
1.必做题：习题9.1 第1题，第2题.
2.探究性作业：习题9.1 第9题.
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